Bosoni
Ciao, ho un sistema per cui l'hamiltoniana è data dalla somma del quadrato dello spin di bosoni \(\displaystyle (S_i^2) \), per N spin localizzati e non interagenti.
La statistica di B. E. mi dice che il numero di modi per disporre \(\displaystyle n_i \) particelle su \(\displaystyle g_i \) livelli degeneri è
\(\displaystyle \frac{(n_i-g_i-1)!}{(g_i-1)!n_i !} \)
Devo capire, ad energia fissata, quanti stati posso avere per i miei N bosoni.
Pensavo di poter procedere partendo dalla singola particella...
\(\displaystyle N=1 \\
E_{S_{i}=-1}=1 \\
E_{S_{i}=+1}=1 \\
E_{S_{i}=0}=0 \)
quindi 3microstati di cui uno doppiamente degenere g=2.
… e poi generalizzare per N spin. Mi servirebbe un consiglio in questo..
La statistica di B. E. mi dice che il numero di modi per disporre \(\displaystyle n_i \) particelle su \(\displaystyle g_i \) livelli degeneri è
\(\displaystyle \frac{(n_i-g_i-1)!}{(g_i-1)!n_i !} \)
Devo capire, ad energia fissata, quanti stati posso avere per i miei N bosoni.
Pensavo di poter procedere partendo dalla singola particella...
\(\displaystyle N=1 \\
E_{S_{i}=-1}=1 \\
E_{S_{i}=+1}=1 \\
E_{S_{i}=0}=0 \)
quindi 3microstati di cui uno doppiamente degenere g=2.
… e poi generalizzare per N spin. Mi servirebbe un consiglio in questo..
Risposte
Sono assolutamente confuso. Sbaglio o il quadrato di spin è costante per una particella? $S$ è il numero di spin principale ($s$) o magnetico ($m_s$)? Sono bosoni spin-0, spin-1, spin-2 ...?
Nel modello viene definito \(\displaystyle S_i \) = -1, 0, 1 e \(\displaystyle H=\sum_{i=1}^{N} S^2_i \) per gli N spin localizzati. (*)
Niente d'altro.
Io, per cercare di capire come funziona, ho dedotto che sono bosoni (visto il valore di S che possono assumere) e quindi pensavo di adottare la statistica di B.E etc …
Quello che si sa per certo quindi è la prima riga (*). Il resto sono considerazioni che ho fatto io.
Ti chiedo scusa non sono stata troppo chiara, così ci sei/siete?
Niente d'altro.
Io, per cercare di capire come funziona, ho dedotto che sono bosoni (visto il valore di S che possono assumere) e quindi pensavo di adottare la statistica di B.E etc …
Quello che si sa per certo quindi è la prima riga (*). Il resto sono considerazioni che ho fatto io.
Ti chiedo scusa non sono stata troppo chiara, così ci sei/siete?
Ok, allora $ S $ è il numero di spin magnetico relativo a una qualche componente (fai, la componente z). Allora si tratta di spin-1 e sono bosoni. Sono non interagenti quindi lo stato fattorizza in stati da una particella e l'energia è somma delle energie di particella singola. Le tue considerazioni sono giuste. Intanto trova quali sono esattamente i possibili valori dell'energia totale (sono facili). Poi per un dato valore di energia vedi quali sono le scelte possibili di spin che sommano a quell'energia. Siccome si tratta di bosoni puoi metterne quanti ne vuoi in ogni stato e importa solo quanti ne metti, non quali/in che ordine. Vedrai che il numero di microstati possibili in realtà è molto piccolo e relativamente facile da calcolare (se non ho sbagliato).
D'accordo, allora proviamo..
(1) trova quali sono esattamente i possibili valori dell'energia totale
Per un singolo spin (una particella) ho 2 valori possibili:
E=1 se \(\displaystyle S_j=1, -1 \)
E=0 se \(\displaystyle S_j=0 \)
quindi il numero di microstati \(\displaystyle \Omega=3 \), di cui uno doppiamente degenere.
