Calcolo campo elettrostatico
Salve, sto facendo degli esercizi riguardanti il calcolo di un campo elettrostatico prodotto da una distribuzione di carica uniforme, ma alla fine mi trovo sempre in difficoltà. Eppure io PENSO, o almeno ci spero, di aver capito per questo credo che, FORSE, il mio problema stia negli angoli. Riporto un esercizio come esempio:
Su una sottile bacchetta di materiale isolante, piegata in modo da formare una semicirconferenza di raggio $R=20 cm$, è distribuita uniformemente una carica $q=5*10^-9 C$. Determinare: (c) il campo elettrico risultante $E2$ nel centro $O$, quando si aggiunge una carica $-q=-5*10^-9 C$ distribuita uniformemente sulla semicirconferenza opposta in modo da formare un anello di raggio $R$.
I due punti precedenti non li ho inseriti poiché in questo si racchiudono tutti i miei dubbi. Allora, io procedo in questo modo:
Considero un elementino sulla semicirconferenza positiva (che chiamo 1) $dl$ il quale, poichè la carica è distribuita in modo uniforme, dunque, la densità di carica della semicirconferenza positiva sarà $\lambda=Q/(\piR)$, avrà carica $dq=\lambdadl$. Questo $dl$ genera un campo uscente $dE$.
Prendo poi un altro elementino, simmetrico al primo, questa volta sulla semicirconferenza 2, e cioè quella negativa. Questo (da $\lambda=-Q/(\piR)$) avrà carica $dq=-\lambdadl$, il quale genera un campo $dE$ questa volta entrante. (Dove $dl=Rd\theta$)
E come possiamo vedere dal disegno, andando a considerare le componenti, quelle lungo y sono uguali ed opposte, quindi si elidono, lungo x invece corrispondono. Quindi il campo totale E (o meglio il modulo) sarà dato dalla somma dell'integrale della componente lungo x di $dE$ generato dalla semicirconferenza positiva più l'integrale della componente lungo x di $dE$ generato dalla semicirconferenza negativa. (Il primo integrale va da $\pi/2$ a $3/2"\pi$; il secondo integrale va da $3/2\pi$ a $\pi/2$, è corretto?).
Il problema subentra FORSE qui! La componente lungo x è $dE= 1/(4\pi\varepsilon) (dq)/R^2 cos\theta$, ma io come angolo $\theta$ non so quale prendere, cioè se considero quello del secondo quadrante corrisponde $\pi-\theta$ il cui $coseno$ sarà negativo, ma se considero il quarto (e cioè quello che va a formare il campo) corrisponde a $-\theta$ il cui $coseno$ è positivo.
Inoltre, è corretto ragionare come ho fatto io con la densità? E cioè considerarla positiva per la prima semicirconferenza e negativa per la seconda. E quindi, quando vado a sostituire nuovamente $\lambda$ nell'integrale ormai svolto, una volta viene positivo ed un'altra negativo??
Perchè il libro, poichè nel primo punto chiede semplicemente di calcolare il C.E. $E1$ in $O$ della semicirconferenza positiva, il punto (c), quello sopra richiesto, lo risolve andando a considerare $E2=2*E1$ e quindi considera il campo dell'anello come il doppio di quello della semicirconferenza. Ma perchè non considerare la carica positiva e quella negativa?
SCUSATE se mi sono dilungata è che volevo cercare di essere chiara e spero di non aver ottenuto l'effetto contrario. Spero che possiate aiutarmi.
Su una sottile bacchetta di materiale isolante, piegata in modo da formare una semicirconferenza di raggio $R=20 cm$, è distribuita uniformemente una carica $q=5*10^-9 C$. Determinare: (c) il campo elettrico risultante $E2$ nel centro $O$, quando si aggiunge una carica $-q=-5*10^-9 C$ distribuita uniformemente sulla semicirconferenza opposta in modo da formare un anello di raggio $R$.
