Calcolo centro di massa

[Lor03]

Salve ragazzi devo chiedervi un aiuto sul calcolo del centro di massa di un corpo perchè non riesco proprio a capirlo.
Allora devo calcolare il centro di massa di una semisfera omogenea di raggio $R$.
Allora prima di tutto $Xcm$ e $Ycm$ sono uguali a 0 per simmetria. Mi resta da calcolare $Zcm$

Zcm=$(\int_{m} z dm)/M$
Zcm=$(\int_{v} z*rho dv)/M$
Ora però non riesco a capire come andare avanti.Qualcuno riesce ad aiutarmi?grazie a tutti

[Akuma1]

ciao, l'integrale da calcolare è un integrale di volume e quindi in questo caso triplo, quindi il $dv$ lo puoi scrivere $dv=dx*dy*dz$, che sarebbe il cubetto infinitesimo di massa $dm$.
essendo $rho$ costante (almeno in questo caso) ti viene fuori in integrale triplo della sola $z$...

[Quinzio]

Ok, a questo punto devi impostare per bene l'integrale da calcolare.

Ogni sezione z=k della sfera e' un cerchio, giusto ?
Bene, non resta che trovare l'Area del cerchio in funzione di z, quindi integrare da 0 al raggio.

Quindi:

[tex]Z_{cm}=\frac{ \displaystyle\int_{0}^{R} \pi(R^2-z^2)\ z \, dz}{ \displaystyle\int_{0}^{R} \pi(R^2-z^2)\ \, dz}[/tex]