Bernoulli e teorema di Torricelli
Buongiorno a tutti!
Ho un dubbio sulla dimostrazione del teorema di Torricelli, secondo il quale la velocità di fuoriscita di acqua da una piscina a cielo aperto di area molto grande rispetto ad un foro di piccole dimensioni, posto ad una quota -h rispetto all'altezza della superrficie di separazione aria-acqua è v=sqrt(2gh).
Tutte le dimostrazioni trovate in giro utilizzano il teorema di Bernoulli, approssimando a zero la velocità di abbassamento del livello dell'acqua della piscina ed ponendo la pressione sull'acqua della piscina e sul foro di uscita uguali tra loro ed uguali alla pressione atmosferica (non sembra una approssimazione!), cosicchè i due termini in pressione si elidono.
Due esempi fra i tanti:
https://www.****.it/lezioni/fisica/i ... celli.html
https://it.wikipedia.org/wiki/Legge_di_Torricelli
In particolare, non capisco perché la pressione sul foro di uscita debba essere posta uguale a quella atmosferica. "Mutatis mutandis", ogni volta che del liquido esce da un tubo, per esempio quello con cui si annaffia il giardino e quello del lavandino in cucina, la pressione di uscita dovrebbe essere quella atmosferica. Ma questo ovviamente non quadra.
Prendiamo ad esempio un condotto orizzontale a sezione costante, con pressione di ingresso Pi=5atm, da cui esce acqua all'altra estremità. Per l'equazione di continuità, nell'ipotesi di fluido incomprimibile, velocità di ingrsso (vi) e d'uscita (vu) devono essere uguali, il termine di Bernoulli rho*g*h si elimina da ambo i membri (il condotto è orizzontale), ne consegue che la pressione di uscita (Pu) deve essere uguale a quella di ingresso e non a quella atmosferica.
Oppure prendiamo un condotto in verticale, ancora a sezione costante, aperto superioremente, pieno di acqua fino al livello h, e con un rubinetto alla base. Ponendo lo zero all'altezza del rubinetto, fra pelo superioer dell'acqua e rubinetto, nell'istante in cui apriamo il rubinetto, abbiamo:
Pi+rho*g*h+1/2rho*vi^2 = Pu+1/2rho*vu^2
Per quazione di continuità il termine i v si semplifica (vi=vu) e se poniamo Pi=Patm, Pu sarà
Pu=Patm+rho*g*h (e quindi non Patm...)
Dove mi sto perdendo? Perché nel teorema di Torricelli Pu viene posta uguale a quella atmosferica?
Grazie a chiunque vorrà darmi la giusta chiave di lettura.
Ho un dubbio sulla dimostrazione del teorema di Torricelli, secondo il quale la velocità di fuoriscita di acqua da una piscina a cielo aperto di area molto grande rispetto ad un foro di piccole dimensioni, posto ad una quota -h rispetto all'altezza della superrficie di separazione aria-acqua è v=sqrt(2gh).
Tutte le dimostrazioni trovate in giro utilizzano il teorema di Bernoulli, approssimando a zero la velocità di abbassamento del livello dell'acqua della piscina ed ponendo la pressione sull'acqua della piscina e sul foro di uscita uguali tra loro ed uguali alla pressione atmosferica (non sembra una approssimazione!), cosicchè i due termini in pressione si elidono.
Due esempi fra i tanti:
https://www.****.it/lezioni/fisica/i ... celli.html
https://it.wikipedia.org/wiki/Legge_di_Torricelli
In particolare, non capisco perché la pressione sul foro di uscita debba essere posta uguale a quella atmosferica. "Mutatis mutandis", ogni volta che del liquido esce da un tubo, per esempio quello con cui si annaffia il giardino e quello del lavandino in cucina, la pressione di uscita dovrebbe essere quella atmosferica. Ma questo ovviamente non quadra.
Prendiamo ad esempio un condotto orizzontale a sezione costante, con pressione di ingresso Pi=5atm, da cui esce acqua all'altra estremità. Per l'equazione di continuità, nell'ipotesi di fluido incomprimibile, velocità di ingrsso (vi) e d'uscita (vu) devono essere uguali, il termine di Bernoulli rho*g*h si elimina da ambo i membri (il condotto è orizzontale), ne consegue che la pressione di uscita (Pu) deve essere uguale a quella di ingresso e non a quella atmosferica.
