Calcolare la forza magnetica di cui risente una striscia immersa in un campo magnetico
Buonasera,
di seguito, il testo dell'esercizio che non riesco a svolgere:
"Su due superfici piane indefinite parallele al piano $\haty - \hatz $ poste in $x = 0$ ed $x=d$ di un sistema cartesiano, scorre la stessa densità di corrente $\overlinej = j_0 \haty$. con $j_0 =34.2 \times 10^{-2} A/m.$
$a)$ Determinare il campo magnetico totale in tutti i punti dello spazio.
$b)$ Calcolare la forza per unitá di lunghezza di cui risente una striscia appartenente al piano $x=d$ di larghezza $\Δ
z= 3 cm$ e diretta lungo l'asse ŷ."
Il campo magnetico, salvo errori, mi è risultato:
$\overlineB(0d)=-\mu_0j\hatz.$
Non so come risolvere il punto b).
Nel provarci ho supposto che la striscia su cui calcolare la forza fosse suddivisa in infiniti fili orientati lungo $\haty$ su cui scorre la corrente $j*\Δz$ nell'intervallo $\Deltaz$.
Ho considerato che su un generico filo $dz$ sia applicata la forza $F=\int dF$
$d\overlineF=i d \overline{s} \times \overlineB =i ds B(x>=d)\hatx$
supponendo una lunghezza complessiva L:
$\overlineF=iLB\hatx$
$\overlineF/L=iB\hatx$
dove $i$ è la corrente che scorre su un tratto di filo $ds \haty$ e $B$ è il campo che c'è per $x>=d$.
Se ho considerato la formula giusta, non so se è corretto esplicitare $i$ come $j*\Δz$, né come sommare i contributi di forza lungo $Δz$.
$\overlineF/L=iB\hatx$ mi risulta avere l'unità di misura corretta, ma se lo integro su $z$ ottengo solo $N$, da cui sono portato a pensare di avere sbagliato.
Grazie in anticipo per la vostra attenzione.
di seguito, il testo dell'esercizio che non riesco a svolgere:
"Su due superfici piane indefinite parallele al piano $\haty - \hatz $ poste in $x = 0$ ed $x=d$ di un sistema cartesiano, scorre la stessa densità di corrente $\overlinej = j_0 \haty$. con $j_0 =34.2 \times 10^{-2} A/m.$
$a)$ Determinare il campo magnetico totale in tutti i punti dello spazio.
$b)$ Calcolare la forza per unitá di lunghezza di cui risente una striscia appartenente al piano $x=d$ di larghezza $\Δ
z= 3 cm$ e diretta lungo l'asse ŷ."
Il campo magnetico, salvo errori, mi è risultato:
$\overlineB(0
Non so come risolvere il punto b).
Nel provarci ho supposto che la striscia su cui calcolare la forza fosse suddivisa in infiniti fili orientati lungo $\haty$ su cui scorre la corrente $j*\Δz$ nell'intervallo $\Deltaz$.
Ho considerato che su un generico filo $dz$ sia applicata la forza $F=\int dF$
$d\overlineF=i d \overline{s} \times \overlineB =i ds B(x>=d)\hatx$
supponendo una lunghezza complessiva L:
$\overlineF=iLB\hatx$
$\overlineF/L=iB\hatx$
dove $i$ è la corrente che scorre su un tratto di filo $ds \haty$ e $B$ è il campo che c'è per $x>=d$.
Se ho considerato la formula giusta, non so se è corretto esplicitare $i$ come $j*\Δz$, né come sommare i contributi di forza lungo $Δz$.
$\overlineF/L=iB\hatx$ mi risulta avere l'unità di misura corretta, ma se lo integro su $z$ ottengo solo $N$, da cui sono portato a pensare di avere sbagliato.
Grazie in anticipo per la vostra attenzione.
Risposte
"Alex96_":
... ho supposto che la striscia su cui calcolare la forza fosse suddivisa in infiniti fili orientati lungo $\haty$ su cui scorre la corrente $j*\Δz$ nell'intervallo $\Deltaz$. ...
Esatto.
"Alex96_":
... Ho considerato che su un generico filo $dz$ sia applicata la forza $F=\int dF$
$d\overlineF=i d \overline{s} \times \overlineB =i ds B(x>=d)\hatx$ ...
Direi che, considerando direttamente l'intera lunghezza $L$, percorsa da una corrente $\text{d}i=j_0 \text{d}z$, avremo
$\text{d}\overlineF=\text{d}i \ L \ \hat{y} \times \overlineB=-\text{d}i \ L B\ \hat{y} \times \hat{z}$
che integrata sul tratto $\Delta z$ porta a
\(\overline F=-j_0\ \Delta z \ LB\ \hat x\)
"Alex96_":
... non so se è corretto esplicitare $i$ come $j*\Δz$, né come sommare i contributi di forza lungo $Δz$. ...
Certo che sì, e i contributi infinitesimi della forza sono tutti paralleli; sostanzialmente il tuo unico errore è il verso della forza.
Non capisco invece cosa tu intenda dire con
"Alex96_":
... ma se lo integro su $z$ ottengo solo $N$, ...
Non riuscivo ad ottenere Newton, ma rivolgendo meglio i calcoli così come me li hai mostrati mi sono chiarito meglio le idee ed ho ottenuto l'unità di misura corretta
ho considerato una corrente sul filo infinitesimo come $j_0\Deltaz$ invece di $j_0dz$, dandomi problemi psicologici su come applicare l'integrazione
Invece il verso della forza è corretto come dici tu, ma istintivamente ho rimosso il segno negativo perché alla fine $\overlineF$ mi risulta positiva perché è $\overlineB$ è entrante nel piano.
Grazie per l'aiuto, anche solo una conferma di quel che ho fatto mi ha aiutato molto.
PS: devo però specificare che il mio $\overlineF$ (nel primo post) era la forza integrata su $\haty$, ovvero solo su un singolo filo in posizione $dz$, quindi bisognerebbe integrarla una seconda volta su $\hatz$ per ottenere la forza sull'intera striscia. Giusto qualora qualcun altro leggesse l'esercizio.
ho considerato una corrente sul filo infinitesimo come $j_0\Deltaz$ invece di $j_0dz$, dandomi problemi psicologici su come applicare l'integrazione
Invece il verso della forza è corretto come dici tu, ma istintivamente ho rimosso il segno negativo perché alla fine $\overlineF$ mi risulta positiva perché è $\overlineB$ è entrante nel piano.
Grazie per l'aiuto, anche solo una conferma di quel che ho fatto mi ha aiutato molto.
PS: devo però specificare che il mio $\overlineF$ (nel primo post) era la forza integrata su $\haty$, ovvero solo su un singolo filo in posizione $dz$, quindi bisognerebbe integrarla una seconda volta su $\hatz$ per ottenere la forza sull'intera striscia. Giusto qualora qualcun altro leggesse l'esercizio.
"Alex96_":
... ho rimosso il segno negativo perché alla fine $\overlineF$ mi risulta positiva perché è $\overlineB$ è entrante nel piano ...
Il campo $\vec B=-\mu_0 j_0 \hat z$ è parallelo al piano yz, come hai correttamente indicato nel post di apertura.
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