Calcolo della Resistenza di circuito Infinito
Salve Ragazzi , vi propongo tale problema :
Il circuito schematizzato in figura si estende indefinitamente verso destra , e tutte le resistenze hanno valore $R$.Si dimostri che la resistenza Equivalente misurata tra i due morsetti A e B di sinistra è $R_{eq}=\frac{R(1+\sqrt5)}{2}$.
Si calcoli inoltre la potenza trasferita alla catena di resistenze se,mediante la chiusura del tasto T, ai capi dei morsetti A e B viene connesso un generatore avente f.e.m pari ad $\epsilon$ e resistenza interna $r$ .
Figura :
Io ho pensato esprimere la figura tramite una Serie ( credo geometrica ) e di calcolarne la somma in modo tale che la $R_{eq}$=Somma della Serie..
Ora ipotizzando che tale procedimento sia corretto ho scritto , immagino di suddividere il circuito in n circuiti .Per quanto riguarda le prime due resistenze e quindi il primo circuito :
$R_{eq1}=R+\frac{1}{R}=\frac{R^2 +1}{R}$
Per il secondo circuito :
$R_{eq2}= (R_{eq1} + \frac{1}{R} ) + R$
Solo che da qui inizio veramente a pensare che il ragionamento non sia del tutto corretto.. consigli?
Il circuito schematizzato in figura si estende indefinitamente verso destra , e tutte le resistenze hanno valore $R$.Si dimostri che la resistenza Equivalente misurata tra i due morsetti A e B di sinistra è $R_{eq}=\frac{R(1+\sqrt5)}{2}$.
Si calcoli inoltre la potenza trasferita alla catena di resistenze se,mediante la chiusura del tasto T, ai capi dei morsetti A e B viene connesso un generatore avente f.e.m pari ad $\epsilon$ e resistenza interna $r$ .
Figura :
Io ho pensato esprimere la figura tramite una Serie ( credo geometrica ) e di calcolarne la somma in modo tale che la $R_{eq}$=Somma della Serie..
Ora ipotizzando che tale procedimento sia corretto ho scritto , immagino di suddividere il circuito in n circuiti .Per quanto riguarda le prime due resistenze e quindi il primo circuito :
$R_{eq1}=R+\frac{1}{R}=\frac{R^2 +1}{R}$
Per il secondo circuito :
$R_{eq2}= (R_{eq1} + \frac{1}{R} ) + R$
Solo che da qui inizio veramente a pensare che il ragionamento non sia del tutto corretto.. consigli?
Risposte
"MillesoliSamuele":
Solo che da qui inizio veramente a pensare che il ragionamento non sia del tutto corretto..
Che non sia corretta nemmeno la partenza lo si vede già dalla semplice analisi dimensionale, non puoi sommare resistenze a conduttanze.
Devi semplicemente notare che, essendo la rete infinita
$R_{AB}=R+R\text(||)R_{AB}$
Scusami ma non capisco la notazione che hai usato ..
Intendo dire che la resistenza "vista" verso destra dai morsetti C B è uguale a quella vista dai morsetti A B
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
MC 45 35 0 0 ihram.res
MC 65 40 1 0 ihram.res
MC 75 35 0 0 ihram.res
MC 95 40 1 0 ihram.res
LI 35 60 110 60 0
LI 60 35 75 35 0
LI 65 40 65 35 0
LI 90 35 95 35 0
LI 35 35 45 35 0
LI 65 55 65 60 0
LI 95 35 95 40 0
LI 95 55 95 60 0
LI 95 35 110 35 0
FCJ 0 0 3 1 1 0
TY 34 28 4 3 0 0 0 * A
TY 35 53 4 3 0 0 0 * B
TY 50 25 4 3 0 1 0 * R
TY 80 25 4 3 0 1 0 * R
TY 55 45 4 3 0 1 0 * R
TY 85 45 4 3 0 1 0 * R
TY 66 28 4 3 0 0 0 * C
TY 77 67 4 3 0 1 0 * =
TY 67 54 4 3 0 0 0 * B
TY 36 67 4 3 0 1 3 * RAB
TY 81 67 4 3 0 1 3 * RAB
LI 40 25 40 65 3
LI 40 25 45 25 3
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 72 25 77 25 9
FCJ 2 0 3 1 0 0
TY 66 67 4 3 0 1 9 * RCB
LI 72 25 72 65 9[/fcd]
e di conseguenza la resistenza $R_{AB}$ fra i morsetti di ingresso A e B, che risulta pari alla serie fra la resistenza $R$ e il parallelo fra $R$ e $R_{CB}$, porterà ad un'equazione nella unica incognita $R_{AB}$
$R_{AB}=R+R\text(||)R_{CB}=R+R\text(||)R_{AB}=R+\frac{R R_{AB}}{R+R_{AB}}$
e di conseguenza
...