Oppure prendiamo un condotto in verticale, ancora a sezione costante, aperto superioremente, pieno di acqua fino al livello h, e con un rubinetto alla base. Ponendo lo zero all'altezza del rubinetto, fra pelo superioer dell'acqua e rubinetto, nell'istante in cui apriamo il rubinetto, abbiamo:
Pi+rho*g*h+1/2rho*vi^2 = Pu+1/2rho*vu^2
Per quazione di continuità il termine i v si semplifica (vi=vu) e se poniamo Pi=Patm, Pu sarà
Pu=Patm+rho*g*h (e quindi non Patm...)
Dove mi sto perdendo? Perché nel teorema di Torricelli Pu viene posta uguale a quella atmosferica?
Grazie a chiunque vorrà darmi la giusta chiave di lettura.
Risposte
"ceccus":
In particolare, non capisco perché la pressione sul foro di uscita debba essere posta uguale a quella atmosferica. "Mutatis mutandis", ogni volta che del liquido esce da un tubo, per esempio quello con cui si annaffia il giardino e quello del lavandino in cucina, la pressione di uscita dovrebbe essere quella atmosferica. Ma questo ovviamente non quadra.
Perche' non quadra ?
Facendo un altro esempio piuttosto maccheronico, se ho un tubetto di dentifricio senza il tappo, lo strato di pasta piu' vicino al foro di uscita non fuoriesce perche' la pressione dello strato dietro all'ultimo e' quella atmosferica, ma l'ultimo strato e' a contatto con l'aria, quindi lo strato ha una pressione uguale da ambo i lati e non fuoriesce.
Sul corpo del tubetto agisce sempre la pressione atmosferica.
Per fare uscire la pasta devo aumentare la pressione interna della pasta, ovvero schiacciare il tubetto.
Nell'esempio della piscina, la differenza di pressione e' quella della colonna di acqua di altezza $h$.
Grazie della risposta!
Il dubbio tuttavia rimane.
Formalmente, perché è possibile asserire nella dimostrazione del teorema di Torricelli che la pressione di uscita è quella atmosferica?
Solo per il fatto che il foro è a contatto con l'aria?
Il dubbio tuttavia rimane.
Formalmente, perché è possibile asserire nella dimostrazione del teorema di Torricelli che la pressione di uscita è quella atmosferica?
Solo per il fatto che il foro è a contatto con l'aria?
"ceccus":
Prendiamo ad esempio un condotto orizzontale a sezione costante, con pressione di ingresso Pi=5atm, da cui esce acqua all'altra estremità. Per l'equazione di continuità, nell'ipotesi di fluido incomprimibile, velocità di ingrsso (vi) e d'uscita (vu) devono essere uguali, il termine di Bernoulli rho*g*h si elimina da ambo i membri (il condotto è orizzontale), ne consegue che la pressione di uscita (Pu) deve essere uguale a quella di ingresso e non a quella atmosferica.
Se hai assenza di perdite è proprio così: pressione ingresso uguale a pressione uscita e entrambe uguali alla pressione atmosferica. Ove così non fosse è impossibile che il tubo sia orizzontale e che le velocità siano le stesse e che la pressione in ingresso sia 5 atm....
"ceccus":
Oppure prendiamo un condotto in verticale, ancora a sezione costante, aperto superioremente, pieno di acqua fino al livello h, e con un rubinetto alla base. Ponendo lo zero all'altezza del rubinetto, fra pelo superioer dell'acqua e rubinetto, nell'istante in cui apriamo il rubinetto, abbiamo:
Pi+rho*g*h+1/2rho*vi^2 = Pu+1/2rho*vu^2
Per equazione di continuità il termine i v si semplifica (vi=vu) e se poniamo Pi=Patm, Pu sarà
Pu=Patm+rho*g*h (e quindi non Patm...)
Nessuno ti assicura che le velocità di ingresso e uscita siano uguali, Bernoulli si applica su una stessa linea di corrente normalmente, mentre la continuità la applichi su una sezione. Dovresti trovare una sezione di ingresso in cui sei sicuro che la velocità sia costante nella sezione per applicare la continuità in quel modo, e non è banale. Normalmente si prende la sezione del pelo libero che di solito è molto ampia e dove la velocità si può porre a zero appunto.
"ceccus":
Formalmente, perché è possibile asserire nella dimostrazione del teorema di Torricelli che la pressione di uscita è quella atmosferica?
Solo per il fatto che il foro è a contatto con l'aria?
Sì. Se sei a contatto con l'atmosfera la pressione è per forza la stessa dell'atmosfera, a meno di fenomeni con onde d'urto, ma non è questo il caso.
Io comunque avevo risposto a questo tuo post, che è identico a quello attuale.
Leggiti la risposta, ci sono un paio di pagine di Citrini-Noseda , docenti di Idraulica ( o forse ex docenti, non lo so).
