Calcolo dell'accelerazione in un diagramma F - t
Un corpo di massa $m=1 kg$ inizialmente fermo, viene soggetto all'azione di una forza di direzione costante ma intensità variabile nel tempo come è indicato in figura:
Si calcoli:
a) accelerazione massima del corpo.
b) la velocità massima raggiunta e la velocità nell'istante t=40 s
Io ho ragionato così:
La forza ha un'intensità variabile nel tempo, quindi non posso ricavarmi l'accelerazione facendo
$F/ m = a$
ma $F = m * dv /dt$
Poi ho pensato che nel diagramma l'area di ogni trapezio mi dà l'impulso (variazione di quantità di moto) dato da:
$J =m*v= F * Deltat$
quindi volevo integrare
$int_(t_1)^(t_2) frac{m*dv * t}{dt}
ma non capisco come fare con dv.
Forse c'è un modo molto più semplice, ma la soluzione spontanea che ho ricavato è questa.
Qualcuno mi può dare una mano? Grazie
Si calcoli:
a) accelerazione massima del corpo.
b) la velocità massima raggiunta e la velocità nell'istante t=40 s
Io ho ragionato così:
La forza ha un'intensità variabile nel tempo, quindi non posso ricavarmi l'accelerazione facendo
$F/ m = a$
ma $F = m * dv /dt$
Poi ho pensato che nel diagramma l'area di ogni trapezio mi dà l'impulso (variazione di quantità di moto) dato da:
$J =m*v= F * Deltat$
quindi volevo integrare
$int_(t_1)^(t_2) frac{m*dv * t}{dt}
ma non capisco come fare con dv.
Forse c'è un modo molto più semplice, ma la soluzione spontanea che ho ricavato è questa.
Qualcuno mi può dare una mano? Grazie
Risposte
I raggionerei così :
il moto del corpo è rettilineo e la sua accelerazione è solo tangenziale.
La nosta a quindi sarà
$ a = (1N)/(1kg) = 1 m/s^2
attenzione però che per tutti gli istanti t tali che : $ 5<= t <= 15s e 25s <= t <= 35 s $i versi dell'accelerazione sono opposti.
Per quanto concerne la V max e la V a $ t = 40s $
Hai fatto benissimo a pensare all'area del trapezio A (il cui valore è 15Ns)
Quindi utilizzanto il th. dell'impulso avremo :
$Vmax = (15Ns) / (1kg) = 15m/s
Mentre a t=40s la velocità del corpo sarà nulla (poichè "somma" dell'area positiva del trapezio A + area negativa del trapezio B)
spero di essere stato chiaro...
il moto del corpo è rettilineo e la sua accelerazione è solo tangenziale.
La nosta a quindi sarà
$ a = (1N)/(1kg) = 1 m/s^2
attenzione però che per tutti gli istanti t tali che : $ 5<= t <= 15s e 25s <= t <= 35 s $i versi dell'accelerazione sono opposti.
Per quanto concerne la V max e la V a $ t = 40s $
Hai fatto benissimo a pensare all'area del trapezio A (il cui valore è 15Ns)
Quindi utilizzanto il th. dell'impulso avremo :
$Vmax = (15Ns) / (1kg) = 15m/s
Mentre a t=40s la velocità del corpo sarà nulla (poichè "somma" dell'area positiva del trapezio A + area negativa del trapezio B)
spero di essere stato chiaro...
"*ataru*":
I raggionerei così :
il moto del corpo è rettilineo e la sua accelerazione è solo tangenziale.
La nosta a quindi sarà
$ a = (1N)/(1kg) = 1 m/s^2
attenzione però che per tutti gli istanti t tali che : $ 5<= t <= 15s e 25s <= t <= 35 s $i versi dell'accelerazione sono opposti.
Ma non puoi farlo. Come ho detto prima, questo rapporto si fa, SOLO se la forza ha intensità costante nel tempo, ma non è così in questo caso.
Anzi è costante solo in due tratti (diciamo le basi minori del trapezio).
"qwerty90":
Ma non puoi farlo. Come ho detto prima, questo rapporto si fa, SOLO se la forza ha intensità costante nel tempo, ma non è così in questo caso
Perché lo puoi usare solo per F costante nel tempo?
Studiando la funzione integrale dell'accelerazione tornano i risultati di $15 m/s$ come velocità massima in $t=20s$ e $v=0$ in $t=40$.
"Maurizio Zani":
[quote="qwerty90"]Ma non puoi farlo. Come ho detto prima, questo rapporto si fa, SOLO se la forza ha intensità costante nel tempo, ma non è così in questo caso
Perché lo puoi usare solo per F costante nel tempo?[/quote]
Ho sempre saputo così.
Il rapporto $F/m$ in questo caso non è costante.
A ska... Mi spieghi cosa hai fatto di preciso?
Se il rapporto non è costante significa semplicemente che l'accelerazione non è costante, ma istantaneamente il valore dell'accelerazione sarà sempre $F/m$....
"Faussone":
Se il rapporto non è costante significa semplicemente che l'accelerazione non è costante, ma istantaneamente il valore dell'accelerazione sarà sempre $F/m$....
Quindi posso dire che l'accelerazione massima è $1 m/s^2$ ?
Ho considerato $a(t) = {F(t)} / m$ e ho studiato $v(t) = \int_0^t a(\tau) d\tau$, svolgendo l'integrale ho la funzione velocità ed il massimo come previsto prima si trova in un punto a derivata nulla, in questo caso $t=20$, come un normalissimo studio di funzione.
Mi fai capire questo passaggio?Come svolgi l'integrale?
$v(t) =frac{1}{m}* \int_0^20 F(t) d\tau$
e al posto di $F(t)$ cosa metto?
scusa se insisto ma voglio capire meglio.
"Ska":
Ho considerato $a(t) = {F(t)} / m$ e ho studiato $v(t) = \int_0^t a(\tau) d\tau$, svolgendo l'integrale ho la funzione velocità .
$v(t) =frac{1}{m}* \int_0^20 F(t) d\tau$
e al posto di $F(t)$ cosa metto?
scusa se insisto ma voglio capire meglio.
no no no è una funzione integrale, la variabile è all'estremo di integrazione!
studi come varia l'integrale al variare di $t$ che è estremo di integrazione.
$v(t) = \int_0^t a(\tau)d\tau$
se $0
Se $5
Se $15
e si continua così.
Alla fine hai costruito $v(t)$ come funzione a tratti a partire dalla sua derivata $a(t)$ che è anch'essa definita a tratti, come se fosse un banale studio di funzione, dove la derivata è positiva la funzione cresce, dove è negativa decresce, dove la derivata è nulla si hanno le stazionarietà, e in base alla crescenza e decrescenza della funzione, prima di $20$ cresce, dopo decresce, parte da zero e termina in zero, il massimo relativo è anche massimo assoluto.
studi come varia l'integrale al variare di $t$ che è estremo di integrazione.
$v(t) = \int_0^t a(\tau)d\tau$
se $0
Se $5
Se $15
e si continua così.
Alla fine hai costruito $v(t)$ come funzione a tratti a partire dalla sua derivata $a(t)$ che è anch'essa definita a tratti, come se fosse un banale studio di funzione, dove la derivata è positiva la funzione cresce, dove è negativa decresce, dove la derivata è nulla si hanno le stazionarietà, e in base alla crescenza e decrescenza della funzione, prima di $20$ cresce, dopo decresce, parte da zero e termina in zero, il massimo relativo è anche massimo assoluto.
ok ora mi è chiaro. Grazie mille
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