Biot-Savart iterazione tra quattro fili
Salve, vi scrivo questo esercizio perchè non riesco a trovare la soluzione.
Si considerino quattro fili indefiniti percorsi la corrente e disposti ai vertici di un quadrato di lato $l=0,06m$. Sapendo che $ i_2=5A$ e che tali correnti hanno il verso indicato in figura, si determini modulo e verso di $i_1$ affinchè nel punto $P$ il campo $B$ risulti uguale a $0$.
In questo esercizio dovrei applicare la legge di Biot-Savart con le giuste condizioni.
Io avevo pensato ad una cosa simile:
Quindi: $ |B_a(P)|=|B_b(P)|= (i_1 mu_o)/ (2 pi l/2) $
$|B_d(P)|=|B_c(P)|= (i_2 mu_o) / ( 2 pi r) $ con $r=sqrt((l/2)^2+l^2)=0,06 $
Quindi faccio: $ (i_1 mu_o)/ (2 pi 0,03) + (i_2 mu_o) / ( 2 pi 0,06) =0 $
Da questa uguaglianza trovo $i_i=i_2/2 $ ma non esce il risultato.
Il risultato è $ I_1=i_2/5 $.
Forse devo utilizzare il $sen$ e $cos$ ma non ho l'angolo.
Qualcuno può aiutarmi?
Si considerino quattro fili indefiniti percorsi la corrente e disposti ai vertici di un quadrato di lato $l=0,06m$. Sapendo che $ i_2=5A$ e che tali correnti hanno il verso indicato in figura, si determini modulo e verso di $i_1$ affinchè nel punto $P$ il campo $B$ risulti uguale a $0$.
In questo esercizio dovrei applicare la legge di Biot-Savart con le giuste condizioni.
Io avevo pensato ad una cosa simile:
Quindi: $ |B_a(P)|=|B_b(P)|= (i_1 mu_o)/ (2 pi l/2) $
$|B_d(P)|=|B_c(P)|= (i_2 mu_o) / ( 2 pi r) $ con $r=sqrt((l/2)^2+l^2)=0,06 $
Quindi faccio: $ (i_1 mu_o)/ (2 pi 0,03) + (i_2 mu_o) / ( 2 pi 0,06) =0 $
Da questa uguaglianza trovo $i_i=i_2/2 $ ma non esce il risultato.
Il risultato è $ I_1=i_2/5 $.
Forse devo utilizzare il $sen$ e $cos$ ma non ho l'angolo.
Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Ciao!
Potresti per cortesia chiarire il verso in cui scorrono le correnti nei 4 fili? Di solito col cerchio con croce si intende il verso entrante e col cerchio con pallino quello uscente, ma il cerchio vuoto cosa sta a significare?
Il punto è che se il verso della corrente che scorre in $a$ e $b$ è lo stesso, i contribuiti al campo magnetico in $P$ provenienti da questi due fili si annullano e pertanto credo sia impossibile trovare una relazione fra $i_1$ ed $i_2$.
Potresti per cortesia chiarire il verso in cui scorrono le correnti nei 4 fili? Di solito col cerchio con croce si intende il verso entrante e col cerchio con pallino quello uscente, ma il cerchio vuoto cosa sta a significare?
Il punto è che se il verso della corrente che scorre in $a$ e $b$ è lo stesso, i contribuiti al campo magnetico in $P$ provenienti da questi due fili si annullano e pertanto credo sia impossibile trovare una relazione fra $i_1$ ed $i_2$.
Le convenzioni sono quelle che hai detto te!
I versi di $i_1$ in a e b sono da stabilire da consegna. Nota che le correnti sono solo due, $i_1$ e $i_2$
Grazie per l'aiuto
I versi di $i_1$ in a e b sono da stabilire da consegna. Nota che le correnti sono solo due, $i_1$ e $i_2$
Grazie per l'aiuto
Ok, adesso è un po' più chiaro
Ricorda che il campo magnetico è un vettore e come tale possiede una direzione ed un verso che non è possibile ignorare.
Andiamo a calcolare il campo magnetico in $P$ dovuto ai fili $c$ e $d$ considerando un sistema di riferimento con l'asse x passante per a e b (orientato positivamente verso destra), e l'asse y, ortogonale ad esso, passante per P ed orientato positivamente verso l'alto.
