Calcolo dell'angolo di equilibrio di un rocchetto
Ciao a tutti ragazzi, sono davanti a questo problema:
Un rocchetto, costituito da due dischi di raggio [tex]R[/tex] e da un cilindro interno, di raggio [tex]r[/tex], ha massa [tex]m_1[/tex] (considerare, per semplicità, tale massa come distribuita uniformemente su una circonferenza di raggio [tex]R[/tex]) ed è disposto su un piano, inclinato di un angolo [tex]\theta[/tex], fisso al suolo. Al cilindro interno del rocchetto è avvolta una fune, inestensibile e di massa trascurabile. La fune passa per una carrucola, di massa e dimensioni anch'esse trascurabili, fissata alla sommità del piano ed è collegata ad una massa [tex]m_2[/tex]. Sia nullo l'attrito tra il rocchetto ed il piano; determinare il valore di [tex]\theta[/tex] per il quale il rocchetto non scende di quota.
(Non so perché in fase di caricamento la foto è ruotata di 90° a sinistra, ho provato a farne altre, ma le ruota tutte! Dovete ruotare l'immagine di 90° a destra per vedere il disegno corretto. Scusate!)
Adesso, io nel risolvere questo esercizio ho scritto le equazioni dei due corpi con la seconda legge di Newton, ponendole entrambe uguali a zero, ossia:
[tex](m_1 g sin(\theta)) - T = 0[/tex]
[tex]T - m_2 g = 0[/tex]
e le ho messe a sistema trovando:
[tex]sin(\theta) = {m_2 \over m_1}[/tex] da cui [tex]\theta = arcsin({m_2 \over m_1})[/tex]
E' un ragionamento corretto secondo voi? Grazie!!
Un rocchetto, costituito da due dischi di raggio [tex]R[/tex] e da un cilindro interno, di raggio [tex]r[/tex], ha massa [tex]m_1[/tex] (considerare, per semplicità, tale massa come distribuita uniformemente su una circonferenza di raggio [tex]R[/tex]) ed è disposto su un piano, inclinato di un angolo [tex]\theta[/tex], fisso al suolo. Al cilindro interno del rocchetto è avvolta una fune, inestensibile e di massa trascurabile. La fune passa per una carrucola, di massa e dimensioni anch'esse trascurabili, fissata alla sommità del piano ed è collegata ad una massa [tex]m_2[/tex]. Sia nullo l'attrito tra il rocchetto ed il piano; determinare il valore di [tex]\theta[/tex] per il quale il rocchetto non scende di quota.
(Non so perché in fase di caricamento la foto è ruotata di 90° a sinistra, ho provato a farne altre, ma le ruota tutte! Dovete ruotare l'immagine di 90° a destra per vedere il disegno corretto. Scusate!)
Adesso, io nel risolvere questo esercizio ho scritto le equazioni dei due corpi con la seconda legge di Newton, ponendole entrambe uguali a zero, ossia:
[tex](m_1 g sin(\theta)) - T = 0[/tex]
[tex]T - m_2 g = 0[/tex]
e le ho messe a sistema trovando:
[tex]sin(\theta) = {m_2 \over m_1}[/tex] da cui [tex]\theta = arcsin({m_2 \over m_1})[/tex]
E' un ragionamento corretto secondo voi? Grazie!!
Risposte
No, la tensione T non è uguale a $m_2g$, perché se così fosse la massa $m_2$ sarebbe ferma oppure scenderebbe a velocità costante, ma questo non è possibile per motivi vari. In realtà la massa scende accelerando, dunque l'accelerazione fa sì che tensione e forza di gravità sulla $m_2$ non siano uguali.
Io imposterei le seguenti equazioni che tengono conto del moto sia della massa sospesa che del rocchetto, il quale ruota accelerando anche se rimane fermo al suo posto:
$$\eqalign{
& T = {m_2}g - {m_2}a \cr
& T = {m_1}g\sin \theta \cr
& \alpha = \frac{a}
{r} \cr
& I\alpha = rT \cr
& Ia = {r^2}T = {r^2}{m_1}g\sin \theta \cr
& a = \frac{{{m_1}{r^2}}}
{I}g\sin \theta \cr
& {m_2}g - {m_2}a = {m_1}g\sin \theta \cr
& {m_2}g = {m_1}g\sin \theta + {m_2}\frac{{{m_1}{r^2}}}
{I}g\sin \theta \cr
& \sin \theta = \frac{{{m_2}}}
{{{m_1}\left( {1 + \frac{{{m_2}{r^2}}}
{I}} \right)}} \cr} $$
Io imposterei le seguenti equazioni che tengono conto del moto sia della massa sospesa che del rocchetto, il quale ruota accelerando anche se rimane fermo al suo posto:
$$\eqalign{
& T = {m_2}g - {m_2}a \cr
& T = {m_1}g\sin \theta \cr
& \alpha = \frac{a}
{r} \cr
& I\alpha = rT \cr
& Ia = {r^2}T = {r^2}{m_1}g\sin \theta \cr
& a = \frac{{{m_1}{r^2}}}
{I}g\sin \theta \cr
& {m_2}g - {m_2}a = {m_1}g\sin \theta \cr
& {m_2}g = {m_1}g\sin \theta + {m_2}\frac{{{m_1}{r^2}}}
{I}g\sin \theta \cr
& \sin \theta = \frac{{{m_2}}}
{{{m_1}\left( {1 + \frac{{{m_2}{r^2}}}
{I}} \right)}} \cr} $$
Le equazioni sono chiarissime, l'unico dubbio che mi rimane è il fatto che la massa [tex]m_2[/tex] abbia una sua accelerazione.. 
forse perché il testo dice che solo il rocchetto deve essere fermo?
Grazie mille!
forse perché il testo dice che solo il rocchetto deve essere fermo? Grazie mille!
Te lo posso dimostrare in vari modi. Eccone uno.
Se la massa $m_2$ scendesse a velocità costante, la tensione sarebbe $T=m_2g$ e agirebbe anche sul rocchetto provocando un momento e quindi una accelerazione angolare (riferimento sul C.M. del rocchetto). La velocità angolare del rocchetto dunque dovrebbe aumentare e quindi aumenterebbe la velocità di svolgimento del filo. In tal caso dovrebbe accadere una delle due seguenti cose: o che il rocchetto sta fermo ma la velocità del filo in aumento rivela una accelerazione della massa $m_2$, contrastando così con l'ipotesi di velocità costante della massa; oppure il rocchetto scivola verso il basso a velocità crescente, cosa che contrasta con l'ipotesi di centro del rocchetto immobile.
Se la massa $m_2$ scendesse a velocità costante, la tensione sarebbe $T=m_2g$ e agirebbe anche sul rocchetto provocando un momento e quindi una accelerazione angolare (riferimento sul C.M. del rocchetto). La velocità angolare del rocchetto dunque dovrebbe aumentare e quindi aumenterebbe la velocità di svolgimento del filo. In tal caso dovrebbe accadere una delle due seguenti cose: o che il rocchetto sta fermo ma la velocità del filo in aumento rivela una accelerazione della massa $m_2$, contrastando così con l'ipotesi di velocità costante della massa; oppure il rocchetto scivola verso il basso a velocità crescente, cosa che contrasta con l'ipotesi di centro del rocchetto immobile.
Grazie mille! tutto chiaro!
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