[xdom="Faussone"]Metto di seguito la risposta di Shackle precedente e cancello l'altro thread che fa solo confusione essendo il duplicato di questo.[/xdom]
Ciao, benvenuto nel forum.
“Non quadra” perché non è sufficientemente chiara una cosa, e cioè che la pressione nella sezione di uscita è in realtà quella in un punto della sezione contratta, ovvero sul contorno della sezione stessa, e quindi è la pressione atmosferica . Leggiti queste pagine prese dal libro di Idraulica di Citrini-Noseda :
Se metti un dito sotto ad un rubinetto aperto, tu dici : sento la pressione dell’acqua. In realtà quella che tu avverti come pressione è l'impulso della forza , dovuto alla variazione della quantità di moto dell’acqua, che il tuo dito devia dal percorso rettilineo.
Tieni presente che il teorema di Bernoulli vale a rigori per un filetto di fluido, che si suppone perfetto, pesante, incomprimibile e in moto permanente. Poi lo si estende ai fluidi poco viscosi, ma con accortezza e ipotesi aggiuntive.
Leggiti la risposta, ci sono un paio di pagine di Citrini-Noseda , docenti di Idraulica ( o forse ex docenti, non lo so).
[xdom="Faussone"]Metto di seguito la risposta di Shackle precedente e cancello l'altro thread che fa solo confusione essendo il duplicato di questo.[/xdom]
non capisco perché la pressione sul foro di uscita debba essere posta uguale a quella atmosferica. "Mutatis mutandis", ogni volta che del liquido esce da un tubo, per esempio quello con cui si annaffia il giardino e quello del lavandino in cucina, la pressione di uscita dovrebbe essere quella atmosferica. Ma questo ovviamente non quadra.
Ciao, benvenuto nel forum.
“Non quadra” perché non è sufficientemente chiara una cosa, e cioè che la pressione nella sezione di uscita è in realtà quella in un punto della sezione contratta, ovvero sul contorno della sezione stessa, e quindi è la pressione atmosferica . Leggiti queste pagine prese dal libro di Idraulica di Citrini-Noseda :
Se metti un dito sotto ad un rubinetto aperto, tu dici : sento la pressione dell’acqua. In realtà quella che tu avverti come pressione è l'impulso della forza , dovuto alla variazione della quantità di moto dell’acqua, che il tuo dito devia dal percorso rettilineo.
Tieni presente che il teorema di Bernoulli vale a rigori per un filetto di fluido, che si suppone perfetto, pesante, incomprimibile e in moto permanente. Poi lo si estende ai fluidi poco viscosi, ma con accortezza e ipotesi aggiuntive.
Buongiorno a tutti e grazie delle risposte.
Perdonatemi il doppio post: credevo che il sistema mi avesse sloggato prima di capire che i post erano sottoposti a moderazione.
Ovviamente la mia domanda inziale e i due esempi a seguire si riferivavano ad un caso ideale, cioè liquido incomprimibile, non viscoso, senza attriti con le pareti del condotto/piscina e in moto stazionario. Le domande hanno scopo puramente didattico.
La spiegazione del caso reale di Shackle è la più chiara e convincente. Se ho capito correttamente il testo, la pressione è quella atmosferica per la sezione contratta, posta sotto la luce d'uscita (circa mezzo diametro sotto al piano della luce se questa è circolare). Alla base della deduzione il ragionamento secondo cui sul contorno della sezione contratta la pressione deve essere per forza in equilibrio con quella atmosferica.
Viceversa, la pressione non è quella atmosferica nella sezione d'uscita:
che risulta più complessa e difficilmente deducibile in via teorica. Ho capito correttamente il ragionamento?
In caso affermativo, ancora un paio di domande/considerazioni...
1) per scopi didattici, spiegare Bernoulli e poi lo svuotamento di una piscina con Torricelli alla wikipedia maniera, vi sembra corretto? Secondo me, trae solo in inganno...
2) caso ideale di un tubo orizzontale a sezione circolare costante in cui viene pompata in ingresso acqua a pressione superiore a quella atmosferica. L'applicazione del teorema di Bernoulli sulle sezioni di ingresso ed di uscita da che il termine mgh è nullo, il termine cinetico si semplifica perché le due velocità sono uguali (equazione di continuità), e il risultato è che la pressione d'uscita è uguale a quella di ingresso e quindi superiore a quella atmosferica. Giusto?
In questo caso come devo immaginare il flusso d'uscita? Non credo a sezione circolare come il condotto, perché la pressione d'uscita, maggiore di quella atmosferica, fa inizialmente allargare la sezione del getto prima di raggiungere un equilibrio con la pressione atmosferica. Ipotizzo che tanto maggiore è la pressione, tanto più il getto in uscita si allarga. E' corretto a vostra avviso?