La legge di Biot-Savart, per un filo indefinito si scrive:
$\vec{B}(\vec{r})= \mu_0/(2\pi)(\vec{i}\times\hat{r})/r$
dove $\vec{r}$ è il vettore congiungente il filo al punto in cui si vuole valutare il campo.
Disegnando i vettori $B_c$ e $B_d$ (applicando la regola della mano destra puoi ottenerne direzione e verso) si nota che i contributi lungo $x$ si annullano: resta la sola componente lungo y.
Si ha $B_y^((c))=B_y^((d))=Bsin\alpha=-\mu_0/(2\pi)(i_2)/r sin\alpha$
dove $\alpha$ è l'angolo $a\hat{d}P$ (che infelice scelta dei simboli!!
).
Col teorema di Pitagora, $r = (\sqrt{5}l)/2$ e $r sin\alpha = l/2$. Da cui:
$B_y^((c))+B_y^((d))=-(\mu_0 2i_2)/(5\pi)$.
Come ho detto prima, se la corrente che scorre in $a$ e $b$ avesse lo stesso verso, i contributi a $\vec{B}$ di questi due fili si annullerebbero e non potrebbero quindi compensare il valore ottenuto per $B$ sin qui. Riesci a concludere tu?
Ricorda che il campo magnetico è un vettore e come tale possiede una direzione ed un verso che non è possibile ignorare.
Andiamo a calcolare il campo magnetico in $P$ dovuto ai fili $c$ e $d$ considerando un sistema di riferimento con l'asse x passante per a e b (orientato positivamente verso destra), e l'asse y, ortogonale ad esso, passante per P ed orientato positivamente verso l'alto.
La legge di Biot-Savart, per un filo indefinito si scrive:
$\vec{B}(\vec{r})= \mu_0/(2\pi)(\vec{i}\times\hat{r})/r$
dove $\vec{r}$ è il vettore congiungente il filo al punto in cui si vuole valutare il campo.
Disegnando i vettori $B_c$ e $B_d$ (applicando la regola della mano destra puoi ottenerne direzione e verso) si nota che i contributi lungo $x$ si annullano: resta la sola componente lungo y.
Si ha $B_y^((c))=B_y^((d))=Bsin\alpha=-\mu_0/(2\pi)(i_2)/r sin\alpha$
dove $\alpha$ è l'angolo $a\hat{d}P$ (che infelice scelta dei simboli!!
).Col teorema di Pitagora, $r = (\sqrt{5}l)/2$ e $r sin\alpha = l/2$. Da cui:
$B_y^((c))+B_y^((d))=-(\mu_0 2i_2)/(5\pi)$.
Come ho detto prima, se la corrente che scorre in $a$ e $b$ avesse lo stesso verso, i contributi a $\vec{B}$ di questi due fili si annullerebbero e non potrebbero quindi compensare il valore ottenuto per $B$ sin qui. Riesci a concludere tu?
Non riesco a capire come utilizzare la regola della mano destra in questo caso.
Sto impazzendo da questa mattina per una cosa così stupida, ho una sorta di blocco mentale.
Forse ho capito perchè il campo $B$ ha sole componenti lungo $y$ al livello concettuale, ma a quello matematico mi sfugge qualcosa. Correggimi dove sbaglio.
Vediamo se so spiegarmi:
Regola della mano destra:
[img]https://encrypted-tbn3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSM9lIa282APQvvtrhpZTp5T22XO50S2NyWqHIA8IqzOOaUg73x[/img]
Metto il pollice lungo $(i_2)_d$ uscente, l'indice è parallelo all'asse $y$ positive.
Metto il pollice lungo $(i_2)_c$ entrante, l'indice è parallelo all'asse $y$ negativo.
Allora $B$ ha sole componenti lungo $y$.