Adesso se ragiono per N particelle
\(\displaystyle E_{max}=N \\
E_{min}=0 \)
e poi ci sono tutte le energie intermedie \(\displaystyle E_s \) con valori \(\displaystyle 0< E_s
(1) trova quali sono esattamente i possibili valori dell'energia totale
Per un singolo spin (una particella) ho 2 valori possibili:
E=1 se \(\displaystyle S_j=1, -1 \)
E=0 se \(\displaystyle S_j=0 \)
quindi il numero di microstati \(\displaystyle \Omega=3 \), di cui uno doppiamente degenere.
Adesso se ragiono per N particelle
\(\displaystyle E_{max}=N \\
E_{min}=0 \)
e poi ci sono tutte le energie intermedie \(\displaystyle E_s \) con valori \(\displaystyle 0< E_s
(2) per un dato valore di energia vedi quali sono le scelte possibili di spin che sommano a quell'energia
L'energia massima \(\displaystyle E_{min}=0 \), può essere data solo dalla configurazione con N spin di valore 0. Ha configurazione unica. Quindi ha degenerazione g=1 (cioè non è degenere).
L'energia massima \(\displaystyle E_{max}=N \), può essere data dalle seguenti configurazioni:
- tutti gli spin hanno valore +1 -> N spin (+1)
- tutti gli spin hanno valore -1 -> N spin (-1)
Se chiamo \(\displaystyle N_{+} \) = il numero degli spin con valore \(\displaystyle +1 \) e \(\displaystyle N_{-} \) = il numero degli spin con valore \(\displaystyle -1 \) altre configurazioni poi sono (sempre per \(\displaystyle E_{max}=N \))
- \(\displaystyle N_{+} \) = N/2 e \(\displaystyle N_{-} \) = N/2
- \(\displaystyle N_{+} \) = N - 1 e \(\displaystyle N_{-} \) = 1
- \(\displaystyle N_{+} \) = N - 2 e \(\displaystyle N_{-} \) = 2
… fino a
- \(\displaystyle N_{+} \) = N/2 + 1 e \(\displaystyle N_{-} \) = N/2 -1
il livello massimo è un bel po' degenere a causa dell' \(\displaystyle S_i^2 \) !
la degenerazione g in questo caso sarebbe 2 + le configurazioni intermedie che sono...
L'energia massima \(\displaystyle E_{min}=0 \), può essere data solo dalla configurazione con N spin di valore 0. Ha configurazione unica. Quindi ha degenerazione g=1 (cioè non è degenere).
L'energia massima \(\displaystyle E_{max}=N \), può essere data dalle seguenti configurazioni:
- tutti gli spin hanno valore +1 -> N spin (+1)
- tutti gli spin hanno valore -1 -> N spin (-1)
Se chiamo \(\displaystyle N_{+} \) = il numero degli spin con valore \(\displaystyle +1 \) e \(\displaystyle N_{-} \) = il numero degli spin con valore \(\displaystyle -1 \) altre configurazioni poi sono (sempre per \(\displaystyle E_{max}=N \))
- \(\displaystyle N_{+} \) = N/2 e \(\displaystyle N_{-} \) = N/2
- \(\displaystyle N_{+} \) = N - 1 e \(\displaystyle N_{-} \) = 1
- \(\displaystyle N_{+} \) = N - 2 e \(\displaystyle N_{-} \) = 2
… fino a
- \(\displaystyle N_{+} \) = N/2 + 1 e \(\displaystyle N_{-} \) = N/2 -1
il livello massimo è un bel po' degenere a causa dell' \(\displaystyle S_i^2 \) !
la degenerazione g in questo caso sarebbe 2 + le configurazioni intermedie che sono...
La strada è perfetta, ti basta discutere ugualmente il caso $E = M < N$. Nota che puoi subito dedurre quanti spin nulli e quanti non nulli ci sono.
Ok. Nel caso sopra la degenerazione quanto è? ne ho 2 + da N/2 a N/2 + 1, quanto fa?
non hai elencato bene tutte le configurazioni sopra, inoltre hai assunto $N$ pari e non ho idea di cosa tu stia dicendo nell'ultima risposta
Riparto da qui:
Se chiamo \(\displaystyle N_{+} \) = il numero degli spin con valore \(\displaystyle +1 \) e \(\displaystyle N_{-} \) = il numero degli spin con valore \(\displaystyle -1 \) altre configurazioni poi sono (sempre per \(\displaystyle E_{max}=N \))
- \(\displaystyle N_{+} \) = N - 1 e \(\displaystyle N_{-} \) = 1
- \(\displaystyle N_{+} \) = N - 2 e \(\displaystyle N_{-} \) = 2
- \(\displaystyle N_{+} \) = N - 3 e \(\displaystyle N_{-} \) = 3
- \(\displaystyle N_{+} \) = N - 4 e \(\displaystyle N_{-} \) = 4
- \(\displaystyle N_{+} \) = N - 5 e \(\displaystyle N_{-} \) = 5
e così via …
non posso elencarle per esplicito tutte
, non c'è un'espressione di calcolo combinatorio che esprima questa cosa?
Se chiamo \(\displaystyle N_{+} \) = il numero degli spin con valore \(\displaystyle +1 \) e \(\displaystyle N_{-} \) = il numero degli spin con valore \(\displaystyle -1 \) altre configurazioni poi sono (sempre per \(\displaystyle E_{max}=N \))
- \(\displaystyle N_{+} \) = N - 1 e \(\displaystyle N_{-} \) = 1
- \(\displaystyle N_{+} \) = N - 2 e \(\displaystyle N_{-} \) = 2
- \(\displaystyle N_{+} \) = N - 3 e \(\displaystyle N_{-} \) = 3
- \(\displaystyle N_{+} \) = N - 4 e \(\displaystyle N_{-} \) = 4
- \(\displaystyle N_{+} \) = N - 5 e \(\displaystyle N_{-} \) = 5
e così via …
non posso elencarle per esplicito tutte
, non c'è un'espressione di calcolo combinatorio che esprima questa cosa?
non mettere separatamente le configurazioni $N_+ = N$, $N_{-} = 0$, e $N_+ = 0$, $N_{-} = N$; non serve: non sono diverse dalle altre.
Le configurazioni sono parametrizzate da $N_+ = 0, 1, 2,...,N$, perché $N_-$ è bloccato da $N_+ + N_{-} = N$. Allora sono esattamente il numero di possibili valori di $N_+$, ovvero $N+1$.
Estendi facilmente ad energie arbitrarie.
Le configurazioni sono parametrizzate da $N_+ = 0, 1, 2,...,N$, perché $N_-$ è bloccato da $N_+ + N_{-} = N$. Allora sono esattamente il numero di possibili valori di $N_+$, ovvero $N+1$.
Estendi facilmente ad energie arbitrarie.
Facciamo così mettiamo davanti all'Hamiltoniana un fattore \(\displaystyle B>0 \), così non faccio confusione quando parliamo di valore di energia e N particelle. Scusa, non cambia niente, è solo per comodità.
Caso: \(\displaystyle E_{min}=0 \) (N spin con \(\displaystyle S_i=0 \) ) -> numero di microstati \(\displaystyle \Omega \)=1, degenerazione g=1.
Caso: \(\displaystyle E_{max}=BN \)
Definiti \(\displaystyle N_+ , N_- \) rispettivamente il numero di spin con valore +1/-1, per \(\displaystyle E_{max} \) gli spin possono assumere solo valore \(\displaystyle N_{+} \) e \(\displaystyle N_{-} \) e quindi vale la relazione:
\(\displaystyle N_{+} + N_{-} = N \)
-> \(\displaystyle N_- = N - N_+ \)
microstati:
1) N = N+
2) N = N-
fin qui siamo d'accordo?
3) ? etc
Non ho capito, come scriveresti le altre configurazioni? o in generale quindi in numero di microstati?
Poi faccio il caso E intermedie, ma vorrei capire bene questo per non perdermi poi ...
Caso: \(\displaystyle E_{min}=0 \) (N spin con \(\displaystyle S_i=0 \) ) -> numero di microstati \(\displaystyle \Omega \)=1, degenerazione g=1.
Caso: \(\displaystyle E_{max}=BN \)
Definiti \(\displaystyle N_+ , N_- \) rispettivamente il numero di spin con valore +1/-1, per \(\displaystyle E_{max} \) gli spin possono assumere solo valore \(\displaystyle N_{+} \) e \(\displaystyle N_{-} \) e quindi vale la relazione:
\(\displaystyle N_{+} + N_{-} = N \)
-> \(\displaystyle N_- = N - N_+ \)
microstati:
1) N = N+
2) N = N-
fin qui siamo d'accordo?
3) ? etc
Non ho capito, come scriveresti le altre configurazioni? o in generale quindi in numero di microstati?
Poi faccio il caso E intermedie, ma vorrei capire bene questo per non perdermi poi ...
"*Ely":
microstati:
1) N = N+
2) N = N-
fin qui siamo d'accordo?
no, mancano tutti gli altri. Perché dici che $N = N_+$ e $N = N_-$ sono i microstati, e poi aggiungi "e ora facciamo gli altri". Falli tutti insieme, e contali.
Quelli sono due microstati, poi ovvio che ci sono gli altri! ma visto che prima ho canato a scriverli o c' è un modo migliore di farlo, puoi farmi vedere come, per favore?
Allora, proviamo così.
Intanto, $H = N_+ + N_-$, sempre. Inoltre, ovviamente $N_{+} + N_{-} + N_0 = N$.
consideriamo il caso $E = N$. Si deve avere:
$N_+ + N_{-} = N$
il che implica $N_0 = 0$.
Riscriviamola come $N_{-} = N - N_+$. Allora vedi che $N_{-}$ è determinato da $N_+$ attraverso il vincolo dell'energia.
Quanti possibili valori di $N_{+}$ esistono? Ogni valore da $0$ ad $N$. Per ognuno di questi valori, $N_{-}$ è sempre compreso fra $0$ ed $N$. Allora vanno tutti bene.
Devi contare i numeri $0$, $1$, ... , $N$. Questi sono $N+1$.
Allora il livello ha degenerazione $N+1$.
Puoi ripetere identicamente il ragionamento per $E
EDIT: ho scordato di mettere il fattore $B$, scusa
Intanto, $H = N_+ + N_-$, sempre. Inoltre, ovviamente $N_{+} + N_{-} + N_0 = N$.
consideriamo il caso $E = N$. Si deve avere:
$N_+ + N_{-} = N$
il che implica $N_0 = 0$.
Riscriviamola come $N_{-} = N - N_+$. Allora vedi che $N_{-}$ è determinato da $N_+$ attraverso il vincolo dell'energia.
Quanti possibili valori di $N_{+}$ esistono? Ogni valore da $0$ ad $N$. Per ognuno di questi valori, $N_{-}$ è sempre compreso fra $0$ ed $N$. Allora vanno tutti bene.
Devi contare i numeri $0$, $1$, ... , $N$. Questi sono $N+1$.
Allora il livello ha degenerazione $N+1$.
Puoi ripetere identicamente il ragionamento per $E
EDIT: ho scordato di mettere il fattore $B$, scusa
Ok. Grazie, così ci siamo.
Quindi, riassumendo, la degenerazione di un livello qualsiasi per un valore fissato di energia \(\displaystyle E\neq 0 \)
è N + 1. (Hai scritto E + 1 ma penso volessi dire N+1 ?)
Ultima discussione ..per arrivare a quella effettiva di partenza:
il numero degli stati \(\displaystyle \Omega \), ad una qualsiasi energia fissata (facciamo diversa da 0), posso dire che sia quindi (N+1)?
e la funzione di partizione, che generalmente per la B.E. si scrive come \(\displaystyle Z= \sum _i (e^{-\alpha - \beta\epsilon_i} -1) \) come la scriveresti in questo caso?
Quindi, riassumendo, la degenerazione di un livello qualsiasi per un valore fissato di energia \(\displaystyle E\neq 0 \)
è N + 1. (Hai scritto E + 1 ma penso volessi dire N+1 ?)
Ultima discussione
..per arrivare a quella effettiva di partenza:il numero degli stati \(\displaystyle \Omega \), ad una qualsiasi energia fissata (facciamo diversa da 0), posso dire che sia quindi (N+1)?
e la funzione di partizione, che generalmente per la B.E. si scrive come \(\displaystyle Z= \sum _i (e^{-\alpha - \beta\epsilon_i} -1) \) come la scriveresti in questo caso?
no, è $E+1$. Rifai il ragionamento per $E
$E+1$, e perché specifichi diversa da 0?
semplicemente $Z(\beta) = \sum_s \exp(-\beta E_s) = \sum_{E=0}^N g_E \exp(-\beta E)$ dove $g_E$ è la degenerazione. Puoi facilmente semplificare $Z(\beta)$.
"*Ely":
il numero degli stati \(\displaystyle \Omega \), ad una qualsiasi energia fissata (facciamo diversa da 0), posso dire che sia quindi (N+1)?
$E+1$, e perché specifichi diversa da 0?
e la funzione di partizione, che generalmente per la B.E. si scrive come \(\displaystyle Z= \sum _i (e^{-\alpha - \beta\epsilon_i} -1) \) come la scriveresti in questo caso?
semplicemente $Z(\beta) = \sum_s \exp(-\beta E_s) = \sum_{E=0}^N g_E \exp(-\beta E)$ dove $g_E$ è la degenerazione. Puoi facilmente semplificare $Z(\beta)$.
D'accordo e ok la funzione. Cosa intendi per semplificarla?
intendevo scriverla come una espressione chiusa in $\beta$ che non coinvolga delle sommatorie. Ma ora che ci ripenso non è così banale. Ma se conosci il trucco è facile.
Fai così: intanto la forma finale che si ottiene dall'esercizio è
$ Z = \sum_{E=0}^N (E+1) e^{-\beta E} = e^{\beta} \sum_{s=1}^{N+1} s e^{-\beta s} = e^{\beta} \sum_{s=0}^{N+1} s e^{-\beta s} $
nel primo passaggio ho sostituito $s = E+1$ e ho raccolto un fattore $e^\beta$, nel secondo ho fatto partire la somma da $s=0$ perché tanto il termine della somma con $s=0$ è nullo e quindi non fa differenza.
Il trucco è riconoscere che:
$s e^{-\beta s} = \frac{\partial}{\partial \beta} e^{-\beta s}$
sostituendo e portando la derivata fuori dalla somma, ti ritrovi a sommare una serie geometrica. A quel punto ti ritrovi da derivare una funzione semplice di $\beta$.
Fai così: intanto la forma finale che si ottiene dall'esercizio è
$ Z = \sum_{E=0}^N (E+1) e^{-\beta E} = e^{\beta} \sum_{s=1}^{N+1} s e^{-\beta s} = e^{\beta} \sum_{s=0}^{N+1} s e^{-\beta s} $
nel primo passaggio ho sostituito $s = E+1$ e ho raccolto un fattore $e^\beta$, nel secondo ho fatto partire la somma da $s=0$ perché tanto il termine della somma con $s=0$ è nullo e quindi non fa differenza.
Il trucco è riconoscere che:
$s e^{-\beta s} = \frac{\partial}{\partial \beta} e^{-\beta s}$
sostituendo e portando la derivata fuori dalla somma, ti ritrovi a sommare una serie geometrica. A quel punto ti ritrovi da derivare una funzione semplice di $\beta$.
Perché non hai utilizzato la funzione di gran partizione?
perché dal testo dell'esercizio mi sembra di intuire che il numero di particelle è fisso
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo