Barra conduttrice in campo magnetico
Ciao a tutti, vorrei una conferma sul procedimento per risolvere il seguente problema d'esame, di cui riporto il testo.
1. Ho che $\xi_i=-B*a*v_0$, perciò $i=\xi / R = (-Bav_0)/R$. Questa corrente, per la legge di Lenz, è tale da opporsi alla causa che l'ha generata, e perciò genererà un campo magnetico indotto $B_i$ in direzione contraria al campo $B$.
2.La forza agente sulla barretta è data da $vecF=i vec{ds} \xx vecB=-(B^2 a^2 v_0)/R$, quindi in direzione opposta a quella del moto. E' un attrito elettromagnetico che si oppone al movimento della barretta. Quest'ultima, per essere mantenuta in movimento, deve ricevere una forza esterna $vecF_{ext}=-vecF$.
3.Per mantenere la barretta in moto $P_{ m e c c}=F_{ext} * v_0=(Ba v_0)^2/R$.
Sulla resistenza interna del circuito invece viene spesa una potenza $P=R*i^2=(Ba v_0)^2/R$.
Mi viene chiesto di discutere il bilancio energetico: la potenza spesa per far avvenire il movimento è uguale a quella spesa sulle resistenze del circuito.
B)
4. Scrivo la legge di Ohm per il circuito RL.
$xi=R_i + L di/dt$, dove il secondo termine del membro di sinistra è la forza elettromotrice di autoinduzione.
Separando le varaibili ottengo l'equazione differenziale
Ora, ho un dubbio sulle condizioni iniziali: per il tempo $t_0=0$, devo supporre che la carica sia $i(0)=0$, giusto?
Imponendo queste condizioni iniziale e integrando fra $0$ e $t$ e fra $0$ e $i(t)$ trovo che
La potenza erogata è $\xi * i = R i^2(t) + Li(t) (di(t))/dt$.
$P_J=R i^2(t)=\xi^2/R(1-e^{-(Rt)/L})$ è la potenza dissipata per effetto Joule, mentre $P= Li(t) (di(t))/dt=\xi^2/R(1-e^{-(Rt)/L})*e^{-(Rt)/L}$ è la potenza spesa contro l'autoinduzione del sistema per portare la corrente da $i$ a $i+di$.
Che dite, va bene?
Un circuito a U posizionato nel piano $XY$ e formato da due binari paralleli ad $X$ distanti $a=5 cm$ ha una parte mobile libera di scorrere senza attrito. Nello spazio è presente un campo magnetico uniforme e stazionario di intensità $B=0.1 T$ ortogonale al circuito in direzione $z$. Il tratto mobile viene tenuto in moto con velocità $v_0=5 m/s$ lungo $x$. La resistenza della barretta conduttrice è $R= 2$ Ohm.
(A) Si trascuri l'autoinduzione.
1. Calcolare la corrente indotta nel circuito.
2. Calcolare la forza agente sulla barretta in moto.
(B)
Si consideri l'autoinduzione del circuito $L=10^{-2} H$
4. Scrivere la legge di Ohm del circuito e ricavare la variazione temporale della corrente indotta $i(t)$.
5. Discutere il bilancio energetico: potenza erogata, potenza immagazzinata, potenza dissipata negli elementi del circuito.
1. Ho che $\xi_i=-B*a*v_0$, perciò $i=\xi / R = (-Bav_0)/R$. Questa corrente, per la legge di Lenz, è tale da opporsi alla causa che l'ha generata, e perciò genererà un campo magnetico indotto $B_i$ in direzione contraria al campo $B$.
2.La forza agente sulla barretta è data da $vecF=i vec{ds} \xx vecB=-(B^2 a^2 v_0)/R$, quindi in direzione opposta a quella del moto. E' un attrito elettromagnetico che si oppone al movimento della barretta. Quest'ultima, per essere mantenuta in movimento, deve ricevere una forza esterna $vecF_{ext}=-vecF$.
3.Per mantenere la barretta in moto $P_{ m e c c}=F_{ext} * v_0=(Ba v_0)^2/R$.
