Calcolo del flusso magnetico - integrazione
Ciao a tutti.
Ho questo classico esercizio di elettromagnetismo che mi chiede di calcolare la forza elettromotrice indotta in una spira (circuito) rettangolare di lato $x$ e altezza $h$ che si muove a velocità costante $v$ verso una zona con presenza di campo magnetico.
La spira incrocia il campo nella configurazione più semplice, ovvero in modo tale che il vettore B del campo sia parallelo al vettore A normale all'area della spira.
Parto ovviamete dal calcolo del flusso.
Dunque imposto l'integrale per il calcolo del flusso nella maniera nota: $ phi_B = -oint_(A) vecB*dvecA $
Mi viene quindi detto che il campo magnetico non è fisso ma varia con legge $ B = B_0sin(wt) $
Mi ritrovo quindi con la relazione $phi_B = -oint B_0sin(wt)dA $ e devo integrare ($cos theta $ è ovviamente uguale a 1 per come incrociano spira e campo).
Qui arriva il dubbio.
Nella soluzione al problema, $ dA $ viene trasformato in $ h*dx $ arrivando quindi a $ -oint_(A) B_0*sin(wt)h*dx $ .
Viene quindi posto tutto fuori dall'integrale e viene integrata la sola $ dx $ arrivando alla soluzione: $ B_0sin(wt)hx $
Ora mi chiedo.
A questo punto dello svolgimento, nulla sembra essere funzione di $x$ quindi viene tirato tutto fuori tranne l'integrando, che viene quindi integrato.
In realtà però, non dovrei osservare che $ dx $ a sua volta è $ v*dt $?
Avrei quindi $ dA $ essere in realtà $ h*v*dt $ ed avrei la funzione $ sin (wt) $ ora funzione del tempo, dunque da integrare, portandomi ovviamente ad un risultato totalmente diverso.
Qualcuno può aiutarmi a capire?
Grazie a tutti.
Ho questo classico esercizio di elettromagnetismo che mi chiede di calcolare la forza elettromotrice indotta in una spira (circuito) rettangolare di lato $x$ e altezza $h$ che si muove a velocità costante $v$ verso una zona con presenza di campo magnetico.
La spira incrocia il campo nella configurazione più semplice, ovvero in modo tale che il vettore B del campo sia parallelo al vettore A normale all'area della spira.
Parto ovviamete dal calcolo del flusso.
Dunque imposto l'integrale per il calcolo del flusso nella maniera nota: $ phi_B = -oint_(A) vecB*dvecA $
Mi viene quindi detto che il campo magnetico non è fisso ma varia con legge $ B = B_0sin(wt) $
Mi ritrovo quindi con la relazione $phi_B = -oint B_0sin(wt)dA $ e devo integrare ($cos theta $ è ovviamente uguale a 1 per come incrociano spira e campo).
Qui arriva il dubbio.
Nella soluzione al problema, $ dA $ viene trasformato in $ h*dx $ arrivando quindi a $ -oint_(A) B_0*sin(wt)h*dx $ .
Viene quindi posto tutto fuori dall'integrale e viene integrata la sola $ dx $ arrivando alla soluzione: $ B_0sin(wt)hx $
Ora mi chiedo.
A questo punto dello svolgimento, nulla sembra essere funzione di $x$ quindi viene tirato tutto fuori tranne l'integrando, che viene quindi integrato.
In realtà però, non dovrei osservare che $ dx $ a sua volta è $ v*dt $?
Avrei quindi $ dA $ essere in realtà $ h*v*dt $ ed avrei la funzione $ sin (wt) $ ora funzione del tempo, dunque da integrare, portandomi ovviamente ad un risultato totalmente diverso.
Qualcuno può aiutarmi a capire?
Grazie a tutti.
Risposte
L'esercizio e' equivalente a calcolare la fem indotta in una sbarretta che si muove in modo perpendicolare in un campo magnetico.
La formula e' nota $e = Blv$, dove $B$ e' il campo magnetico, $l$ la lunghezza della sbarretta, nel tuo caso $x$ o $h$, e $v$ e' la velocita'.