Grazie di nuovo a tutti del supporto!
Perdonatemi il doppio post: credevo che il sistema mi avesse sloggato prima di capire che i post erano sottoposti a moderazione.
Ovviamente la mia domanda inziale e i due esempi a seguire si riferivavano ad un caso ideale, cioè liquido incomprimibile, non viscoso, senza attriti con le pareti del condotto/piscina e in moto stazionario. Le domande hanno scopo puramente didattico.
La spiegazione del caso reale di Shackle è la più chiara e convincente. Se ho capito correttamente il testo, la pressione è quella atmosferica per la sezione contratta, posta sotto la luce d'uscita (circa mezzo diametro sotto al piano della luce se questa è circolare). Alla base della deduzione il ragionamento secondo cui sul contorno della sezione contratta la pressione deve essere per forza in equilibrio con quella atmosferica.
Viceversa, la pressione non è quella atmosferica nella sezione d'uscita:
(...) Lo stesso non può certo affermarsi per la sezione in corrispondenza della luce (...)
che risulta più complessa e difficilmente deducibile in via teorica. Ho capito correttamente il ragionamento?
In caso affermativo, ancora un paio di domande/considerazioni...
1) per scopi didattici, spiegare Bernoulli e poi lo svuotamento di una piscina con Torricelli alla wikipedia maniera, vi sembra corretto? Secondo me, trae solo in inganno...
2) caso ideale di un tubo orizzontale a sezione circolare costante in cui viene pompata in ingresso acqua a pressione superiore a quella atmosferica. L'applicazione del teorema di Bernoulli sulle sezioni di ingresso ed di uscita da che il termine mgh è nullo, il termine cinetico si semplifica perché le due velocità sono uguali (equazione di continuità), e il risultato è che la pressione d'uscita è uguale a quella di ingresso e quindi superiore a quella atmosferica. Giusto?
In questo caso come devo immaginare il flusso d'uscita? Non credo a sezione circolare come il condotto, perché la pressione d'uscita, maggiore di quella atmosferica, fa inizialmente allargare la sezione del getto prima di raggiungere un equilibrio con la pressione atmosferica. Ipotizzo che tanto maggiore è la pressione, tanto più il getto in uscita si allarga. E' corretto a vostra avviso?
Grazie di nuovo a tutti del supporto!
"ceccus":
Viceversa, la pressione non è quella atmosferica nella sezione d'uscita:
Dipende cosa si intende per sezione di uscita. La sezione di uscita ovviamente devi immaginarla come la sezione liberamente a contatto con l'esterno per cui la pressione deve per forza di cose essere uguale a quella esterna, a meno di non avere discontinuità nella pressione, possibili solo in presenza di fenomeni di urto (che possono verificarsi solo in regime supersonico).
In quel link che ha messo Shackle si dà una descrizione molto approfondita e indubbiamente corretta di quello che accade, ma per come la vedo io rischia ad un neofita di far perdere di vista alcuni concetti base.
"ceccus":
(...) Lo stesso non può certo affermarsi per la sezione in corrispondenza della luce (...)
Quella sezione in questo caso, in cui si scende molto in dettaglio nella descrizione e proprio per quello spiegato in quella descrizione, non può essere assunta tutta liberamente a contatto con l'atmosfera esterna.
"ceccus":
1) per scopi didattici, spiegare Bernoulli e poi lo svuotamento di una piscina con Torricelli alla wikipedia maniera, vi sembra corretto? Secondo me, trae solo in inganno...
Nelle ipotesi di poter trascurare le perdite e considerare il flusso stazionario, ipotesi abbastanza realistiche se la velocità è bassa per la maggior parte del fluido (non lo è necessariamente vicino al foro), sì è corretto.
"ceccus":
2) caso ideale di un tubo orizzontale a sezione circolare costante in cui viene pompata in ingresso acqua a pressione superiore a quella atmosferica. L'applicazione del teorema di Bernoulli sulle sezioni di ingresso ed di uscita da che il termine mgh è nullo, il termine cinetico si semplifica perché le due velocità sono uguali (equazione di continuità), e il risultato è che la pressione d'uscita è uguale a quella di ingresso e quindi superiore a quella atmosferica. Giusto?
In un caso del genere le velocità in ingresso e uscita non possono essere uguali e le perdite non si possono trascurare o è impossibile mantenere una differenza di pressione tra ingresso e uscita in condizione stazionarie, e ovviamente se la sezione di uscita è in atmosfera la pressione deve essere sempre quella dell'ambiente.
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