Calcolo del Poynting
Buonasera 
, vorrei chiedere riguardo un dubbio per una parte dell'esercizio che non sto a proporre per intero ma solo nella parte che non comprendo bene.
Dopo vari calcoli trovo l'onda polarizzata circolarmente con campo $\vecE=E_0(+-sin(kz-omegat), cos (kz-omegat), 0)(kV)/m$ (tralasciamo il numerico dedicandoci al leterale)
E richiede di calcolare P., ho qundi creduto di usare: $S=E^2/Z$ con $Z=sqrt(mu_0/epsilon_0)$ impedenza caratteristica del mezzo.
Tuttavia il risultato mi darebbe $(E_0^2/(mu_0c))*(sin^2,cos^2,0)$ mentre nelle soluzioni vi è solo: $E_0^2/(mu_0c)$ e non capisco bene cosa sbaglio nel calcolo.
Grazie.
, vorrei chiedere riguardo un dubbio per una parte dell'esercizio che non sto a proporre per intero ma solo nella parte che non comprendo bene.Dopo vari calcoli trovo l'onda polarizzata circolarmente con campo $\vecE=E_0(+-sin(kz-omegat), cos (kz-omegat), 0)(kV)/m$ (tralasciamo il numerico dedicandoci al leterale)
E richiede di calcolare P., ho qundi creduto di usare: $S=E^2/Z$ con $Z=sqrt(mu_0/epsilon_0)$ impedenza caratteristica del mezzo.
Tuttavia il risultato mi darebbe $(E_0^2/(mu_0c))*(sin^2,cos^2,0)$ mentre nelle soluzioni vi è solo: $E_0^2/(mu_0c)$ e non capisco bene cosa sbaglio nel calcolo.
Grazie.
Risposte
Ciao,
edito la vecchia risposta (causa mio evidente misunderstanding, di cui mi sono accorto ora).
Ho provato a fare i conti e, per B, ottengo (ho usato la soluzione di E con segno meno nella componente x):
$$
\vec{B} = (-\frac{E_0}{c} \cos(k z - \omega t), \frac{E_0}{c} \sin(k z - \omega t),0)
$$
Il poynting viene fuori:
$$
\vec{S} = \frac{\vec{E}\times \vec{B}}{\mu_0} = (0,0, \frac{E_0^2}{\mu_0 c})
$$
Il risultato atteso che riporti coincide con la componente z di quello che ottengo.
Se il campo B ti torna, proverei a verificare il prodotto vettoriale.
Edit: l'errore sta nella formula del vettore di poynting che applichi
edito la vecchia risposta (causa mio evidente misunderstanding, di cui mi sono accorto ora).
Ho provato a fare i conti e, per B, ottengo (ho usato la soluzione di E con segno meno nella componente x):
$$
\vec{B} = (-\frac{E_0}{c} \cos(k z - \omega t), \frac{E_0}{c} \sin(k z - \omega t),0)
$$
Il poynting viene fuori:
$$
\vec{S} = \frac{\vec{E}\times \vec{B}}{\mu_0} = (0,0, \frac{E_0^2}{\mu_0 c})
$$
Il risultato atteso che riporti coincide con la componente z di quello che ottengo.
Se il campo B ti torna, proverei a verificare il prodotto vettoriale.
Edit: l'errore sta nella formula del vettore di poynting che applichi
Posso chiederti due chiarimenti? Più che altro perché sono alle prese con lo studio e ho ancora dei dubbi su tali argomenti:
1) Come hai ricavato il campo B? Perché io di solito pongo la coordinata a z=0 e valuto il campo ortogonale e trovo la funzione tra seno e coseno che più si addice per scomporlo(B in tal caso) lungo x. Però vorrei capire se c'è un metodo più rapido
2) Edito: correggo la precedente domanda con la risposta. Perché mi sono accorte dell'errore XD.
Quando ho svolto $S=E^2/Z$ ho quadrato ogni termine del campo, asino, perché dovevo svolgere $\vecS=|\vecE|^2/Z\vecu_z$, così coinciderebbe con il tuo risultato.
Grazie mille per il tuo aiuto!
1) Come hai ricavato il campo B? Perché io di solito pongo la coordinata a z=0 e valuto il campo ortogonale e trovo la funzione tra seno e coseno che più si addice per scomporlo(B in tal caso) lungo x. Però vorrei capire se c'è un metodo più rapido
2) Edito: correggo la precedente domanda con la risposta. Perché mi sono accorte dell'errore XD.
Quando ho svolto $S=E^2/Z$ ho quadrato ogni termine del campo, asino, perché dovevo svolgere $\vecS=|\vecE|^2/Z\vecu_z$, così coinciderebbe con il tuo risultato.
Grazie mille per il tuo aiuto!
Edit: l'errore sta nella formula del vettore di poynting che applichi che mi sembra - più o meno - quella valida per un'onda em piana polarizzata linearmente.
Dici? Perché mi pareva valida per ogni onda piana. Quindi è un caso che torni?
