Calcoli a partire da Lagrangiana
Salve a tutti,
sto iniziando ad affrontare alcuni esercizi con la lagrangiana e in questi due mi sono bloccato per dei dubbi...
Es.1
$ L=(m_1+m_2)/2dot(x)^2+m_2lcosvarthetadot(x)dot(vartheta )+m_2/2l^2dot(vartheta )^2-kx^2+m_2glcosvartheta $
con coordinate x, $ vartheta $
Svolgendo i calcoli per le equazioni del moto, quella originata dalle derivate di x viene corretta, l'altra no.
La soluzione che possiedo risulta:
$ lddot(vartheta )+cosvartheta ddot(x)+gsenvartheta =0 $
ma secondo i miei calcoli ottengo:
$ ddot(x)cosvartheta - dot(x)dot(vartheta )senvartheta +lddot(vartheta )+ dot(x)dot(vartheta )^2senvartheta+gdot(vartheta)senvartheta =0 $
e non capisco cosa mi sto perdendo (intuisco che due termini dovrebbero annullarsi ma non so...)
Es.2
$ L=m/2(2dot(x)^2+dot(y)^2)-mg(y-x)-k(x^2+1/2y^2+xy-ax-ay) $
con coordinate x, y
In questo caso mi fermo più avanti, nello studio delle vibrazioni di piccole oscillazioni.
Ho trovato le coordinate di equilibrio $ x_0=2mg/k, y_0=a-3mg/k $ con a cost positiva data dal testo.
Il punto sui cui ho confusione è questo, ora vogli travare i due coefficienti $ lambda $ ma non capisco se impostare un'equazione matriciale del tipo $ mddot(X)+Adot(X)+B=0 $ oppure $ Addot(X)+Bdot(X)=0 $ ma dato che ho dei termini noti nelle mie eq del moto direi più la prima...
Le equazioni del moto sono:
$ { ( 2mddot(x)+ky+2kx-ka-mg=0),(mddot(y)+kx+ky-ka+mg=0 ):} $
Qualcuno gentilmente potrebbe darmi delucidazioni in merito?
Grazie e buone feste e a tutti!!
sto iniziando ad affrontare alcuni esercizi con la lagrangiana e in questi due mi sono bloccato per dei dubbi...
Es.1
$ L=(m_1+m_2)/2dot(x)^2+m_2lcosvarthetadot(x)dot(vartheta )+m_2/2l^2dot(vartheta )^2-kx^2+m_2glcosvartheta $
con coordinate x, $ vartheta $
Svolgendo i calcoli per le equazioni del moto, quella originata dalle derivate di x viene corretta, l'altra no.
La soluzione che possiedo risulta:
$ lddot(vartheta )+cosvartheta ddot(x)+gsenvartheta =0 $
ma secondo i miei calcoli ottengo:
$ ddot(x)cosvartheta - dot(x)dot(vartheta )senvartheta +lddot(vartheta )+ dot(x)dot(vartheta )^2senvartheta+gdot(vartheta)senvartheta =0 $
e non capisco cosa mi sto perdendo (intuisco che due termini dovrebbero annullarsi ma non so...)
Es.2
$ L=m/2(2dot(x)^2+dot(y)^2)-mg(y-x)-k(x^2+1/2y^2+xy-ax-ay) $
con coordinate x, y
In questo caso mi fermo più avanti, nello studio delle vibrazioni di piccole oscillazioni.
Ho trovato le coordinate di equilibrio $ x_0=2mg/k, y_0=a-3mg/k $ con a cost positiva data dal testo.
Il punto sui cui ho confusione è questo, ora vogli travare i due coefficienti $ lambda $ ma non capisco se impostare un'equazione matriciale del tipo $ mddot(X)+Adot(X)+B=0 $ oppure $ Addot(X)+Bdot(X)=0 $ ma dato che ho dei termini noti nelle mie eq del moto direi più la prima...
Le equazioni del moto sono:
$ { ( 2mddot(x)+ky+2kx-ka-mg=0),(mddot(y)+kx+ky-ka+mg=0 ):} $
Qualcuno gentilmente potrebbe darmi delucidazioni in merito?
Grazie e buone feste e a tutti!!
Risposte
Risulta per Es.1
$(del L)/(del dot(theta)) = m_2 l cos(theta)*dot(x)+m_2 l^2 dot(theta)$
$(d((del L))/(del dot(theta)))/dt = - m_2 l sin(theta) dot(x) dot(theta) +m_2 l cos(theta) ddot(x) + m_2 l^2 ddot(theta)$
$(del L)/(del theta) = - m_2 l sin(theta) dot(x) dot(theta) - m_2 g l sin(theta)$
e quindi
$(d((del L))/(del dot(theta)))/dt - (del L)/(del theta) = m_2 l^2 ddot(theta) +m_2 l cos(theta) ddot(x) + m_2 g l sin(theta) = 0$
ovvero
$ l ddot(theta) + cos(theta) ddot(x) + g sin(theta)=0$
Per quanto riguarda l'Es. 2 non ho capito bene la domanda. Si tratta di determinare le radici caratteristiche del sistema differenziale del moto?
$(del L)/(del dot(theta)) = m_2 l cos(theta)*dot(x)+m_2 l^2 dot(theta)$
$(d((del L))/(del dot(theta)))/dt = - m_2 l sin(theta) dot(x) dot(theta) +m_2 l cos(theta) ddot(x) + m_2 l^2 ddot(theta)$
$(del L)/(del theta) = - m_2 l sin(theta) dot(x) dot(theta) - m_2 g l sin(theta)$
e quindi
$(d((del L))/(del dot(theta)))/dt - (del L)/(del theta) = m_2 l^2 ddot(theta) +m_2 l cos(theta) ddot(x) + m_2 g l sin(theta) = 0$
ovvero
$ l ddot(theta) + cos(theta) ddot(x) + g sin(theta)=0$
Per quanto riguarda l'Es. 2 non ho capito bene la domanda. Si tratta di determinare le radici caratteristiche del sistema differenziale del moto?
ingres:
Risulta per Es.1
Ti ringrazio! Ho capito quale errore stavo commettendo
ingres:
Per quanto riguarda l'Es. 2 non ho capito bene la domanda. Si tratta di determinare le radici caratteristiche del sistema differenziale del moto?
Immagino di sì, cioè, non le ho lette chiamate in questi termini. Ma spesso la richiesta che ricorre in questi tipi di esercizi in cui il corpo in analisi è libero di oscillare in un piano, è quella di determinare la frequenza delle piccole oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabile e i modi normali di vibrazione...intuisco che ci stiamo riferendo alla stessa cosa ma perdonami se non ne sono certo da come lo chiami tu
p.s. buon anno nuovo a tutti!
OK. Essendo un sistema lineare non è molto significativo che le oscillazioni siano piccole o meno.
In ogni caso le posizioni di equilibrio rappresentano anche la soluzione particolare del sistema di equazioni differenziali lineari, a cui va aggiunta la soluzione dell'omogenea associata, che è:
$ddotx + 2k/m x + k/m y = 0$
$ddoty + k/m x + k/m y = 0$
Nota: si giunge allo stesso sistema anche in termini variati ovvero considerando non x e y ma le loro differenze rispetto alla posizione di equilibrio.
Gli autovalori del sistema sono dati da
$det((lambda^2 + 2k/m, k/m), (k/m,lambda^2 + k/m))=0$
Quindi il polinomio caratteristico è
$lambda^4+3 k/m lambda^2 + (k/m)^2 = 0$
ovvero un polinomio di quarto grado (essendo un sistema di due equazioni di secondo ordine) con soluzione:
$lambda = +-j(sqrt((3+-sqrt(5))/2)) sqrt(k/m) = +-j ((sqrt(5) +- 1)/2)sqrt(k/m)$
In pratica la soluzione dell'omogenea è una combinazione di seni e coseni di pulsazione (modi normali)
$omega_1 = (sqrt(5) + 1)/2 sqrt(k/m)$
$omega_2 = (sqrt(5) - 1)/2 sqrt(k/m)$
Nota: allo stesso risultato si poteva giungere considerando che si tratta di oscillazioni e quindi supponendo delle soluzioni in termini complessi del tipo $x=X e^(j omega t)$ e $y=Y e^(j omega t)$. Si ottiene così un sistema lineare omogeneo in X e Y. Imponendo che il determinante del sistema sia nullo per evitare la soluzione banale X=Y=0, si riottengono le pulsazioni di cui sopra.
A questo punto volendo completare la soluzione, per x(t) risulta
$x(t) = A cos(omega_1 t) + B sin(omega_1 t) + C cos(omega_2 t) + D sin(omega_2 t) + 2 (mg)/k$
Per determinare A,B,C,D si suppone di avere $x(0), y(0), dotx(0), doty(0)$. Quindi dall'equazione differenziale in $ddotx$ si può ricavare la derivata seconda di x a t=0, e derivando la stessa equazione anche la derivata terza di x a t=0.
A questo imponendo le uguaglianze a t=0 si ricavano i coefficienti in questione.
Una volta determinato x(t), sempre dall'equazione differenziale in $ddotx$ è facile ricavare direttamente y(t).
Nota: un metodo alternativo che non richiedeva le derivate seconde e terze consisteva nel considerare che le soluzioni in termini di variazione rispetto alle posizioni di equilibrio sono una combinazione lineare degli autovettori associati ai modi normali.
PS: Buon Anno a tutti!
In ogni caso le posizioni di equilibrio rappresentano anche la soluzione particolare del sistema di equazioni differenziali lineari, a cui va aggiunta la soluzione dell'omogenea associata, che è:
$ddotx + 2k/m x + k/m y = 0$
$ddoty + k/m x + k/m y = 0$
Nota: si giunge allo stesso sistema anche in termini variati ovvero considerando non x e y ma le loro differenze rispetto alla posizione di equilibrio.
Gli autovalori del sistema sono dati da
$det((lambda^2 + 2k/m, k/m), (k/m,lambda^2 + k/m))=0$
Quindi il polinomio caratteristico è
$lambda^4+3 k/m lambda^2 + (k/m)^2 = 0$
ovvero un polinomio di quarto grado (essendo un sistema di due equazioni di secondo ordine) con soluzione:
$lambda = +-j(sqrt((3+-sqrt(5))/2)) sqrt(k/m) = +-j ((sqrt(5) +- 1)/2)sqrt(k/m)$
In pratica la soluzione dell'omogenea è una combinazione di seni e coseni di pulsazione (modi normali)
$omega_1 = (sqrt(5) + 1)/2 sqrt(k/m)$
$omega_2 = (sqrt(5) - 1)/2 sqrt(k/m)$
Nota: allo stesso risultato si poteva giungere considerando che si tratta di oscillazioni e quindi supponendo delle soluzioni in termini complessi del tipo $x=X e^(j omega t)$ e $y=Y e^(j omega t)$. Si ottiene così un sistema lineare omogeneo in X e Y. Imponendo che il determinante del sistema sia nullo per evitare la soluzione banale X=Y=0, si riottengono le pulsazioni di cui sopra.
A questo punto volendo completare la soluzione, per x(t) risulta
$x(t) = A cos(omega_1 t) + B sin(omega_1 t) + C cos(omega_2 t) + D sin(omega_2 t) + 2 (mg)/k$
Per determinare A,B,C,D si suppone di avere $x(0), y(0), dotx(0), doty(0)$. Quindi dall'equazione differenziale in $ddotx$ si può ricavare la derivata seconda di x a t=0, e derivando la stessa equazione anche la derivata terza di x a t=0.
A questo imponendo le uguaglianze a t=0 si ricavano i coefficienti in questione.
Una volta determinato x(t), sempre dall'equazione differenziale in $ddotx$ è facile ricavare direttamente y(t).
Nota: un metodo alternativo che non richiedeva le derivate seconde e terze consisteva nel considerare che le soluzioni in termini di variazione rispetto alle posizioni di equilibrio sono una combinazione lineare degli autovettori associati ai modi normali.
PS: Buon Anno a tutti!
Grazie per la risposta e il tempo dedicatomi.
Continuo ad avere problemi in particolar modo su questo tipo di consegne.
Altro esercizio, i punti precedenti li ho svolti correttamente e sono arrivato a questi risultati:
$ T= 2mdot(x)^2+1/2ml^2dot(vartheta)^2+dot(x)dot(vartheta)mlcosvartheta $
$ V=1/2kx^2+mglcosvartheta $ (g positivo perchè SdR con y verso il basso)
$ L=2mdot(x)^2+1/2ml^2dot(vartheta)^2+dot(x)dot(vartheta)mlcosvartheta -1/2kx^2+mglcosvartheta $
eq. del moto:
x: $ 4mddot(x)+ddot(vartheta )mlcosvartheta -dot(vartheta)^2 mlsenvartheta+kx=0 $
$ vartheta $ : $ lddot(vartheta )+ddot(x)cosvartheta +senvartheta =0 $
punti di equilibrio: $ (x,vartheta ) $ (0,0) eq. stabile, (0,pi) eq. instabile
Ora arriva il punto per me complicato:
"determinare le frequenze e i modi normali di vibrazione del sistema se k=4mg/l attraverso il metodo matriciale"
Le frequenze le ho fortunatamente ricavate (finalmente!) ma ecco che mi blocco subito dopo
.
frequenze normali: $ w_1^2=(2g)/(3l), w_2^2=(2g)/(l) $
modi normali (da soluzione): $ xi _1=sqrt(1/5)( ( 1 ),( 2 ) ) , xi _2=sqrt(1/5)( ( 1 ),( -2 ) ) $
che non so come arrivarci, o meglio, non so da dove tirar fuori quella radice per la normalizzazione.
Io ho ragionato così: sono tornata alla matrice utilizzata per ricavare w^2, sostituito i due valori, e impostato il calcolo:
(caso $ w_2^2$) $ (( -4g , -2gl ),( -2g/l , -g ) ) ( ( a ),( b ) ) = ( ( 0 ),( 0) ) $
in questo caso ottengo $ b=(-2a)/(l) $ quindi, a meno di costanti il mio autovettore è riscrivibile come $( ( a ),( -2a ) ) = ( ( 1 ),( -2 ) )$ ...e da qui? grande vuoto!
Continuo ad avere problemi in particolar modo su questo tipo di consegne.
Altro esercizio, i punti precedenti li ho svolti correttamente e sono arrivato a questi risultati:
$ T= 2mdot(x)^2+1/2ml^2dot(vartheta)^2+dot(x)dot(vartheta)mlcosvartheta $
$ V=1/2kx^2+mglcosvartheta $ (g positivo perchè SdR con y verso il basso)
$ L=2mdot(x)^2+1/2ml^2dot(vartheta)^2+dot(x)dot(vartheta)mlcosvartheta -1/2kx^2+mglcosvartheta $
eq. del moto:
x: $ 4mddot(x)+ddot(vartheta )mlcosvartheta -dot(vartheta)^2 mlsenvartheta+kx=0 $
$ vartheta $ : $ lddot(vartheta )+ddot(x)cosvartheta +senvartheta =0 $
punti di equilibrio: $ (x,vartheta ) $ (0,0) eq. stabile, (0,pi) eq. instabile
Ora arriva il punto per me complicato:
"determinare le frequenze e i modi normali di vibrazione del sistema se k=4mg/l attraverso il metodo matriciale"
Le frequenze le ho fortunatamente ricavate (finalmente!) ma ecco che mi blocco subito dopo
.frequenze normali: $ w_1^2=(2g)/(3l), w_2^2=(2g)/(l) $
modi normali (da soluzione): $ xi _1=sqrt(1/5)( ( 1 ),( 2 ) ) , xi _2=sqrt(1/5)( ( 1 ),( -2 ) ) $
che non so come arrivarci, o meglio, non so da dove tirar fuori quella radice per la normalizzazione.
Io ho ragionato così: sono tornata alla matrice utilizzata per ricavare w^2, sostituito i due valori, e impostato il calcolo:
(caso $ w_2^2$) $ (( -4g , -2gl ),( -2g/l , -g ) ) ( ( a ),( b ) ) = ( ( 0 ),( 0) ) $
in questo caso ottengo $ b=(-2a)/(l) $ quindi, a meno di costanti il mio autovettore è riscrivibile come $( ( a ),( -2a ) ) = ( ( 1 ),( -2 ) )$ ...e da qui? grande vuoto!
"Frappi":
..e da qui? grande vuoto!
A questo punto ti basta normalizzare il vettore che hai trovato in modo che abbia modulo unitario (e da qui ottieni il $sqrt 5$).
Grazie tantissimo per tutti i chiarimenti e per il tuo tempo.
Un'ultima questione, poi, forse, dovrei finalmente aver chiarito le mie questioni irrisolte.
Mi sono imbattuto in un esercizio svolto che facendolo in autonomia non sarei giunto allo stesso risultato ma non riesco nemmeno a cogliere completamente il ragionamento che sta dietro.
La lagrangiana originaria è questa:
$ L =1/2(M_1+M_2)dot(d)^2+1/2M_2l^2dot(θ)^2+M_2ldot(d)dot(θ)sin(α−θ)+(M_1+M_2) d g cos α+M_2 g lcos θ−1/2k d^2cos^2 α $
ed assieme alle equazioni del moto va sviluppata attorno al punto di equilibrio stabile dato da $ (d;theta)=(((M_1+M_2)g)/(kcosalpha);0) $
Per quanto riguarda le equazioni del moto il mio risultato combacia con quello atteso, per la lagrangiana no.
Come si arriva a questo risultato?
$ L~ 1/2(M_1 + M_2)\dot(δ)^2 +1/2M_2l^2\dot(θ)^2+ M_2l\dot(δ)\dot(θ) sin α-1/2M_2glθ^2-1/2kδ^2cos^2α $
(considerando $ δ $ un discostamento infinitesimo dalla posizione di equilibrio e $alpha$ un angolo costante)
Mi sembra di intuire che vada sviluppato il coseno ma io nelle eq. del moto nel caso di oscillazioni attorno all'angolo nullo ho sempre sostituito il coseno con il valore 1 e il seno con l'angolo stesso, arrivando ai giusti risultati e trascurando qualunque termine al di sopra del grado 1...è sbagliato?
Inoltre non riesco ad arrivare alle frequenze di vibrazione pari a $ sqrt((4g)/(5l)) $ e $ sqrt((4g)/(3l)) $ perchè utilizzo il calcolo matriciale ma al momento di calcolare il delta dell'equazione di quarto grado in w, non mi esce nessun quadrato perfetto...
Un'ultima questione, poi, forse, dovrei finalmente aver chiarito le mie questioni irrisolte.
Mi sono imbattuto in un esercizio svolto che facendolo in autonomia non sarei giunto allo stesso risultato ma non riesco nemmeno a cogliere completamente il ragionamento che sta dietro.
La lagrangiana originaria è questa:
$ L =1/2(M_1+M_2)dot(d)^2+1/2M_2l^2dot(θ)^2+M_2ldot(d)dot(θ)sin(α−θ)+(M_1+M_2) d g cos α+M_2 g lcos θ−1/2k d^2cos^2 α $
ed assieme alle equazioni del moto va sviluppata attorno al punto di equilibrio stabile dato da $ (d;theta)=(((M_1+M_2)g)/(kcosalpha);0) $
Per quanto riguarda le equazioni del moto il mio risultato combacia con quello atteso, per la lagrangiana no.
Come si arriva a questo risultato?
$ L~ 1/2(M_1 + M_2)\dot(δ)^2 +1/2M_2l^2\dot(θ)^2+ M_2l\dot(δ)\dot(θ) sin α-1/2M_2glθ^2-1/2kδ^2cos^2α $
(considerando $ δ $ un discostamento infinitesimo dalla posizione di equilibrio e $alpha$ un angolo costante)
Mi sembra di intuire che vada sviluppato il coseno ma io nelle eq. del moto nel caso di oscillazioni attorno all'angolo nullo ho sempre sostituito il coseno con il valore 1 e il seno con l'angolo stesso, arrivando ai giusti risultati e trascurando qualunque termine al di sopra del grado 1...è sbagliato?
Inoltre non riesco ad arrivare alle frequenze di vibrazione pari a $ sqrt((4g)/(5l)) $ e $ sqrt((4g)/(3l)) $ perchè utilizzo il calcolo matriciale ma al momento di calcolare il delta dell'equazione di quarto grado in w, non mi esce nessun quadrato perfetto...
"Frappi":
Come si arriva a questo risultato?
Si ottiene sviluppando il coseno con il termine di secondo grado e tenendo anche conto del termine in $delta^2$ nell'ultimo termine.
Facendo i conti si eliminano i termini in $delta$ e rimangono solo i termini di secondo grado (eventuali termini costanti residui sono ininfluenti).
"Frappi":
Mi sembra di intuire che vada sviluppato il coseno ma io nelle equazioni del moto nel caso di oscillazioni attorno all'angolo nullo ho sempre sostituito il coseno con il valore 1 e il seno con l'angolo stesso, arrivando ai giusti risultati e trascurando qualunque termine al di sopra del grado 1...è sbagliato?
Nelle equazioni del moto conservare fino ai termini lineari (ovvero porre 1 il coseno e e l'angolo per il seno) significa conservare fino ai termini di secondo ordine nella Lagrangiana in quanto i termini lineari sono derivati dai termini quadratici. Fisicamente, i termini in questione rappresentano l'energia elastica, mentre i termini di secondo grado delle derivate rappresentano i termini cinetici. Quindi in questo caso per il coseno bisogna sviluppare fino al secondo ordine.
"Frappi":
Inoltre non riesco ad arrivare alle frequenze di vibrazione
Ti da il risultato per qualche rapporto assegnato tra le masse $M_1$ e $M_2$?
Ti da il risultato per qualche rapporto assegnato tra le masse M1 e M2?
Ottima osservazione, sì é stata una svista. Si pone $ M_1=3M_2=3m, alpha=pi/6, k=16/3mg/l $. Riprovando però a fare i calcoli per l'ennesima volta ho raggiunto i risultati attesi, quindi sono a posto così grazie comunque per tutto!
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