Data la legge d Biot-Savart:
$ vec(B)(vec(r)) = mu_o/(2pi) (vec(i) xx vec(r))/|r| $ il prodotto vettoriale $veci xx vecr $ dovrebbe descrivermi il comportamento di $B$ che ha componenti solo lungo $y$ (secondo la regola della mano destra)
Allora supponendo che $i_2$ sia orientata verso $z$ quindi $veci_2=i_2vecz_0$, e che $ vecr=|r|(vecx_o cos alpha +vecy_o sen alpha) $ con $alpha$ angolo tra $veci$ e $vecr$
Facendo il prodotto vettoriale tra $veci xx vecr$ non si annulla la componente su $y_o$
Dove sbaglio?
Capisco ci sia qualcosa di sbagliato nel mio ragionamento, credo che $i_2 _|_ B $ quindi $cos 90=0$ ma in questo modo il $sen90=1$ e comunque non mi torna.
Faccio confusione con gli angoli.
Non capisco come impostare il prodotto vettoriale in questo senso.
Puoi spiegarmi come disegnare i vettori rappresentanti il campo $B$?
Sto impazzendo da questa mattina per una cosa così stupida, ho una sorta di blocco mentale.
Forse ho capito perchè il campo $B$ ha sole componenti lungo $y$ al livello concettuale, ma a quello matematico mi sfugge qualcosa. Correggimi dove sbaglio.
Vediamo se so spiegarmi:
Regola della mano destra:
[img]https://encrypted-tbn3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSM9lIa282APQvvtrhpZTp5T22XO50S2NyWqHIA8IqzOOaUg73x[/img]
Metto il pollice lungo $(i_2)_d$ uscente, l'indice è parallelo all'asse $y$ positive.
Metto il pollice lungo $(i_2)_c$ entrante, l'indice è parallelo all'asse $y$ negativo.
Allora $B$ ha sole componenti lungo $y$.
Data la legge d Biot-Savart:
$ vec(B)(vec(r)) = mu_o/(2pi) (vec(i) xx vec(r))/|r| $ il prodotto vettoriale $veci xx vecr $ dovrebbe descrivermi il comportamento di $B$ che ha componenti solo lungo $y$ (secondo la regola della mano destra)
Allora supponendo che $i_2$ sia orientata verso $z$ quindi $veci_2=i_2vecz_0$, e che $ vecr=|r|(vecx_o cos alpha +vecy_o sen alpha) $ con $alpha$ angolo tra $veci$ e $vecr$
Facendo il prodotto vettoriale tra $veci xx vecr$ non si annulla la componente su $y_o$
Dove sbaglio?
Capisco ci sia qualcosa di sbagliato nel mio ragionamento, credo che $i_2 _|_ B $ quindi $cos 90=0$ ma in questo modo il $sen90=1$ e comunque non mi torna.
Faccio confusione con gli angoli.
Non capisco come impostare il prodotto vettoriale in questo senso.
Puoi spiegarmi come disegnare i vettori rappresentanti il campo $B$?
Nel nostro caso dobbiamo studiare $\vec{i_2}\times\vec{r}$: metti il pollice lundo $(i_2)_d$ uscente (quindi verso l'alto) e l'indice su $\vec{r}$ (la distanza del filo $d$ dal punto $P$), allora $\vec{B}$ dovuto a $d$ sarà rappresentato dal medio. Puoi vedere che $B_d$ e $B_c$ sono rispettivamente ortogonali ai due lati del triangolo isoscele $cPd$ (quelli di distanza $r$ insomma). Hanno entrambi componenti sia lungo x, sia lungo y, quindi non sbagli: è la somma fra i due che dà una risultante interamente su $y$. Ti allego due immagini che spero possano aiutarti a visualizzare più chiaramente la situazione: nella prima ho disegnato il solo campo $B_c$ nella seconda ci sono entrambi ed è lì che puoi notare che le loro proiezioni su $x$ sono in modulo uguali, ma di segno opposto.
Fig. 1 - Fig. 2
Fig. 1 - Fig. 2
Innanzitutto ti ringrazio per il tuo aiuto e la tua disponibilità, mi sei stato vitale.
Ho capito applicare la regola della mano destra in questo caso, ed oltre a trovare la soluzione concettuale grazie al tuo disegno credo di averla trovata anche per via analitica.