I due punti precedenti non li ho inseriti poiché in questo si racchiudono tutti i miei dubbi. Allora, io procedo in questo modo:
Considero un elementino sulla semicirconferenza positiva (che chiamo 1) $dl$ il quale, poichè la carica è distribuita in modo uniforme, dunque, la densità di carica della semicirconferenza positiva sarà $\lambda=Q/(\piR)$, avrà carica $dq=\lambdadl$. Questo $dl$ genera un campo uscente $dE$.
Prendo poi un altro elementino, simmetrico al primo, questa volta sulla semicirconferenza 2, e cioè quella negativa. Questo (da $\lambda=-Q/(\piR)$) avrà carica $dq=-\lambdadl$, il quale genera un campo $dE$ questa volta entrante. (Dove $dl=Rd\theta$)
E come possiamo vedere dal disegno, andando a considerare le componenti, quelle lungo y sono uguali ed opposte, quindi si elidono, lungo x invece corrispondono. Quindi il campo totale E (o meglio il modulo) sarà dato dalla somma dell'integrale della componente lungo x di $dE$ generato dalla semicirconferenza positiva più l'integrale della componente lungo x di $dE$ generato dalla semicirconferenza negativa. (Il primo integrale va da $\pi/2$ a $3/2"\pi$; il secondo integrale va da $3/2\pi$ a $\pi/2$, è corretto?).
Il problema subentra FORSE qui! La componente lungo x è $dE= 1/(4\pi\varepsilon) (dq)/R^2 cos\theta$, ma io come angolo $\theta$ non so quale prendere, cioè se considero quello del secondo quadrante corrisponde $\pi-\theta$ il cui $coseno$ sarà negativo, ma se considero il quarto (e cioè quello che va a formare il campo) corrisponde a $-\theta$ il cui $coseno$ è positivo.
Inoltre, è corretto ragionare come ho fatto io con la densità? E cioè considerarla positiva per la prima semicirconferenza e negativa per la seconda. E quindi, quando vado a sostituire nuovamente $\lambda$ nell'integrale ormai svolto, una volta viene positivo ed un'altra negativo??
Perchè il libro, poichè nel primo punto chiede semplicemente di calcolare il C.E. $E1$ in $O$ della semicirconferenza positiva, il punto (c), quello sopra richiesto, lo risolve andando a considerare $E2=2*E1$ e quindi considera il campo dell'anello come il doppio di quello della semicirconferenza. Ma perchè non considerare la carica positiva e quella negativa?
SCUSATE se mi sono dilungata è che volevo cercare di essere chiara e spero di non aver ottenuto l'effetto contrario. Spero che possiate aiutarmi.
Risposte
Gli angoli che devi usare sono quelli fra il vettore E e l'asse x, così che sono positivi per entrambe le semicirconferenze, infatti le due azioni si sommano.
Poi appunto, come dice il libro, l'effetto delle due semicirconferenze è lo stesso, quindi basta fare il conto per una e moltiplicare per due.
I conti sulla densità mi sembrano giusti, salvo appunto che non mi pare il caso di farli due volte, visto che danno lo stesso risultato.
Innanzitutto grazie mille per avermi risposto...
Allora...quindi andando a considerare quest'angolo vanno a cambiare anche gli estremi di integrazione e saranno $-\pi/2$ a $\pi/2$.
Però se i calcoli della densità sono fatti bene, allora occorre che li faccia due volte poiché non sono uguali, in quanto una risulta positiva e l'altra negativa. Questo, inoltre,comporta che il secondo integrale risulti negativo, contrariamente dal primo, a meno che non vada a considerare che nel secondo caso la circonferenza è percorsa in senso orario e quindi devo aggiungerci il segno meno. (o anche gli estremi di integrazione saranno $\pi/2$ a $-\pi/2$. Cosa sbaglio? (Considerando il segno meno della circonferenza percorsa in senso orario o gli estremi di integrazione invertiti mi trovo con il risultato poi del libro $E2=2E1$)
So che sono cose banali, chiedo scusa, ma finchè non mi viene confermato non riesco ad esserne convinta.