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
MC 45 35 0 0 ihram.res
MC 65 40 1 0 ihram.res
MC 75 35 0 0 ihram.res
MC 95 40 1 0 ihram.res
LI 35 60 110 60 0
LI 60 35 75 35 0
LI 65 40 65 35 0
LI 90 35 95 35 0
LI 35 35 45 35 0
LI 65 55 65 60 0
LI 95 35 95 40 0
LI 95 55 95 60 0
LI 95 35 110 35 0
FCJ 0 0 3 1 1 0
TY 34 28 4 3 0 0 0 * A
TY 35 53 4 3 0 0 0 * B
TY 50 25 4 3 0 1 0 * R
TY 80 25 4 3 0 1 0 * R
TY 55 45 4 3 0 1 0 * R
TY 85 45 4 3 0 1 0 * R
TY 66 28 4 3 0 0 0 * C
TY 77 67 4 3 0 1 0 * =
TY 67 54 4 3 0 0 0 * B
TY 36 67 4 3 0 1 3 * RAB
TY 81 67 4 3 0 1 3 * RAB
LI 40 25 40 65 3
LI 40 25 45 25 3
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 72 25 77 25 9
FCJ 2 0 3 1 0 0
TY 66 67 4 3 0 1 9 * RCB
LI 72 25 72 65 9[/fcd]
e di conseguenza la resistenza $R_{AB}$ fra i morsetti di ingresso A e B, che risulta pari alla serie fra la resistenza $R$ e il parallelo fra $R$ e $R_{CB}$, porterà ad un'equazione nella unica incognita $R_{AB}$
$R_{AB}=R+R\text(||)R_{CB}=R+R\text(||)R_{AB}=R+\frac{R R_{AB}}{R+R_{AB}}$
e di conseguenza
...
E da li avrò un equazione di secondo grado,la quale mi fornisce due soluzioni ,una non accettabile poiché negativa..
Bene,non ci si potrebbe attivare tramite le serie? È una mia curiosità
Inoltre il testo chiede la potenza trasferita..sarebbe la potenza utile? Ovvero $P=Ri^2=\frac{R_{ab}\epsilon^2}{(r+R_{ab})^2$
Grazie mille per l'aiuto
Bene,non ci si potrebbe attivare tramite le serie? È una mia curiosità
Inoltre il testo chiede la potenza trasferita..sarebbe la potenza utile? Ovvero $P=Ri^2=\frac{R_{ab}\epsilon^2}{(r+R_{ab})^2$
Grazie mille per l'aiuto
"MillesoliSamuele":
... non ci si potrebbe attivare tramite le serie?
Con le serie non vedo come, ma un metodo alternativo, visto che possiamo scrivere la resistenza fra A e B come una sequenza infinita di serie e paralleli, può essere quello via frazione continua infinita,
$R_{AB}= R+ \frac{1}{ \frac{1}{R}+\frac{1}{R+ \frac{1}{\frac{1}{R}+...}}}=R( \frac{1}{ 1+\frac{1}{1+ \frac{1}{1+...}}} )=R \phi =R(\frac{1+\sqrt 5 }{2})$
nella quale, mettendo in evidenza R e riconoscendo la frazione continua infinita $[1;\bar 1]$, caratteristica della sezione aurea $\phi$, potremo ricavarci le resistenza equivalente.
"MillesoliSamuele":
... Inoltre il testo chiede la potenza trasferita..sarebbe la potenza utile? Ovvero $P=Ri^2=\frac{R_{ab}\epsilon^2}{(r+R_{ab})^2$
Ho letto su wikipedia che $\phi$ può essere scritto mediante serie, cito la fonte :
$\phi = 1 +\sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n+1}} {F_n \cdot F_{n+1}} = 1 + \frac{1}{1 \cdot 1} - \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots$
con $F(n) = \frac{\phi^n-(1- \phi)^n}{\sqrt 5} $
E questo riconduce al tuo ultimo messaggio
Per cui , non dovrebbe essere errato , posso scrivere : $R_{ab}=R(1 +\sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n+1}} {F_n \cdot F_{n+1}})$
$\phi = 1 +\sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n+1}} {F_n \cdot F_{n+1}} = 1 + \frac{1}{1 \cdot 1} - \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots$
con $F(n) = \frac{\phi^n-(1- \phi)^n}{\sqrt 5} $
E questo riconduce al tuo ultimo messaggio
Per cui , non dovrebbe essere errato , posso scrivere : $R_{ab}=R(1 +\sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n+1}} {F_n \cdot F_{n+1}})$
Non ti capisco, visto che scrivevi
come ci saresti arrivato (così avevo letto il tuo "attivato") a quella serie senza passare dalla conoscenza del risultato ?
"MillesoliSamuele":
... non ci si potrebbe attivare tramite le serie?
come ci saresti arrivato (così avevo letto il tuo "attivato") a quella serie senza passare dalla conoscenza del risultato ?
Non ci sarei mai arrivato infatti , più che altro mi sono espresso male , dal tuo risultato posso scrivere l'altra equazione.
"MillesoliSamuele":
... dal tuo risultato posso scrivere l'altra equazione.
Voi forse dirmi che invece di scrivere
$R_{AB}=R\phi=R(\frac{1+\sqrt 5 }{2})$
preferiresti scrivere
$R_{AB}=R(1 +\sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n+1}} {F_n \cdot F_{n+1}})$
Ehm..amo l'eleganza della matematica.Si sá di sadomaso lo ammetto ahahahah.
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