Scrivo come ho fatto:
Considerando un sistema di riferimento $(x_o,y_o,z_o)$ con $z$ uscente dal foglio abbiamo:
$i_(2c)=i_2 vecz_o$
$ i_(2d)=-i_2 vecz_o$
$ |r|=(x_o cos alpha + y_o sen alpha) $
$ \vec{B}(\vec{r})= \mu_0/(2\pi)(\vec{i}\times\hat{r})/r $
$B_d= mu_0/(2 pi |r|) i z_o xx ( x_o cos alpha + y_o sen alpha ) $ ed ottengo:
$B_d= mu_0/(2 pi |r|) ( y_o cos alpha - x_o sen alpha ) $
facendo lo stesso procedimento per $B_c$ ma con $i_2= i_2(-z_o)$ otterngo:
$B_c= mu_0/(2 pi |r|) ( -y_o cos alpha + x_o sen alpha ) $
$alpha$ è l'angolo formato da $i$ e dal vettore $vecr$, applico la trigonometria e trovo l'angolo: $alpha = 1/sqrt5 $.
sostituisco $alpha=1/sqrt5$ nelle espressioni di $B_c$ e $B_d$ ottengo:
$B_d= mu_0/(2 pi |r|) ( y_o cos alpha) $
$B_c= mu_0/(2 pi |r|) ( -y_o cos alpha) $
Dunque il campo ha componenti solo lungo $y$ ed è uguale in modulo.
Grazie ancora per l'aiuto
Ho capito applicare la regola della mano destra in questo caso, ed oltre a trovare la soluzione concettuale grazie al tuo disegno credo di averla trovata anche per via analitica.
Scrivo come ho fatto:
Considerando un sistema di riferimento $(x_o,y_o,z_o)$ con $z$ uscente dal foglio abbiamo:
$i_(2c)=i_2 vecz_o$
$ i_(2d)=-i_2 vecz_o$
$ |r|=(x_o cos alpha + y_o sen alpha) $
$ \vec{B}(\vec{r})= \mu_0/(2\pi)(\vec{i}\times\hat{r})/r $
$B_d= mu_0/(2 pi |r|) i z_o xx ( x_o cos alpha + y_o sen alpha ) $ ed ottengo:
$B_d= mu_0/(2 pi |r|) ( y_o cos alpha - x_o sen alpha ) $
facendo lo stesso procedimento per $B_c$ ma con $i_2= i_2(-z_o)$ otterngo:
$B_c= mu_0/(2 pi |r|) ( -y_o cos alpha + x_o sen alpha ) $
$alpha$ è l'angolo formato da $i$ e dal vettore $vecr$, applico la trigonometria e trovo l'angolo: $alpha = 1/sqrt5 $.
sostituisco $alpha=1/sqrt5$ nelle espressioni di $B_c$ e $B_d$ ottengo:
$B_d= mu_0/(2 pi |r|) ( y_o cos alpha) $
$B_c= mu_0/(2 pi |r|) ( -y_o cos alpha) $
Dunque il campo ha componenti solo lungo $y$ ed è uguale in modulo.
Grazie ancora per l'aiuto
Mi sfuggono alcuni passaggi, te li elenco qui sotto e li commento.
$|r|$ che compare nella legge di B-S è il modulo della distanza del filo dal punto in cui vuoi valutare il campo. In pratica è l'ipotenusa del triangolo $cPb$, per cui risulta:
$|r|=\sqrt{l^2+(l/2)^2}=\sqrt{5}l/2$
Se con $x_0$ ed $y_0$ indichi i versori degli assi principali, allora non ci troviamo: $|r|$ è uno scalare, non un vettore.
Qui hai invertito $B_c$ e $B_d$: le correnti hanno infatti segno opposto (rispetto alle convenzioni che hai fissato su) e fa' attenzione al fatto che $\hat{r}$ ha direzione diversa se stai considerando il filo $c$ o $d$:
$\hat{r}_c=-cos\alpha\hat{x}+sin\alpha\hat{y}$
$\hat{r}_d=cos\alpha\hat{x}+sin\alpha\hat{y}$
Inoltre $\alpha$ non è l'angolo formato da $\vec{i}$ e $\vec{r}$ (in quanto pari a $\pi/2$, ma piuttosto l'angolo $a\hat{c}P$. E, fai attenzione, $sin\alpha= 1/\sqrt{5}$.