EDIT: ok aspetta ci stiamo accavallando
. Ho visto che hai correttoSe quindi vale anche per piane circolari....
Mi resta quindi solo questo dubbio
1) Come hai ricavato il campo B? Perché io di solito pongo la coordinata a z=0 e valuto il campo ortogonale e trovo la funzione tra seno e coseno che più si addice per scomporlo(B in tal caso) lungo x. Però vorrei capire se c'è un metodo più rapido
No no è corretto, è proprio per questo che ho modificato
Per la domanda su B: ho capito quello che fai, e sembra intuitivamente corretto. Però mi sembra poco rigoroso.
La cosa più corretta da farsi sarebbe calcolare B dalla seconda equazione di Maxwell. Trattandosi di onde piane monocromatiche, usando la notazione complessa per i campi E e B, l'ampiezza (generalmente complessa) di B è pari al prodotto vettoriale tra la direzione di propagazione dell'onda e l'ampiezza (generalmente complessa) di E a meno di costanti moltiplicative, cioé ($\vec\beta$ e $\vec\epsilon$ rappresentano le ampiezze rispettivamente di E e B, n è il versore lungo la direzione di propagazione dell'onda piana)
$$
\vec\beta = \frac{k}{\omega} \vec{n} \times \vec\epsilon
$$
Come vedi, l'alternativa rigorosa non è tuttavia più rapida.
Però forse non hai mai visto la notazione complessa e sto mettendo solo troppa carne al fuoco ...
Per la domanda su B: ho capito quello che fai, e sembra intuitivamente corretto. Però mi sembra poco rigoroso.
La cosa più corretta da farsi sarebbe calcolare B dalla seconda equazione di Maxwell. Trattandosi di onde piane monocromatiche, usando la notazione complessa per i campi E e B, l'ampiezza (generalmente complessa) di B è pari al prodotto vettoriale tra la direzione di propagazione dell'onda e l'ampiezza (generalmente complessa) di E a meno di costanti moltiplicative, cioé ($\vec\beta$ e $\vec\epsilon$ rappresentano le ampiezze rispettivamente di E e B, n è il versore lungo la direzione di propagazione dell'onda piana)
$$
\vec\beta = \frac{k}{\omega} \vec{n} \times \vec\epsilon
$$
Come vedi, l'alternativa rigorosa non è tuttavia più rapida.
Però forse non hai mai visto la notazione complessa e sto mettendo solo troppa carne al fuoco ...
Se per notazione complessa intendi portarsi a $e^(i(\veck*\vecr-omegat))$ dovrei conoscerla. Tuttavia credo di non aver capito come usare $\vec\nabla*\vecB=0$ per ricavarmi B da $\vecE=E_0(+-sin(kz-omegat), cos (kz-omegat), 0)$.
Mi piacerebbe molto capire esplicitamente come svolgere questo calcolo, così da impararlo essendo più formale e corretto
Se avessi voglia di scrivere come hai ricavato il tuo calcolo o anche solo darmi una lettura pdf a riguardo leggerei davvero volentieri!
Mi piacerebbe molto capire esplicitamente come svolgere questo calcolo, così da impararlo essendo più formale e corretto
Se avessi voglia di scrivere come hai ricavato il tuo calcolo o anche solo darmi una lettura pdf a riguardo leggerei davvero volentieri!
Puoi trovare i dettagli del conto nel Jackson, "Classical Electrodynamics" al capitolo 7 (ne esiste anche una traduzione in italiano fatta bene).
Ma credo che l'inghippo sia nel fatto che in realtà intendevo la terza equazione di maxwell o - meglio ancora a parole -la legge di Faraday in forma locale.
Si tratta di esprime il campo E che hai trovato in notazione complessa e poi applicare la formula sopra riportata per l'ampiezza del campo magnetico.
Ma credo che l'inghippo sia nel fatto che in realtà intendevo la terza equazione di maxwell o - meglio ancora a parole -la legge di Faraday in forma locale.
Si tratta di esprime il campo E che hai trovato in notazione complessa e poi applicare la formula sopra riportata per l'ampiezza del campo magnetico.
Puoi trovare i dettagli del conto nel Jackson, "Classical Electrodynamics" al capitolo 7 (ne esiste anche una traduzione in italiano fatta bene).
Ma credo che l'inghippo sia nel fatto che in realtà intendevo la terza equazione di maxwell o - meglio ancora a parole -la legge di Faraday in forma locale.
Si tratta di esprime il campo E che hai trovato in notazione complessa e poi applicare la formula sopra riportata per l'ampiezza del campo magnetico.
Ma credo che l'inghippo sia nel fatto che in realtà intendevo la terza equazione di maxwell o - meglio ancora a parole -la legge di Faraday in forma locale.
Si tratta di esprime il campo E che hai trovato in notazione complessa e poi applicare la formula sopra riportata per l'ampiezza del campo magnetico.
Grazie, cerco di farla e guardo lì in caso non venga
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo