Bolzmann e velocità relative
stamane piove......... mi è venuto in mente un simpatico problemino di calcolo, legato a questioni di nucleare, ma in realtà è un esercizio di calcolo, o meglio un ripasso di fisica statistica elementare... vediamo che ne pensate...
supponiamo di avere un gas composto da due tipi di molecole A e B, in quantità $N_1$ ed $N_2$ (il loro numero totale) all'interno del medesimo volume V... supponiamo per semplicità che possiedano la medesima massa... siano particelle classiche (quindi distinguibili), distribuite all'equilibrio secondo la distribuzione di Bolzmann...
Supponiamo di prendere due molecole, una di tipo A e l'altra di tipo B e consideriamo la loro velocità relativa. Trovare la distribuzione delle particelle secondo la loro velocità relativa. Non so come dirlo bene... insomma trovare una formula del tipo:
$dw=F(v_(rel))dv_(rel)$
dove $w$ è la probabilità di avere una velocità relativa tra $v_(rel)$ e $v_(rel)+dv_(rel)$ ($v_(rel)$ è inteso come vettore)
domanda bonus: formulare in modo decente il problema.
ps: se trovate il risultato in forma integrale a me sta bene lo stesso, se l'integrale è comunque uni-dimensionale (nel senso, l'esercizio sta nell'impostare il calcolo, non nell'essere capaci di trovare trucchi per risolvere gli integrali.... cmq alla fine si vorrebbe ottenere una forma non integrale)
enjoy
supponiamo di avere un gas composto da due tipi di molecole A e B, in quantità $N_1$ ed $N_2$ (il loro numero totale) all'interno del medesimo volume V... supponiamo per semplicità che possiedano la medesima massa... siano particelle classiche (quindi distinguibili), distribuite all'equilibrio secondo la distribuzione di Bolzmann...
Supponiamo di prendere due molecole, una di tipo A e l'altra di tipo B e consideriamo la loro velocità relativa. Trovare la distribuzione delle particelle secondo la loro velocità relativa. Non so come dirlo bene... insomma trovare una formula del tipo:
$dw=F(v_(rel))dv_(rel)$
dove $w$ è la probabilità di avere una velocità relativa tra $v_(rel)$ e $v_(rel)+dv_(rel)$ ($v_(rel)$ è inteso come vettore)
domanda bonus: formulare in modo decente il problema.
ps: se trovate il risultato in forma integrale a me sta bene lo stesso, se l'integrale è comunque uni-dimensionale (nel senso, l'esercizio sta nell'impostare il calcolo, non nell'essere capaci di trovare trucchi per risolvere gli integrali.... cmq alla fine si vorrebbe ottenere una forma non integrale)
enjoy
Risposte
Io ho considerato il caso tra due particelle qualsiasi, non una di tipo $A$ e una di tipo $B$. In ogni caso non sono neanche convinto della correttezza di quello che ho scritto, quindi dimmi un po' dove ho sbagliato. 
La densità di probabilità di trovare una particella con velocità $v = (v_x, v_y, v_z)$ è $f(v_x, v_y, v_z) = (\frac{m}{2\pikT})^{3/2} \exp[\frac{-m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}{2kT}]$. Per le velocità relative consideriamo $v_r = (a, b, c)$ e scriviamo $g(a, b, c) = C \int f(v_x+a, v_y+b, v_z+c) f(-v_x, -v_y, -v_z)d^3v$. La costante di proporzionalità $C$ si può determinare imponendo che $g(a,b,c)$ integrata su tutti i valori di $(a,b,c)$ faccia uno.
La densità di probabilità di trovare una particella con velocità $v = (v_x, v_y, v_z)$ è $f(v_x, v_y, v_z) = (\frac{m}{2\pikT})^{3/2} \exp[\frac{-m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}{2kT}]$. Per le velocità relative consideriamo $v_r = (a, b, c)$ e scriviamo $g(a, b, c) = C \int f(v_x+a, v_y+b, v_z+c) f(-v_x, -v_y, -v_z)d^3v$. La costante di proporzionalità $C$ si può determinare imponendo che $g(a,b,c)$ integrata su tutti i valori di $(a,b,c)$ faccia uno.
vedo che nn trovo mai il tempo e le le energie per risponderti bene in questo periodo... sorry....
anyway, facciamo pure con un solo tipo di molecole come dici tu...
l'integrale che ottieni risulta uguale al mio... o quasi, io ottengo in realtà
$F(w)=C\int f(v)f(v+w)dv$
dove v e w sono 2 vettori, w quello della velocità relativa.
mi pare che tu scrivi $f(-v)$ dove io scrivo $f(v)$. E' vero che vale f(-v)=f(v) e quindi i due risultati sono uguali, ma nn capisco perchè ci hai messo il meno.
ora bisognerebbe risolvere l'integrale dopo aver messo dentro la distribuzione di Bolzmann.... forse l'indentità
$a^2+b^2=((a+b)^2+(a-b)^2)/2$
può semplificare i calcoli...
capisco però che magari al momento l'unica persona che ha risposto può essere occupata da altro....
(e come lo capisco!)
anyway, facciamo pure con un solo tipo di molecole come dici tu...
l'integrale che ottieni risulta uguale al mio... o quasi, io ottengo in realtà
$F(w)=C\int f(v)f(v+w)dv$
dove v e w sono 2 vettori, w quello della velocità relativa.
mi pare che tu scrivi $f(-v)$ dove io scrivo $f(v)$. E' vero che vale f(-v)=f(v) e quindi i due risultati sono uguali, ma nn capisco perchè ci hai messo il meno.
ora bisognerebbe risolvere l'integrale dopo aver messo dentro la distribuzione di Bolzmann.... forse l'indentità
$a^2+b^2=((a+b)^2+(a-b)^2)/2$
può semplificare i calcoli...
capisco però che magari al momento l'unica persona che ha risposto può essere occupata da altro....
(e come lo capisco!)
"Thomas":
mi pare che tu scrivi $f(-v)$ dove io scrivo $f(v)$. E' vero che vale f(-v)=f(v) e quindi i due risultati sono uguali, ma nn capisco perchè ci hai messo il meno.
Perchè per qualche motivo quando ho scritto quel messaggio ho fatto la somma delle componenti invece della differenza.
Comunque per l'integrale si può usare il risultato $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2-(x+a)^2} = e^{-a^2/2}\sqrt\{\pi/2}$ che si ottiene con una particolare sostituzione che in questo momento non ricordo e non ho voglia di ricavare.
Sfruttando questo integrale si ottiene il risultato $F(\vecv) = (m/{4pikT})^{3/2}e^{-m/{4kT}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}$, poichè la costante che si ottiene integrando sulle componenti fa proprio uno. Sempre a meno di errori.
si si.... quell'integrale lo puoi risolvere anche basandoti sull'identità algebrica che avevo scritto... anyway il risultato è quello... la cosa bella è che la distribuzione rimane bolzmanniana!, con la massa ridotta come coefficiente... (in questo caso m/2)... carino, no? 
Effettivamente a posteriori mi viene da pensare alle due molecole come una sola con la massa ridotta e la differenza delle velocità delle due. Molto carino. 
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