Caduta asteroide

[Sk_Anonymous]

Buona giornata
è possibile vedere quali passaggi matematici portano a questo risultato indicato in questo mio link?
si tratta di un corpo in caduta, la slide da la formula, ma tutto è dato per scontato.
Gradirei vedere i passaggi che portano alla formula del risultato.
http://img214.imageshack.us/img214/7924 ... eroide.pdf

questa slide è tratta da un lavoro fatto traendo spunto da un testo di Elio Fabri: Spiegare relatività nel XXI secolo. Ma anche nel testo originale spiega benissimo molte altre cose utili per la relatività
per gli interessati do il link:

http://www.df.unipi.it\_fabri\sagredo\Q16

mio tentativo, gli ultimi passaggi li ho capiti, compresa l'approssimazione, è proprio il primo passaggio che non capisco:

$ g(r+h)-g(r)=g/(r+h)^2 -g/r^2= $

$ =g(r^2 -r^2 -2rh-h^2)/(r^2(r+h)^2)= $

$ =(gh(2r+h))/(r^2(r+h)^2) $

NB: non è proprio esatta e poi perché si lavora senza la GM al numeratore, dove
(G= costante gravitazionale, M=massa della terra)




ringrazia e saluta
Buon Anno 2012 a tutti
claudio

[vittorino70]

Secondo me bisogna tener conto dell'accelerazione "a terra" ,cioé sulla superficie
della sfera.Del resto questo si nota anche dalla risposta.
Si ha:
\( \displaystyle g_o=\frac{GM}{r_o^2} \) da cui :
(1) \( \displaystyle GM=g_o r_o^2\)
Ora è:
\( \displaystyle g_A=\frac{GM}{(r+h)^2} \) e quindi per la (1):
\(\displaystyle g_A=g_o\frac{r_o^2}{(r+h)^2} \)
Analogamente hai :
\(\displaystyle g_{A'}=\frac{GM}{r^2} \) e sempre per la (1):
\(\displaystyle g_{A'}=g_o\frac{r_o^2}{r^2} \)
Perciò la variazione complessiva dell' accelerazione è:
\(\displaystyle \Delta g=g_A-g_{A'}=g_o\frac{r_o^2}{(r+h)^2}-g_o\frac{r_o^2}{r^2}\)
Ovvero:
\(\displaystyle \Delta g=g_o r_o^2 \left [\frac{1}{(r+h)^2}-\frac{1}{r^2}\right]\)
Facendo i calcoli hai:
\(\displaystyle \Delta g=-g_o r_o^2\frac{2rh+h^2}{r^2(r+h)^2}\)
Poiché per ipotesi h è molto più piccolo rispetto ad r ,nella precedente frazione
puoi trascurare h^2 ripetto a 2rh ( al numeratore) ed h rispetto ad r al denominatore
e dunque alla fine viene:
\(\displaystyle \Delta g=-g_o r_o^2\frac{2h}{r^3}\)
Se poi tieni conto che h rappresenta la variazione della r nel passaggio dal punto A al punto A' , puoi anche scrivere così:
\(\displaystyle \Delta g=-2g_o r_o^2\frac{\Delta r }{r^3}\)

[Sk_Anonymous]

perfetto
ringrazio e auguri
claudio