Calcolo del campo elettrico di un disco carico, problemi di concetto
Devo calcolare il campo elettrico di un disco di raggio \(\displaystyle R \) carico con una carica totale \(\displaystyle Q \) in un punto a distanza \(\displaystyle d \) sul suo asse.
Premesso che, detta \(\displaystyle q \) la carica di un anello di raggio \(\displaystyle r \), il campo elettrico che questo anello eserciterebbe in un punto a distanza \(\displaystyle d \) sul suo è \(\displaystyle E=\frac{qd}{4\pi \varepsilon_0(d^2+r^2)^{3/2}} \) (formula appurata), voglio calcolare il campo del disco sfruttando il fatto che un disco è l'integrale di più anelli.
Qualcuno può farlo? Io ci ho provato ma non mi esce, perchè ho problemi con le cariche (quanta carica ha un anello se la distriubuzione è uniforme?)
Premesso che, detta \(\displaystyle q \) la carica di un anello di raggio \(\displaystyle r \), il campo elettrico che questo anello eserciterebbe in un punto a distanza \(\displaystyle d \) sul suo è \(\displaystyle E=\frac{qd}{4\pi \varepsilon_0(d^2+r^2)^{3/2}} \) (formula appurata), voglio calcolare il campo del disco sfruttando il fatto che un disco è l'integrale di più anelli.
Qualcuno può farlo? Io ci ho provato ma non mi esce, perchè ho problemi con le cariche (quanta carica ha un anello se la distriubuzione è uniforme?)
Risposte
Prendiamo in considerazione un anello "infinitesimo" (perdona l'espressione non proprio felicissima) di raggio interno $r$ e raggio esterno $r+dr$ con $0<=r<=R$, $R$ raggio del disco. Poiché la carica è distribuita sul disco in modo uniforme avremo che per l'anello vale:
$dQ=\sigmadS=\sigma2\pirdr$, infatti l'area infinitesima dell'anello la puoi calcolare nel seguente modo:
$dS=\pi(r+dr)^2-\pir^2=\pir^2+2\pirdr+\pidr^2-\pir^2$ da cui il primo e ultimo termine si elidono e il terzo lo puoi trascurare.
Vorrei inoltre farti notare che $dQ=\sigma2\pirdr$ è consistente con il nostro problema poichè
$int_(0)^(R) dQ = \sigma\2piint_(0)^(R) rdr = \piR^2\sigma$.
Il campo elettrico infinitesimo generato dall'anello vale (chiamando $z$ l'asse del disco per non fare confusione con le $d$):
$dE=\frac{dQz}{4\pi\epsilon_0(r^2+z^2)^\frac{3}{2}}=\frac{(2\pi\sigmaz)rdr}{4\pi\epsilon_0(r^2+z^2)^\frac{3}{2}}$.
Avremo cosi che
$E=\frac{\sigmaz}{4\epsilon_0}int_(0)^(R) \frac{2rdr}{(r^2+z^2)^\frac{3}{2}}$.
Ponendo $y=r^2+z^2$ si ha $dy=2rdr$.
L'integrale diventa
$E=\frac{\sigmaz}{4\epsilon_0}int_(z^2)^(R^2+z^2) \frac{dy}{y^\frac{3}{2}}$
a questo punto non sto a scrivere altri passaggi perché sono banali, il risultato comunque voglio scriverlo ed è:
$E=\frac{\sigmaz}{2\epsilon_0}(\frac{1}{abs(z)}-\frac{1}{sqrt(R^2+z^2)})$.
Se hai qualche dubbio non esitare a chiedere!!
Saluti
$dQ=\sigmadS=\sigma2\pirdr$, infatti l'area infinitesima dell'anello la puoi calcolare nel seguente modo:
$dS=\pi(r+dr)^2-\pir^2=\pir^2+2\pirdr+\pidr^2-\pir^2$ da cui il primo e ultimo termine si elidono e il terzo lo puoi trascurare.
Vorrei inoltre farti notare che $dQ=\sigma2\pirdr$ è consistente con il nostro problema poichè
$int_(0)^(R) dQ = \sigma\2piint_(0)^(R) rdr = \piR^2\sigma$.
Il campo elettrico infinitesimo generato dall'anello vale (chiamando $z$ l'asse del disco per non fare confusione con le $d$):
$dE=\frac{dQz}{4\pi\epsilon_0(r^2+z^2)^\frac{3}{2}}=\frac{(2\pi\sigmaz)rdr}{4\pi\epsilon_0(r^2+z^2)^\frac{3}{2}}$.
Avremo cosi che
$E=\frac{\sigmaz}{4\epsilon_0}int_(0)^(R) \frac{2rdr}{(r^2+z^2)^\frac{3}{2}}$.
Ponendo $y=r^2+z^2$ si ha $dy=2rdr$.
L'integrale diventa
$E=\frac{\sigmaz}{4\epsilon_0}int_(z^2)^(R^2+z^2) \frac{dy}{y^\frac{3}{2}}$
a questo punto non sto a scrivere altri passaggi perché sono banali, il risultato comunque voglio scriverlo ed è:
$E=\frac{\sigmaz}{2\epsilon_0}(\frac{1}{abs(z)}-\frac{1}{sqrt(R^2+z^2)})$.
Se hai qualche dubbio non esitare a chiedere!!
Saluti
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