Quindi nel tuo caso la soluzione e' $B_0 sin(\omega t) x v$ oppure $B_0 sin(\omega t) h v$.
Prima puoi fare l'integrale per calcolare $ phi_B $, ma poi lo devi derivare in funzione del tempo per ottenere la fem, quindi alla fine prendi l'integranda e hai la soluzione.
La formula e' nota $e = Blv$, dove $B$ e' il campo magnetico, $l$ la lunghezza della sbarretta, nel tuo caso $x$ o $h$, e $v$ e' la velocita'.
Quindi nel tuo caso la soluzione e' $B_0 sin(\omega t) x v$ oppure $B_0 sin(\omega t) h v$.
Prima puoi fare l'integrale per calcolare $ phi_B $, ma poi lo devi derivare in funzione del tempo per ottenere la fem, quindi alla fine prendi l'integranda e hai la soluzione.
Grazie per la risposta Quinzio ma non cerco la soluzione al problema, di cui ho l'intero svolgimento.
Sto cercando di capire perchè $sin(wt)$ non venga derivato solo perchè ci si ferma al $dA=h*dx$
Cerco di capire cioè perchè in quel punto dello svolgimento io vedo $dx$ riconducibile a $dt$ in quanto $dx=v*dt$ mentre lo svolgimento dell'esercizio ignora questo passaggio.
Si ferma a dire che $dA = h*dx$ da cui appare che la funzione $sin(wt)$ non sia legata e quindi viene portata semplicemente fuori dall'integrale.
Quando ho svolto l'esercizio questo è quello che ho fatto:
Imposto l'integrale: $ phi_B = -oint_(A) vecB*dvecA $ da cui: $ phi_B = -oint B_0sin(wt)dA $
Quindi osservo che $dA$ è $h*dx$ (fin qui come nello svolgimento) da cui arrivo quindi a: $ -oint_(A) B_0*sin(wt)h*dx $.
Ora, nella soluzione, semplicemente si tira fuori tutto perchè nulla dipende da $dx$ per come è scritto.
da cui la soluzione: $ B_0sin(wt)hx $
Io invece ho proseguito ad osservare che $dx=v*dt$
Mi sono ritrovato quindi con: $ -oint_(A) B_0*sin(wt)h*v*dt $
A questo punto $sin(wt)$ non può più essere semplicemente tirato fuori ma va integrato...
e mi ritrovo con $B_0hv\frac{cos(wt)}{w}$.
Evidentemente sbaglio io non essendo la soluzione giusta ma non capisco perchè.
Sto cercando di capire perchè $sin(wt)$ non venga derivato solo perchè ci si ferma al $dA=h*dx$
Cerco di capire cioè perchè in quel punto dello svolgimento io vedo $dx$ riconducibile a $dt$ in quanto $dx=v*dt$ mentre lo svolgimento dell'esercizio ignora questo passaggio.
Si ferma a dire che $dA = h*dx$ da cui appare che la funzione $sin(wt)$ non sia legata e quindi viene portata semplicemente fuori dall'integrale.
Quando ho svolto l'esercizio questo è quello che ho fatto:
Imposto l'integrale: $ phi_B = -oint_(A) vecB*dvecA $ da cui: $ phi_B = -oint B_0sin(wt)dA $
Quindi osservo che $dA$ è $h*dx$ (fin qui come nello svolgimento) da cui arrivo quindi a: $ -oint_(A) B_0*sin(wt)h*dx $.
Ora, nella soluzione, semplicemente si tira fuori tutto perchè nulla dipende da $dx$ per come è scritto.
da cui la soluzione: $ B_0sin(wt)hx $
Io invece ho proseguito ad osservare che $dx=v*dt$
Mi sono ritrovato quindi con: $ -oint_(A) B_0*sin(wt)h*v*dt $
A questo punto $sin(wt)$ non può più essere semplicemente tirato fuori ma va integrato...
e mi ritrovo con $B_0hv\frac{cos(wt)}{w}$.
