Caccia all'errore: molla e centrifuga
Ciao a tutti!
Posto questo esercizio, che come quell'altro viene dalle olimpiadi di fisica.
Diciamo che la difficoltà è abbastanza bassa, però mi ha fatto pensare su una cosa.
Ad un estremo di una molla di costante elastica $k$ e lunghezza a riposo $l_0$ viene collegata
una massa $m$ rispetto alla quale la massa della molla e trascurabile.
Se il sistema massa-molla viene fatto ruotare uniformemente a velocità angolare $omega$, su un piano orizzontale
intorno all’altro estremo della molla, mantenuto fisso, quanto vale la lunghezza della molla?
Ovviamente basta uguagliare la forza centrifuga a quella elastica.
Quello che io pensavo è però questo: la forza centrifuga vale
$m*(omega)^2*r$
Ora ripercorro ciò che accade realmente appena metto in rotazione il tutto:
-La molla si allunga finchè non è soddisfatto l'equilibrio
-Però ora vediamo che la molla s'è allungata, pertanto il raggio di rotazione è cresciuto, non è più $l_0$ ma $l_0+Deltal$
Crescendo il raggio e mantenendo costante $omega$, aumenta la centrifuga.
-Pertanto occorre che la molla si allunghi ancora affinchè ci sia equilibrio
........
Il tutto dovrebbe finire quando la molla s'è stiracchiata del tutto.
Diciamo che teoricamente non ci vedo intoppi, ma se immagino la scena, dubito che le cose vanno così (specialmente se $omega$ è basso).
Dov'è che sbaglio?
Potete farmelo notare?
Grazie infinite, a presto.
Stefano
-Perciò deve esserci un altro allungamento
Posto questo esercizio, che come quell'altro viene dalle olimpiadi di fisica.
Diciamo che la difficoltà è abbastanza bassa, però mi ha fatto pensare su una cosa.
Ad un estremo di una molla di costante elastica $k$ e lunghezza a riposo $l_0$ viene collegata
una massa $m$ rispetto alla quale la massa della molla e trascurabile.
Se il sistema massa-molla viene fatto ruotare uniformemente a velocità angolare $omega$, su un piano orizzontale
intorno all’altro estremo della molla, mantenuto fisso, quanto vale la lunghezza della molla?
Ovviamente basta uguagliare la forza centrifuga a quella elastica.
Quello che io pensavo è però questo: la forza centrifuga vale
$m*(omega)^2*r$
Ora ripercorro ciò che accade realmente appena metto in rotazione il tutto:
-La molla si allunga finchè non è soddisfatto l'equilibrio
-Però ora vediamo che la molla s'è allungata, pertanto il raggio di rotazione è cresciuto, non è più $l_0$ ma $l_0+Deltal$
Crescendo il raggio e mantenendo costante $omega$, aumenta la centrifuga.
-Pertanto occorre che la molla si allunghi ancora affinchè ci sia equilibrio
........
Il tutto dovrebbe finire quando la molla s'è stiracchiata del tutto.
Diciamo che teoricamente non ci vedo intoppi, ma se immagino la scena, dubito che le cose vanno così (specialmente se $omega$ è basso).
Dov'è che sbaglio?
Potete farmelo notare?
Grazie infinite, a presto.
Stefano
-Perciò deve esserci un altro allungamento
Risposte
Non ho capito bene... l0 è la lunghezza quando le molla è scarica...
Quando invece è in moto (a regime) sai che deve essere:
$momega^2(l_0+x)=kx=>x=(momega^2l_0)/(k-momega^2)$
Quando invece è in moto (a regime) sai che deve essere:
$momega^2(l_0+x)=kx=>x=(momega^2l_0)/(k-momega^2)$
steven, ricorda che la forza centrifuga è apparente se tu sei in un sistema di riferimento non inerziale col sistema che ruota.
la forza che devi uguagliare alla forza elastica è quella centripeta (che porta a un risultato numerico equivalente), che è diretta verso il centro della circonferenza,perpendicolare alla direzione del moto. pertanto si dovrebbe osservare un moto di oscillazione nella direzione della forza centripeta, che effettivamente (in minima parte) credo ci sia
la forza che devi uguagliare alla forza elastica è quella centripeta (che porta a un risultato numerico equivalente), che è diretta verso il centro della circonferenza,perpendicolare alla direzione del moto. pertanto si dovrebbe osservare un moto di oscillazione nella direzione della forza centripeta, che effettivamente (in minima parte) credo ci sia
"fedeb":
la forza che devi uguagliare alla forza elastica è quella centripeta (che porta a un risultato numerico equivalente), che è diretta verso il centro della circonferenza,perpendicolare alla direzione del moto.
Non credo che in questo caso sia così.
Per valutare l'allungamento della molla noi dobbiamo prendere il considerazione la forza che la tira, in questo caso è la centrifuga.
Nota che la forza elastica e quella centripeta sono dirette nella stessa direzione...
Cavallipurosangue, quella che hai scritto è effettivamente l'equazione che risolve il tutto.
Forse non ero stato chiaro nell'altra richiesta, ovvero il mio dubbio.
In breve, quello che volevo esprimere, è questo: supponi di mettere il moto la rotazione personalmente.
La cordicella gira: mano mano la molla s'allunga, e con essa il raggio dell'intera rotazione, poichè la molla partecipa alla sua (del raggio) lunghezza. Ora tu immagini che la molla deve assestarsi a una certa lunghezza, quello che io dico è però questo: mano mano che la molla si allungava, il raggio cresceva, e con esso la forza centrifuga.
Quindi, se mi dai per buono che la centrifuga cresce, la molla deve provvedere nel tempo ad allungarsi, ma questo ha l'effetto di far crescere ancora più il raggio.
Il tutto finisce quando la molla si è allungata del tutto.
Sicuramente è una sciocchezza, ma son quelle cose che magari nascondono false credenze che potrebbero venir fuori nei momenti meno opportuni (vedi: test d'ammissione a una X scuola).
Grazie per l'attenzione, a presto.
Ciao.
Bellino l'esercizio!proprio da non saper come sbatterci la testa!
In effetti il tuo ragionamento Steven fila più liscio dell'olio...infatti man mano che la molla s'allunga, cresce anche la Forza centrifuga.
Forse (anche se sarebbe inesatto) bisogna considerare solo il raggio iniziale per il calcolo della F.cent.....altrimenti non vedo proprio via d'uscita
Chissà che non arrivi qualcuno ad illuminarci.....mi ha proprio incuriosito
Quindi, se mi dai per buono che la centrifuga cresce, la molla deve provvedere nel tempo ad allungarsi, ma questo ha l'effetto di far crescere ancora più il raggio.
Il tutto finisce quando la molla si è allungata del tutto.
Questo avviene se la forza centrifuga fosse sempre maggiore della forza elastica ... basta vedere la formula che ti ha dato cavalli per capire per quali valori di $m$,$l_0$, $omega$ e $k$.
Secondo me sta tutto nella formulazione dell'esercizio: se pensi di mettere in moto il sistema molla-massa, ci sarà sempre un tempo $t$ infinitesimo per cui la forza centrifuga è uguale a $momega^2l_0$ e la forza elastica uguale a 0 (poiché nell'istante iniziale la molla non ha ancora fatto in tempo ad allungarsi). Ma questo contraddirebbe la velocità angolare $omega$ costante, perché ci sarebbe una forza (quella centrifuga) non equilibrata da nessuna forza e la velocità non potrebbe essere costante. Rileggendo il testo credo che si intenda uno di quei moti ideali, cioé la molla si muove a velocità $omega$ da sempre, e ci si muoverà per sempre. Non puoi considerare il caso in cui la metti in moto, perché a quel punto $omega$ non sarebbe costante e non avremmo la contraddizione di eguagliare sempre forza centrifuga e elastica.
(Anche se non ne sono certa..)
(Anche se non ne sono certa..)
Non riesco a capire cosa ci sia di strano in questo esercizio. La soluzione di Cavalli mi sembra corretta e completa se si considera il fenomeno a regime (ovvero senza oscillazioni radiali).
Ma forse l'inghippo è in questa frase:
ora, in questo caso, la forza elastica [size=150] è [/size] la forza centripeta.
ciao
Ma forse l'inghippo è in questa frase:
"Steven":
...
Nota che la forza elastica e quella centripeta sono dirette nella stessa direzione...
.....
ora, in questo caso, la forza elastica [size=150] è [/size] la forza centripeta.
ciao
Mah...secondo me è un problema simile al perchè Ulisse (non mi ricordo se era lui o chi, in realtà) non raggiunge ne supera la tartaruga...a quello non so la risposta vera e inconfutabile, ma ho sempre pensato che andando per valori sempre più infinitesimi con Ulisse a $v$ costante il tempo si sarebbe fermato...quindi era un paradosso spiegato ai miei occhi.
Per questo quesito, l'unica spiegazione che mi viene in mente è che ogni $Deltal$ che si aggiunge ruotando (e che a sua volta aumenta la centripeta e creerebbe altro allungamento) è riferito ad un $Deltal$ precedente...quindi si va sempre più in infinitesimi che convergeranno ad un valore di equilibrio, dato dalla formula di Cavalli che è evidentemente esatta!
Non so se la mia idea sia attendibile, ma me la sono spiegata così...chiedo comferme a chi se ne intende..
Per questo quesito, l'unica spiegazione che mi viene in mente è che ogni $Deltal$ che si aggiunge ruotando (e che a sua volta aumenta la centripeta e creerebbe altro allungamento) è riferito ad un $Deltal$ precedente...quindi si va sempre più in infinitesimi che convergeranno ad un valore di equilibrio, dato dalla formula di Cavalli che è evidentemente esatta!
Non so se la mia idea sia attendibile, ma me la sono spiegata così...chiedo comferme a chi se ne intende..
"pizzaf40":
Mah...secondo me è un problema simile al perchè Ulisse (non mi ricordo se era lui o chi, in realtà) non raggiunge ne supera la tartaruga...
Achille..!
"mircoFN":
ora, in questo caso, la forza elastica [size=150] è [/size] la forza centripeta.
ciao
Grazie per la precisazione!
Non so perchè come un fesso le vedevo distinte, avrei dovuto sospettarlo quando ho detto che avevano la medesima direzione
"pizzaf40":
Per questo quesito, l'unica spiegazione che mi viene in mente è che ogni $Deltal$ che si aggiunge ruotando (e che a sua volta aumenta la centripeta e creerebbe altro allungamento) è riferito ad un $Deltal$ precedente...quindi si va sempre più in infinitesimi che convergeranno ad un valore di equilibrio, dato dalla formula di Cavalli che è evidentemente esatta!
Ciao pizzaf40, ti dirò che stamattina a scuola mi è venuta in mente la stessa cosa. Lì per lì non l'ho elaborata per bene, ma il modello a cui paragonavo questa situazione è proprio il paradosso di Zenone (Achille e la tartaruga).
Ciao.
Eheheheheh 
ma allora ero solo io a non sapere che era achille...che vergogna!! Quanta gnuransa alberga in me 
ma allora ero solo io a non sapere che era achille...che vergogna!! Quanta gnuransa alberga in me
"Steven":
Ciao a tutti!
Posto questo esercizio, che come quell'altro viene dalle olimpiadi di fisica.
Diciamo che la difficoltà è abbastanza bassa, però mi ha fatto pensare su una cosa.
Ad un estremo di una molla di costante elastica $k$ e lunghezza a riposo $l_0$ viene collegata
una massa $m$ rispetto alla quale la massa della molla e trascurabile.
Se il sistema massa-molla viene fatto ruotare uniformemente a velocità angolare $omega$, su un piano orizzontale
intorno all’altro estremo della molla, mantenuto fisso, quanto vale la lunghezza della molla?
Ovviamente basta uguagliare la forza centrifuga a quella elastica.
Quello che io pensavo è però questo: la forza centrifuga vale
$m*(omega)^2*r$
Ora ripercorro ciò che accade realmente appena metto in rotazione il tutto:
-La molla si allunga finchè non è soddisfatto l'equilibrio
-Però ora vediamo che la molla s'è allungata, pertanto il raggio di rotazione è cresciuto, non è più $l_0$ ma $l_0+Deltal$
Crescendo il raggio e mantenendo costante $omega$, aumenta la centrifuga.
-Pertanto occorre che la molla si allunghi ancora affinchè ci sia equilibrio
........
Il tutto dovrebbe finire quando la molla s'è stiracchiata del tutto.
Diciamo che teoricamente non ci vedo intoppi, ma se immagino la scena, dubito che le cose vanno così (specialmente se $omega$ è basso).
Dov'è che sbaglio?
Potete farmelo notare?
Grazie infinite, a presto.
Stefano
-Perciò deve esserci un altro allungamento
Ciao, dopo anni non credo avrai ancora bisogno di queste informazioni ma qualcuno che le legge forse si...
il problema è il "metto in rotazione il tutto"...come fai?!...per una rotazione devi applicare una forza e quella forza allunga (istantaneamente) la molla..l'allungamento quindi è causa dell'applicazione della forza che fa ruotare il sistema. Quindi nel momento in cui il sistema ruota di omega allora c'è già la forza che gli permette di ruotare di omega..e quindi la molla è già sottoposta a tale forza e quindi è già allungata..quando il sistema ruota di moto circolare uniforme allora la forza applicata è costante e niente si sta dunque più deformando (se non il vettore velocità della massa..)..la molla non si allunga né si accorcia..se no il moto sarebbe circolare accelerato (e non è questo il caso considerato...). Il problema infatti non è "con che legge si allunga la molla nel tempo che occorre per portare il corpo da fermo fino a una velocità circolare e costante omega" ma "posto che il sistema sia arrivato (come non ci interessa) in moto circolare uniforme di velocità omega (sottoposto alla sola forza elastica della molla) di quanto si discosta la lunghezza attuale della molla dalla sua posizione di equilibrio per generare la forza centripeta che permette tale moto?"
Nella tua stessa soluzione c'era già la soluzione stessa al tuo stesso problema: ovviamente basta eguagliare la forza centrifuga a quella elastica...perché? perché non ci sono altre forze in gioco! e quella stessa forza, dunque, è l'unica a generare il moto!
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