Perdonami, ma perché scompare la componente $x$ in queste due espressioni? Ammettiamo che $\alpha$ fosse $1/\sqrt{5}$ (cosa non vera, come ti ho detto poco su) allora $sin(1/\sqrt{5})=0.43$.
Il punto è un altro. Sommiamo $B_c$ e $B_d$ (ricordando che sono vettori ed operando le correzioni che ti ho detto sin qui):
$\vec{B}_c+\vec{B}_d= \mu_0/(2\pi|r|)( -cos\alpha \hat{y} - sen\alpha \hat{x})+\mu_0/(2\pi|r|)( -cos\alpha \hat{y} + sen\alpha \hat{x})=-\mu_0/(\pi|r|)cos\alpha\hat{y}$
"m4551":
$ |r|=(x_o cos alpha + y_o sen alpha) $
$|r|$ che compare nella legge di B-S è il modulo della distanza del filo dal punto in cui vuoi valutare il campo. In pratica è l'ipotenusa del triangolo $cPb$, per cui risulta:
$|r|=\sqrt{l^2+(l/2)^2}=\sqrt{5}l/2$
Se con $x_0$ ed $y_0$ indichi i versori degli assi principali, allora non ci troviamo: $|r|$ è uno scalare, non un vettore.
$ B_d= mu_0/(2 pi |r|) i z_o xx ( x_o cos alpha + y_o sen alpha ) $ ed ottengo:
$ B_d= mu_0/(2 pi |r|) ( y_o cos alpha - x_o sen alpha ) $
facendo lo stesso procedimento per $ B_c $ ma con $ i_2= i_2(-z_o) $ otterngo:
$ B_c= mu_0/(2 pi |r|) ( -y_o cos alpha + x_o sen alpha ) $
$ alpha $ è l'angolo formato da $ i $ e dal vettore $ vecr $, applico la trigonometria e trovo l'angolo: $ alpha = 1/sqrt5 $.
Qui hai invertito $B_c$ e $B_d$: le correnti hanno infatti segno opposto (rispetto alle convenzioni che hai fissato su) e fa' attenzione al fatto che $\hat{r}$ ha direzione diversa se stai considerando il filo $c$ o $d$:
$\hat{r}_c=-cos\alpha\hat{x}+sin\alpha\hat{y}$
$\hat{r}_d=cos\alpha\hat{x}+sin\alpha\hat{y}$
Inoltre $\alpha$ non è l'angolo formato da $\vec{i}$ e $\vec{r}$ (in quanto pari a $\pi/2$, ma piuttosto l'angolo $a\hat{c}P$. E, fai attenzione, $sin\alpha= 1/\sqrt{5}$.
sostituisco $ alpha=1/sqrt5 $ nelle espressioni di $ B_c $ e $ B_d $ ottengo:
$ B_d= mu_0/(2 pi |r|) ( y_o cos alpha) $
$ B_c= mu_0/(2 pi |r|) ( -y_o cos alpha) $
Dunque il campo ha componenti solo lungo $ y $ ed è uguale in modulo.
Perdonami, ma perché scompare la componente $x$ in queste due espressioni? Ammettiamo che $\alpha$ fosse $1/\sqrt{5}$ (cosa non vera, come ti ho detto poco su) allora $sin(1/\sqrt{5})=0.43$.
Il punto è un altro. Sommiamo $B_c$ e $B_d$ (ricordando che sono vettori ed operando le correzioni che ti ho detto sin qui):
$\vec{B}_c+\vec{B}_d= \mu_0/(2\pi|r|)( -cos\alpha \hat{y} - sen\alpha \hat{x})+\mu_0/(2\pi|r|)( -cos\alpha \hat{y} + sen\alpha \hat{x})=-\mu_0/(\pi|r|)cos\alpha\hat{y}$
grazie molte, domani mattina mi rifaccio tutto il ragionamento.
Riguardo il $|R|$ ho fatto un errore di battitura, ma sicuramente ho frainteso gli angoli!
Grazie a domani!
Riguardo il $|R|$ ho fatto un errore di battitura, ma sicuramente ho frainteso gli angoli!
Grazie a domani!
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