Barra incenierata e proiettile

[bartofra]

Ciao a tutti sto svolgendo il seguente esercizio tratto da un tema d' esame:

Un’asta omogenea di massa M e lunghezza L è ferma su un piano orizzontale liscio ed è
vincolata nell’estremo A. Nell’altro estremo B viene sparato perpendicolarmente all’asta un
proiettile di massa m con velocità v; sapendo che il proiettile si conficca nell’asta e che il momento
delle forze d’attrito in A è Ma.

Calcolare quale massa debba avere il proiettile per far compiere all’asta 10 giri completi, prima di arrestarsi completamente, al compimento del decimo giro.
[M = 1 kg; v = 30 m/s; Ma = 5 Nm]

SVOLGIMENTO

Applico il teorema dell' energia cinetica: $ΔK = L ext$ K = energia cinetica e L ext = lavoro svolto dall' attrito.
chiamo $ α$ l' angolo compiuto dall' asta a seguito dell'urto.

$1$) $ ΔK = 1/2*I *ω $, $ L ext =Ma*α $ Quindi $ - 1/2*I *ω = -Ma*α$

A sequito dell' urto anelastico Il momento di inerzia totale è pari alla somma tra il momento di inerzia del proiettile rispetto al punto A e il momento di inerzia dell' asta. A me viene $I= (M+3*m)/3 *L^2$

Applico il teorema della conservazione del momento angolare
$bi=m*v*L$ = momento angolare iniziale rispetto ad A dovuto solamente al proiettile
$bf=I*ω = (M+3*m)/3 *L^2* $ = momento angolare dopo l' urto. Al primo istante successivo all'urto avremo $bi=bf$ quindi $m*v*L=(M+3*m)/3 *L^2* $
Ottengo la velocità periferica iniziale dell' asta a seguito dell'urto $2$) $V1= 3*m*v/(M+3*m)$

Ci viene richiesto che l' asta ruoti ancora per dieci giro dopo l'urto. Dovrà quindi essere $α=10*2*pi = 20*pi$

Dalla $1$) ottengo $ V1= sqrt((2*Ma*α)/I)*L$ e quindi $ V1= sqrt((120*pi*Ma)/(M+3*m))$

Eguaglio quest' ultima alla $2$)

$ 3*m*v/(M+3*m) = sqrt((120*pi*Ma)/(M+3*m))$
Mi viene un equazione di secondo grado dalla quale ottengo $m = 0,95 Kg$

Non ho il risultato dell' esercizio e vorrei che qualcuno mi dicesse se ho sbagliato qualcosa .
Mi semgbrano tra l'altro un po pochini 0,95 Kg ......


Grazie!

[Sk_Anonymous]

"raimond":.......

SVOLGIMENTO

Applico il teorema dell' energia cinetica: $ΔK = L ext$ K = energia cinetica e L ext = lavoro svolto dall' attrito.
chiamo $ α$ l' angolo compiuto dall' asta a seguito dell'urto.

$1$) $ ΔK = 1/2*I *ω $, $ L ext =Ma*α $ Quindi $ - 1/2*I *ω = -Ma*α$

A sequito dell' urto anelastico Il momento di inerzia totale è pari alla somma tra il momento di inerzia del proiettile rispetto al punto A e il momento di inerzia dell' asta. A me viene $I= (M+3*m)/3 *L^2$

Applico il teorema della conservazione del momento angolare
$bi=m*v*L$ = momento angolare iniziale rispetto ad A dovuto solamente al proiettile
$bf=I*ω = (M+3*m)/3 *L^2* $ = momento angolare dopo l' urto. Al primo istante successivo all'urto avremo $bi=bf$ quindi $m*v*L=(M+3*m)/3 *L^2* $
Ottengo la velocità periferica iniziale dell' asta a seguito dell'urto $2$) $V1= 3*m*v/(M+3*m)$

Ci viene richiesto che l' asta ruoti ancora per dieci giro dopo l'urto. Dovrà quindi essere $α=10*2*pi = 20*pi$

Nella 1) la variazione di en cinetica deve essere: $ ΔK = 1/2*I *\omega^2$ , insomma hai mancato l'esponente $2$ alla velocità angolare.

Anche qui :

$m*v*L=(M+3*m)/3 *L^2* $

ci manca $\omega= V_1/L$ al secondo membro, ma penso sia un errore di scrittura. Infatti mi sembra che l'espressione di $V_1$ che hai scritto nella 2) sia giusta.

Dalla $1$) ottengo $ V1= sqrt((2*Ma*α)/I)*L$ e quindi $ V1= sqrt((120*pi*Ma)/(M+3*m))$

Eguaglio quest' ultima alla $2$)

$ 3*m*v/(M+3*m) = sqrt((120*pi*Ma)/(M+3*m))$
Mi viene un equazione di secondo grado dalla quale ottengo $m = 0,95 Kg$

Non ho il risultato dell' esercizio e vorrei che qualcuno mi dicesse se ho sbagliato qualcosa .
Mi semgbrano tra l'altro un po pochini 0,95 Kg ......
Grazie!

Non va bene! Se ricavi dalla 1) la vel iniziale $V_1$ , e poi la uguagli alla 2) , stai assumendo che la vel iniziale sia costante nei 10 giri, cioè la vel angolare sia costante. Invece il moto è uniformemente ritardato, perchè c'è un momento resistente di attrito $M_a$ , no ?
Anzichè applicare il teorema dell'energia cinetica, io farei così : direi che l'eq del moto è : $M_m - M_a = I * (d\omega)/(dt)$ , dove il momento motore è uguale a zero, per cui c'è solo momento resistente : $- M_a = I * (d\omega)/(dt)$ , il che consente di ricavare la decelerazione angolare $(d\omega)/(dt)$. Dopo di che, si tratta di moto circolare uniformemente decelerato, dove conosci l'angolo totale ( i 10 giri).
Ti puoi ricavare quindi la velocità periferica iniziale dalle leggi del moto ( basta porre che la vel angolare finale sia nulla, insomma sai certamente come fare, non hai bisogno che te lo dica io) .
Ricavata $V_1$ per questa via, la uguagli alla 2), e ti puoi ricavare la massa $m$ incognita.

[bartofra]

Grazie tante per la risposta e scusami per gli errori di scrittura...mi sfugge sempre qualcosa.

Siccome il moto è uniformemente decelerato a causa dell' attrito, la velocità iniziale dovrà essere sufficiente da permettere alla sbarra di compiere 10 giri.
A fine corsa, il lavoro totale svolto dall'attrito dovrà eguagliare l'energia cinetica iniziale (poichè nel frattempo essa si è ridotta a zero).
Cosa c'è di sbagliato in questo?

Con la formula del momento angolare trovo l' espressione della volocità dopo l'impatto in funzione delle masse in gioco e della velocità iniziale (fissa) del proiettile.

Equagliando le due formule trovo l'unica incognita rimasta: la massa del proiettile.

Continuo a non capire perchè è sbagliato.

[Sk_Anonymous]

Hai ragione, non c'è nulla di sbagliato in ciò che dici, è vero che la variazione di energia cinetica deve uguagliare il lavoro del momento di attrito. Ma io farei in entrambi i modi, così avrei anche modo di confrontare i due risultati tra loro e col risultato del libro. Prova, poi se vuoi mi fai sapere. Ciao.