Buca di potenziale
Scusatemi, credo che sia banale, ma nonostante tutto la soluzione non mi viene.
Si consideri una particella in una buca di potenziale di larghezza L.
Se all'improvviso la larghezza della buca raddoppia, qual è la probabilità che la particella, inizialmente nello stato fondamentale, resti nello stato fondamentale della nuova buca?
Si consideri una particella in una buca di potenziale di larghezza L.
Se all'improvviso la larghezza della buca raddoppia, qual è la probabilità che la particella, inizialmente nello stato fondamentale, resti nello stato fondamentale della nuova buca?
Risposte
Scrivi le autofunzioni della nuova buca (le tue buche sono infinite o hanno una profondità finita?) e scomponi la vecchia funzione d'onda sulle nuove autofunzioni.
In generale, per la permanenza nel forum, ti consiglio sempre di mostrare come hai impostato il problema, dove ti blocchi eccetera, così puoi ricevere un migliore aiuto, e nessuno penserà che vuoi avere il problema risolto da zero
In generale, per la permanenza nel forum, ti consiglio sempre di mostrare come hai impostato il problema, dove ti blocchi eccetera, così puoi ricevere un migliore aiuto, e nessuno penserà che vuoi avere il problema risolto da zero
Ok, scusate, davo il calcolo dei livelli energetici per scontato.
Imposto nuovamente il problema.
Ho una buca infinita di potenziale nelle due dimensioni di larghezza L e, a partire dalla risoluzione dell'equazione di Schroedinger e dall'imposizione delle condizioni al contorno mi sono calcolata la funzione d'onda e i livelli energetici. Il livello energetico per lo stato fondamentale è:
$E=\frac{\pi^2\bar h^2}{2 m L^2}$.
Ora, se la larghezza della mia buca raddoppia, l'energia dello stato fondamentale diventa:
$E=\frac{\pi^2\bar h^2}{8 m L^2}$.
Che probabilità c'è che la particella, in seguito all'allargamento della buca, resti nello stato fondamentale? Non è un ragionamento di tipo statistico quello che devo fare?
Imposto nuovamente il problema.
Ho una buca infinita di potenziale nelle due dimensioni di larghezza L e, a partire dalla risoluzione dell'equazione di Schroedinger e dall'imposizione delle condizioni al contorno mi sono calcolata la funzione d'onda e i livelli energetici. Il livello energetico per lo stato fondamentale è:
$E=\frac{\pi^2\bar h^2}{2 m L^2}$.
Ora, se la larghezza della mia buca raddoppia, l'energia dello stato fondamentale diventa:
$E=\frac{\pi^2\bar h^2}{8 m L^2}$.
Che probabilità c'è che la particella, in seguito all'allargamento della buca, resti nello stato fondamentale? Non è un ragionamento di tipo statistico quello che devo fare?
"wedge":
Scrivi le autofunzioni della nuova buca (le tue buche sono infinite o hanno una profondità finita?) e scomponi la vecchia funzione d'onda sulle nuove autofunzioni.
Mi spiace ma non ho capito.. potresti darmi una spiegazione un po' più dettagliata?
Non credo che in questo caso basti un ragionamento di tipo energetico.
Io farei così:
BUCA di lunghezza L
lo spettro dei livelli accettabili è dato dalle energie che hai scritto $E_n ^L$ (la L in apice indica la larghezza della buca), ad ognuna delle quali sarà associata una funzione d'onda $\psi_n ^L$ che saranno dei seni o dei coseni a seconda se hai preso la buca da [0,L] oppure [-L/2,L/2]
tu sai che la particella si trova ad energia $E_0 ^L$ e quindi ha funzione d'onda $\psi_0 ^L$
BUCA di lunghezza 2L
Ancora, troverai $E_n ^(2L)$ e $\psi_n ^2L$
Ora puoi calcolarti la probabilità che la particella si trovi ad una qualsiasi energia $E_n ^(2L)$ come $P_n = \| <\psi_n ^(2L) | \psi_0 ^L > \| ^2$ che non è altro che il modulo del coefficiente di Fourier dell'espansione di $\psi_0 ^L$ sulla nuova base $\psi_n ^(2L)$
Io farei così:
BUCA di lunghezza L
lo spettro dei livelli accettabili è dato dalle energie che hai scritto $E_n ^L$ (la L in apice indica la larghezza della buca), ad ognuna delle quali sarà associata una funzione d'onda $\psi_n ^L$ che saranno dei seni o dei coseni a seconda se hai preso la buca da [0,L] oppure [-L/2,L/2]
tu sai che la particella si trova ad energia $E_0 ^L$ e quindi ha funzione d'onda $\psi_0 ^L$
BUCA di lunghezza 2L
Ancora, troverai $E_n ^(2L)$ e $\psi_n ^2L$
Ora puoi calcolarti la probabilità che la particella si trovi ad una qualsiasi energia $E_n ^(2L)$ come $P_n = \| <\psi_n ^(2L) | \psi_0 ^L > \| ^2$ che non è altro che il modulo del coefficiente di Fourier dell'espansione di $\psi_0 ^L$ sulla nuova base $\psi_n ^(2L)$
Il fatto è che il testo del problema mi imponeva di ricavare i livelli energetici a partire dal principio di indeterminazione senza passare quindi dalle funzioni d'onda. Solo dopo aver ricavato i livelli energetici mi poneva il problema della buca larga 2L. Ero convinta quindi di non dover utilizzare le funzioni d'onda ma solamente le energie e quindi di dover passare alla statistica.
Ho cercato in un bel po' di libri ma non sono riuscita a trovare un esercizio simile a questo.. farò come hai detto tu, grazie mille!
Ho cercato in un bel po' di libri ma non sono riuscita a trovare un esercizio simile a questo.. farò come hai detto tu, grazie mille!
Mi scuso per l'errore
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