Bridge e trasformazione stella-triangolo (esercizio)
Si consideri il circuito seguente. Sono date le resistenze 2, 3 e 4. È dato anche che il ramo con la resistenza 7 deve avere corrente nulla. Inoltre si sa che il rapporto tra la 2 e la 4 è uguale a quello tra la 5 e la 6.
Bisogna calcolare R1. Ma la mia domanda è più specifica, e riguarda infatti il suggerimento che da l'esercizio: com'è possibile usare una trasformazione triangolo stella e mostrare che le condizioni di equilibrio sono indipendenti dalla resistenza 8 ?
Bisogna calcolare R1. Ma la mia domanda è più specifica, e riguarda infatti il suggerimento che da l'esercizio: com'è possibile usare una trasformazione triangolo stella e mostrare che le condizioni di equilibrio sono indipendenti dalla resistenza 8 ?
Risposte
Se trasformi il triangolo R5 R6 R8 in stella e poi scrivi la condizione di equipotenzialità fra il centro della stella e il punto intermedio fra R2 e R4 lo scopri subito.
Premesso che a me stanno sulle scatole le trasformazioni stella-triangolo, e che farei di tutto per evitarle, osservo che se non passa corrente nella $R_7$, la corrente che attraversa la $R_1$ è uguale alla corrente che attraversa la $R_3$. Chiamando dunque $I$ questa corrente e chiamando $k$ il rapporto di partitore
$$k = \frac{{{R_2}}}
{{{R_2} + {R_4}}} = \frac{{{R_5}}}
{{{R_5} + {R_6}}}$$
e utilizzando anche la condizione di uguale potenziale ai capi della $R_7$ posso scrivere:
$$\eqalign{
& {R_1}I + k{V_8} = kE \cr
& {R_1}I + {V_8} + {R_3}I = E \cr} $$
Moltiplicando la seconda relazione per k e facendo la differenza membro a membro trovo la condizione di equilibrio:
$${R_1} = \frac{{{R_2}{R_3}}}
{{{R_4}}}$$
che evidentemente prescinde dalla $R_8$.
$$k = \frac{{{R_2}}}
{{{R_2} + {R_4}}} = \frac{{{R_5}}}
{{{R_5} + {R_6}}}$$
e utilizzando anche la condizione di uguale potenziale ai capi della $R_7$ posso scrivere:
$$\eqalign{
& {R_1}I + k{V_8} = kE \cr
& {R_1}I + {V_8} + {R_3}I = E \cr} $$
Moltiplicando la seconda relazione per k e facendo la differenza membro a membro trovo la condizione di equilibrio:
$${R_1} = \frac{{{R_2}{R_3}}}
{{{R_4}}}$$
che evidentemente prescinde dalla $R_8$.
"RenzoDF":
Se trasformi il triangolo R5 R6 R8 in stella e poi scrivi la condizione di equipotenzialità fra il centro della stella e il punto intermedio fra R2 e R4 lo scopri subito.
Quindi, trasformando cosí ottengo tra il centro della stella e quel punto intermedio una nuova resistenza pari a:
$ (R_5 * R_6) / (R_5 + R_6 +R_8) $
che è sullo stesso filo di $ R_7 $ . Equipotenzialità vuol dire che sommando la differenza di potenziale delle due resistenze si deve ottenere zero, no? Il ché mi dà (semplificando la corrente che è uguale per entrambe le resistenze) :
$ (R_5 * R_6) / (R_5 + R_6 +R_8) = -R_7 $
O sbaglio? Dovrei poi per caso considerare nullo $ R_7 $ e dire che deve essere nullo $ R_5 * R_6 $ (concludendo che l'equilibrio non dipende da $ R_8 $) ?
"Marvin94":
... Quindi, trasformando cosí ottengo tra il centro della stella e quel punto intermedio una nuova resistenza pari a:
$ (R_5 * R_6) / (R_5 + R_6 +R_8) $
Certo, chiamiamola Rc , ma visto che non è attraversata da nessuna corrente potevi evitare di calcolarla, ma dovrai invece ricavarti le altre due; Ra e Rb
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
MC 40 25 0 0 080
MC 60 25 0 0 080
MC 80 25 0 0 080
MC 100 25 0 0 080
MC 75 30 1 0 080
MC 75 45 1 0 080
MC 50 70 0 0 080
MC 90 70 0 0 080
LI 35 80 35 25 0
LI 35 25 40 25 0
LI 50 25 60 25 0
LI 70 25 80 25 0
LI 90 25 100 25 0
LI 110 25 115 25 0
LI 115 25 115 75 0
LI 100 70 115 70 0
LI 35 70 50 70 0
LI 60 70 90 70 0
LI 75 30 75 25 0
LI 75 40 75 45 0
LI 75 55 75 60 0
TY 81 48 4 3 0 0 0 * R7
TY 53 61 4 3 0 0 0 * R2
TY 92 61 4 3 0 0 0 * R4
TY 42 16 4 3 0 0 0 * R1
TY 102 17 4 3 0 0 0 * R3
SA 75 70 0
SA 75 60 0
SA 75 25 0
TY 62 15 4 3 0 1 2 * Ra
TY 79 33 4 3 0 1 2 * Rc
TY 82 15 4 3 0 1 2 * Rb
TY 69 57 4 3 0 1 9 * B
TY 73 18 4 3 0 1 9 * O
TY 70 72 4 3 0 1 9 * A[/fcd]
"Marvin94":
... Equipotenzialità vuol dire che sommando la differenza di potenziale delle due resistenze si deve ottenere zero, no?
Equipotenzialità vuol dire che il centro stella O dovrà avere lo stesso potenziale del punto A intermedio fra R2 e R4 (uguale anche a quello del punto B) e questo possiamo dirlo in quanto la resistenza Rc della stella equivalente (da te ricavata inizialmente) non sarà attraversata da nessuna corrente (essendo in serie a R7), di conseguenza ...
Lascio a te completare.
"Falco5x":
... chiamando $k$ il rapporto di partitore
$$k = \frac{{{R_2}}}
{{{R_2} + {R_4}}} = \frac{{{R_5}}}
{{{R_5} + {R_6}}}$$
Il procedimento usato mi piace molto, però una sola cosa non mi è chiara: come faccio a dimostrare più chiaramente che $$\frac{{{R_2}}}
{{{R_2} + {R_4}}} = \frac{{{R_5}}}
{{{R_5} + {R_6}}}$$
?
In realtá si ci puó facilmente arrivare dal rapporto iniziale dato dall'esercizio: basta invertire le frazioni, aggiungere 1 a entrambi i membri (e sommare da entrambi i membri), invertire nuovamente le frazioni finali ed ecco l'uguaglianza da verificare. Ma non c'é una maniera piú convenzionale per arrivarci?
Io, cercando di rispondere alla tua domanda ti ho indicato che trasformando potresti scrivere
$\frac{R_2}{R_4}=\frac{R_1+R_a}{R_3+R_b}=\frac{R_1+\frac{R_5R_8}{\sum_{ }^{ }R_i}}{R_3+ \frac{R_6R_8}{\sum_{ }^{ }R_i}}=\frac{R_1(1+\frac{R_5}{R_1}\frac{R_8}{\sum_{ }^{ }R_i})}{R_3(1 + \frac{R_6}{R_3}\frac{R_8}{\sum_{ }^{ }R_i})} \Rightarrow \frac{R_1}{R_3}=\frac{R_2}{R_4}$
ma puoi anche risolvere più semplicemente, scrivendo le due KVL ai due anelli superiori [nota]Indicando con x, y e z le correnti nelle tre serie resistive 2-4, 1-3, 5-6.[/nota]
$R_2x=R_1y+R_5z$
$R_4x=R_3y+R_6z$
per ricavare dal loro rapporto che
$R_2/R_4=\frac{R_1y+R_5z}{R_3y+R_6z}$
che, per una qualsiasi coppia y e z di correnti [nota]Funzioni di $R_8$.[/nota], sarà valida solo quando
$R_1/R_3=R_5/R_6$
$\frac{R_2}{R_4}=\frac{R_1+R_a}{R_3+R_b}=\frac{R_1+\frac{R_5R_8}{\sum_{ }^{ }R_i}}{R_3+ \frac{R_6R_8}{\sum_{ }^{ }R_i}}=\frac{R_1(1+\frac{R_5}{R_1}\frac{R_8}{\sum_{ }^{ }R_i})}{R_3(1 + \frac{R_6}{R_3}\frac{R_8}{\sum_{ }^{ }R_i})} \Rightarrow \frac{R_1}{R_3}=\frac{R_2}{R_4}$
ma puoi anche risolvere più semplicemente, scrivendo le due KVL ai due anelli superiori [nota]Indicando con x, y e z le correnti nelle tre serie resistive 2-4, 1-3, 5-6.[/nota]
$R_2x=R_1y+R_5z$
$R_4x=R_3y+R_6z$
per ricavare dal loro rapporto che
$R_2/R_4=\frac{R_1y+R_5z}{R_3y+R_6z}$
che, per una qualsiasi coppia y e z di correnti [nota]Funzioni di $R_8$.[/nota], sarà valida solo quando
$R_1/R_3=R_5/R_6$
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