Evidentemente sbaglio io non essendo la soluzione giusta ma non capisco perchè.
Credo che il problema nasca dal fatto che per la variabile di integrazione del flusso è usata la stessa simbologia dell'estremo di integrazione. In genere questo non è un grosso problema, ma qui effettivamente da luogo a un'inconsistenza.
Per chiarire meglio, dato il rettangolo di lati h e x lo suddivido in elementi infinitesimi che però chiamerò $d eta$ dove la variabile $eta$ varierà tra zero e x (puoi ovviamente scegliere un qualsiasi simbolo a tuo piacimento ma non x che è già usato per indicare l'estremo finale).
Quindi anche se il campo non fosse uniforme (spazialmente), posso sempre usare $eta$ per tenerne conto e non la x.
A questo punto $dA=h* d eta$ e quindi l'integrale diventa in generale un $int_0^(x(t)) f(eta, t)* d eta$ che non dovrebbe porre dubbi sulla soluzione dello stesso.
Per chiarire meglio, dato il rettangolo di lati h e x lo suddivido in elementi infinitesimi che però chiamerò $d eta$ dove la variabile $eta$ varierà tra zero e x (puoi ovviamente scegliere un qualsiasi simbolo a tuo piacimento ma non x che è già usato per indicare l'estremo finale).
Quindi anche se il campo non fosse uniforme (spazialmente), posso sempre usare $eta$ per tenerne conto e non la x.
A questo punto $dA=h* d eta$ e quindi l'integrale diventa in generale un $int_0^(x(t)) f(eta, t)* d eta$ che non dovrebbe porre dubbi sulla soluzione dello stesso.
Grazie anche a te ingres ma credo di aver trovato la risposta.
Molto banalmente credo che chi ha redatto la soluzione abbia per qualche motivo scritto un testo ma poi ne abbia eseguito un altro.
Ovvero, questo ho capito essere un genere di esercizi standard, nei quali di solito o c'è o una spira che si muove verso un campo magnetico costante o viceversa c'è una spira dentro un campo magnetico variabile.
Ora per qualche motivo, nel testo eseguito nell'esercizio è chiaramente nominata una velocità v costante alla quale si muove la spira ma probabilmente chi ha eseguito l'esercizio ha o omesso di dire che la spira poi "si ferma" o invece abbiamo la spira che si muove ma lui ha eseguito pensando ad una spira fissa.
L'ho notato svolgendo altri esercizi del genere nei quali la soluzione che comprende sia movimento della spira sia campo variabile non appare praticamente mai, e la soluzione dell'esercizio combacia con quello che avremmo nel caso di una spira fissa dentro un campo variabile.
Credo quindi che, molto banalmente, sia questa la risposta e mi scuso per avervi fatto perdere tempo a leggere un bel mucchio di parole sostanzialmente per nulla.
Grazie a tutti.
Molto banalmente credo che chi ha redatto la soluzione abbia per qualche motivo scritto un testo ma poi ne abbia eseguito un altro.
Ovvero, questo ho capito essere un genere di esercizi standard, nei quali di solito o c'è o una spira che si muove verso un campo magnetico costante o viceversa c'è una spira dentro un campo magnetico variabile.
Ora per qualche motivo, nel testo eseguito nell'esercizio è chiaramente nominata una velocità v costante alla quale si muove la spira ma probabilmente chi ha eseguito l'esercizio ha o omesso di dire che la spira poi "si ferma" o invece abbiamo la spira che si muove ma lui ha eseguito pensando ad una spira fissa.
L'ho notato svolgendo altri esercizi del genere nei quali la soluzione che comprende sia movimento della spira sia campo variabile non appare praticamente mai, e la soluzione dell'esercizio combacia con quello che avremmo nel caso di una spira fissa dentro un campo variabile.
Credo quindi che, molto banalmente, sia questa la risposta e mi scuso per avervi fatto perdere tempo a leggere un bel mucchio di parole sostanzialmente per nulla.
Grazie a tutti.
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