Allora...quindi andando a considerare quest'angolo vanno a cambiare anche gli estremi di integrazione e saranno $-\pi/2$ a $\pi/2$.
Però se i calcoli della densità sono fatti bene, allora occorre che li faccia due volte poiché non sono uguali, in quanto una risulta positiva e l'altra negativa. Questo, inoltre,comporta che il secondo integrale risulti negativo, contrariamente dal primo, a meno che non vada a considerare che nel secondo caso la circonferenza è percorsa in senso orario e quindi devo aggiungerci il segno meno. (o anche gli estremi di integrazione saranno $\pi/2$ a $-\pi/2$. Cosa sbaglio? (Considerando il segno meno della circonferenza percorsa in senso orario o gli estremi di integrazione invertiti mi trovo con il risultato poi del libro $E2=2E1$)
So che sono cose banali, chiedo scusa, ma finchè non mi viene confermato non riesco ad esserne convinta.
Va bene che le due densità non sono uguali, ma opposte, d'altra parte la semicirconferenza negativa è a DESTRA del centro, ($E_x$ va a destra) e quella positiva è a SINISTRA, ($E_x$ va pure a destra), cosicchè i loro effetti non si elidono ma si sommano. Anzi, potresti anche prendere solo un quarto di circonferenza, la metà di sopra per esempio, visto che il contributo della metà di sotto è identico ($cos(\theta) = cos(-\theta)$)
Invece non capisco quello che dici sul verso di percorrenza della circonferenza. Si tratta di sommare i contributi dei vari segmenti, cosa c'entra il verso?
Invece non capisco quello che dici sul verso di percorrenza della circonferenza. Si tratta di sommare i contributi dei vari segmenti, cosa c'entra il verso?
Mi è ora chiaro che posso considerare il campo totale come somma dei campi delle due semicirconferenze, o anche considerare un quarto di circonferenza e moltiplicarlo poi per quattro. Ma io vorrei trovarmi anche analiticamente, andando quindi a fare tutti i passaggi, ovvero considerando il ragionamento fatto nella risposta precedente, prendo due semicirconferenze, i due elementini, le due densità uguali in modulo e verso opposto...infine otteniamo i due integrali definiti, per la prima circonferenza gli estremi sono $-\pi/2$ $\pi/2$, per la seconda semicirconferenza invece? Quali sono? Se considero gli stessi estremi di integrazione del primo integrale, quando vado a sostituire $\lambda2$ ottengo un risultato negativo (uguale in modulo al primo pezzo) e si va ad annullare con il primo integrale ottenendo un campo nullo. Se invece prendo come estremi $\pi/2$ $-\pi/2$ io sto considerando la circonferenza percorsa in senso orario,ma il verso dell'angolo è sempre quello antiorario, occorre quindi mettere un meno dinanzi, che moltiplicato con il meno della densità diventa il tutto positivo. In questo caso gli integrali si andranno a sommare ottenendo lo stesso risultato del ragionamento logico.
Ma perchè prendere i secondi estremi e non i primi?
Nella risposta precedente ho anche messo una foto con i passaggi.
Non so se ora sono stata chiara o se ho fatto un macello...
Ma perchè prendere i secondi estremi e non i primi?
Nella risposta precedente ho anche messo una foto con i passaggi.
Non so se ora sono stata chiara o se ho fatto un macello...
Aspetta....forse posso spiegarla un po' meglio. Ogni volta che io vario elementino in senso antiorario (verso dell'angolo), $dE$+ varia e l'angolo $\theta$ si sposta in senso antiorario, l'andolo di $dE$_ invece, essendo il simmetrico, si sta spostando in senso orario. Quindi o per al secondo integrale aggiungo il segno meno, mettendo gli stessi estremi di integrazione del primo, o lascio come estremi $\pi/2$ $-\pi/2$ ottenendo comunque lo stesso risultato.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo