Buca di potenziale --- Equazione di Schrodinger
Risolvendo l'equazione di Schrodinger per una situazione come in oggetto,
mi ritrovo con una equazione del tipo:
$\Psi(x) = Asen(kx) + Bcos(kx) $
Dalle condizioni al contorno si evince che:
$ Asen(kL)\ =\ 0\ \Rightarrow\ kL\ =\ n\pi\ \forall\ A \ \ne\ 0 $.
L'energia che ha la particella nella scatola è solo cinetica quindi >0 e questo mi permetterà di dire
che la costante presente nella EDO è >0.
Per dire però che $ n $ (nella relazione sopra riportata)
deve per forza essere un intero positivo e non per esempio appartenente a $ZZ$
è corretto ciò che si afferma in un testo, ossia che interi relativi non darebbero luogo a funzioni indipendenti tra loro?
Francamente ...è una uscita che stento a capire se non vista in ottica di Fourier come "funzioni ortogonali"
Un saluto e grazie a tutti
mi ritrovo con una equazione del tipo:
$\Psi(x) = Asen(kx) + Bcos(kx) $
Dalle condizioni al contorno si evince che:
$ Asen(kL)\ =\ 0\ \Rightarrow\ kL\ =\ n\pi\ \forall\ A \ \ne\ 0 $.
L'energia che ha la particella nella scatola è solo cinetica quindi >0 e questo mi permetterà di dire
che la costante presente nella EDO è >0.
Per dire però che $ n $ (nella relazione sopra riportata)
deve per forza essere un intero positivo e non per esempio appartenente a $ZZ$
è corretto ciò che si afferma in un testo, ossia che interi relativi non darebbero luogo a funzioni indipendenti tra loro?
Francamente ...è una uscita che stento a capire se non vista in ottica di Fourier come "funzioni ortogonali"
Un saluto e grazie a tutti
Risposte
Ciao,
gli autostati dell'energia con valori opposti di n ($\psi_n$ e $\psi_{-n}$) sono associati allo stesso autovalore di energia e rappresentano lo stesso stato fisico, in quanto differiscono per una fase globale (il segno meno).
Mi sembra corretto quanto dice il tuo libro.
In un es. di algebra lineare, una situazione identica sarebbe: vuoi calcolare gli autovalori e gli autovettori di un operatore autoaggiunto H. Ti calcoli lo spettro, diciamo per es. $H_{n} = n^2 $ (con n > 1) e vuoi trovare ora gli autovettori relativi agli autovalori 1,2,9,16 etc etc. Nei conti ti è comodo labellare gli autovettori con l'indice n - chiamiamoli $v_n$ dove n è un intero relativo - ma non bisogna dimenticare che in realtà gli autovalori dell'operatore sono ${n^2}_{n > 1}$.
A questo punto ci si chiede se $v_{n}$ e $v_{-n}$, entrambi associati all'autovalore $n^2$, sono linearmente indipendenti o no. Se sì, avresti uno spettro degenere. Ma in questo caso $v_{-n} = -v_{n}$, sono linearmente dipendenti: pertanto, il solo vettore $v_n$ genera lo spazio degli autovettori di H con autovalore n^2.
gli autostati dell'energia con valori opposti di n ($\psi_n$ e $\psi_{-n}$) sono associati allo stesso autovalore di energia e rappresentano lo stesso stato fisico, in quanto differiscono per una fase globale (il segno meno).
Mi sembra corretto quanto dice il tuo libro.
In un es. di algebra lineare, una situazione identica sarebbe: vuoi calcolare gli autovalori e gli autovettori di un operatore autoaggiunto H. Ti calcoli lo spettro, diciamo per es. $H_{n} = n^2 $ (con n > 1) e vuoi trovare ora gli autovettori relativi agli autovalori 1,2,9,16 etc etc. Nei conti ti è comodo labellare gli autovettori con l'indice n - chiamiamoli $v_n$ dove n è un intero relativo - ma non bisogna dimenticare che in realtà gli autovalori dell'operatore sono ${n^2}_{n > 1}$.
A questo punto ci si chiede se $v_{n}$ e $v_{-n}$, entrambi associati all'autovalore $n^2$, sono linearmente indipendenti o no. Se sì, avresti uno spettro degenere. Ma in questo caso $v_{-n} = -v_{n}$, sono linearmente dipendenti: pertanto, il solo vettore $v_n$ genera lo spazio degli autovettori di H con autovalore n^2.
Grazie infinite del chiarimento "matematico" della cosa.
Adesso senza far ricorso all'analisi funzionale ho invece elaborato la spiegazione fisica.
Immagino si parta da due asserti :
1) Indicando la ns funzione d'onda, l'ampiezza di probabilità $\ \Rightarrow\ $ non ha senso un suo valore negativo.
2) Data la configurazione del problema e ciò che si desume da esso , gli unici valori possibili per la x sono inclusi nell'intervallo $ [0,L] $ .
L' $ n $ intero relativo, vista la "disparità" della funzione soluzione (il seno......e con quei valori possibili della $ x $) , porterebbe ad una funzione d'onda negativa $\ \Rightarrow\ $ senza alcun senso fisico.
Ovvero l'analisi funzionale conferma in toto l'interpretazione fisica.
Errato o......qualcosa di vero c'è in quanto scritto?
Adesso senza far ricorso all'analisi funzionale ho invece elaborato la spiegazione fisica.
Immagino si parta da due asserti :
1) Indicando la ns funzione d'onda, l'ampiezza di probabilità $\ \Rightarrow\ $ non ha senso un suo valore negativo.
2) Data la configurazione del problema e ciò che si desume da esso , gli unici valori possibili per la x sono inclusi nell'intervallo $ [0,L] $ .
L' $ n $ intero relativo, vista la "disparità" della funzione soluzione (il seno......e con quei valori possibili della $ x $) , porterebbe ad una funzione d'onda negativa $\ \Rightarrow\ $ senza alcun senso fisico.
Ovvero l'analisi funzionale conferma in toto l'interpretazione fisica.
Errato o......qualcosa di vero c'è in quanto scritto?
"Gandalf73":
Grazie infinite del chiarimento "matematico" della cosa.
L' $ n $ intero relativo, vista la "disparità" della funzione soluzione (il seno......e con quei valori possibili della $ x $) , porterebbe ad una funzione d'onda negativa $\ \Rightarrow\ $ senza alcun senso fisico.
Ovvero l'analisi funzionale conferma in toto l'interpretazione fisica.
Errato o......qualcosa di vero c'è in quanto scritto?
Perché una funzione d'onda negativa non ha significato fisico? Non è per nulla vero ... Una qualsiasi funzione d'onda moltiplicata per una qualsiasi fase complessa di modulo unitario è tanto buona quanto la prima nel senso che rappresenta lo stesso stato fisico.
Una funzione d'onda non è una ampiezza di probabilità (è la rappresentazione di uno stato nella base delle coordinate, così come puoi rappresentare un elemento di un generico spazio vettoriale su campo complesso di dimensione N utilizzando un vettore di C^n), la probabilità (o meglio densità di prob.) è semmai il modulo quadro di una funzione d'onda - a patto che la funzione d'onda sia opportunatamente normalizzata (cioé l'integrale del suo modulo quadro sia pari a 1)
Per cui una funzione d'onda ovunque negativa è perfettamente accettabile.
La spiegazione è semplicemente che gli autovalori di energia sono proporzionali al quadrato di n. E, benché tu ottenga per n e -n due "diverse" autofunzioni, diverse non lo sono perché sono una multiplo dell'altra.
La considerazione mi è uscita per il solo fatto che ho interpretato erroneamente il significato di funzione d'onda apparso in alcuni testi:
ampiezza di probabilità e densità di probabilità (il suo modulo al quadrato).
Da li ho fatto confusione.......
ampiezza di probabilità e densità di probabilità (il suo modulo al quadrato).
Da li ho fatto confusione.......
Quindi per ultimare, correggimi se sbaglio, si potrebbe benissimo dire :
prendiamo solo gli $ n < -1 $ che gli $ n > 1 $ danno autofunzioni linearmente dipendenti da questi.
Vale a dire ribaltare il ragionamento verso gli interi negativi e fare in modo che la "disparità" della autofunzione venga inglobata nel calcolo del coefficiente di normalizzazione $ A $.
E' errato?
prendiamo solo gli $ n < -1 $ che gli $ n > 1 $ danno autofunzioni linearmente dipendenti da questi.
Vale a dire ribaltare il ragionamento verso gli interi negativi e fare in modo che la "disparità" della autofunzione venga inglobata nel calcolo del coefficiente di normalizzazione $ A $.
E' errato?
Direi che è corretto. Chiarito ora il dubbio, però, n > 1 e passa la paura 
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