Sulla resistenza interna del circuito invece viene spesa una potenza $P=R*i^2=(Ba v_0)^2/R$.
Mi viene chiesto di discutere il bilancio energetico: la potenza spesa per far avvenire il movimento è uguale a quella spesa sulle resistenze del circuito.
B)
4. Scrivo la legge di Ohm per il circuito RL.
$xi=R_i + L di/dt$, dove il secondo termine del membro di sinistra è la forza elettromotrice di autoinduzione.
Separando le varaibili ottengo l'equazione differenziale
$(di)/(\xi - Ri) = dt/L$
Ora, ho un dubbio sulle condizioni iniziali: per il tempo $t_0=0$, devo supporre che la carica sia $i(0)=0$, giusto?
Imponendo queste condizioni iniziale e integrando fra $0$ e $t$ e fra $0$ e $i(t)$ trovo che
$i(t)=\xi/R(1-e^{-(Rt)/L})$
La potenza erogata è $\xi * i = R i^2(t) + Li(t) (di(t))/dt$.
$P_J=R i^2(t)=\xi^2/R(1-e^{-(Rt)/L})$ è la potenza dissipata per effetto Joule, mentre $P= Li(t) (di(t))/dt=\xi^2/R(1-e^{-(Rt)/L})*e^{-(Rt)/L}$ è la potenza spesa contro l'autoinduzione del sistema per portare la corrente da $i$ a $i+di$.
Che dite, va bene?
Risposte
Direi di no, la velocità $v_0$, è solo la velocità iniziale conseguente all'impulso ricevuto.
Scusa ho sbagliato a riportare il testo, ho corretto subito. 
ora spero sia corretto
ora spero sia corretto
Vuoi dirmi che per miracolo è sparito " l'impulso" 
Mi viene solo detto che la barretta viene tenuta in moto con velocità costante. Ho riportato integralmente il testo dell'esame.
Per mantenerlo in movimento deve agire, come ho notato nel punto 2, una forza esterna che si opponga all'attrito elettromagnetico.
Per mantenerlo in movimento deve agire, come ho notato nel punto 2, una forza esterna che si opponga all'attrito elettromagnetico.
Senza l'impulso non lo trovo interessante.
Ahahah ok Prima però di aggiungerci l'impulso, forse è meglio che abbia una conferma su questo, perché è un esercizio che mi rendo conto essere "base", però devo essere sicuro del mio procedimento prima di complicarlo 
Per l'impulso farei così: scrivo l'espressione della forza agente sulla barretta $vecF=i vec{ds} \xx vecB$, da cui $vecF=m (dv)/dt$ e per separazione delle variabili (condizione iniziale per $t=0, v(0)=v_0$) mi ricavo $v(t)$. Un volta trovato $v(t)$, ricavo $i(t)$ e dovrei essere apposto
Se mi dici che fin qua va tutto bene, riporto i passaggi
Grazie
Prima però di aggiungerci l'impulso, forse è meglio che abbia una conferma su questo, perché è un esercizio che mi rendo conto essere "base", però devo essere sicuro del mio procedimento prima di complicarlo Per l'impulso farei così: scrivo l'espressione della forza agente sulla barretta $vecF=i vec{ds} \xx vecB$, da cui $vecF=m (dv)/dt$ e per separazione delle variabili (condizione iniziale per $t=0, v(0)=v_0$) mi ricavo $v(t)$. Un volta trovato $v(t)$, ricavo $i(t)$ e dovrei essere apposto
Se mi dici che fin qua va tutto bene, riporto i passaggi
Grazie
E quindi v(t) che andamento avrà
... occhio a quel $ds$ ... non possiamo uguagliare un valore finito ad un infinitesimo.
... occhio a quel $ds$
... non possiamo uguagliare un valore finito ad un infinitesimo.
Non ho risolto l'equazione differenziale, ma dovrebbe andar giù come $e^{-t}$ , ovviamente in modo asintotico...
Si, la discesa sarà esponenziale, ma con una particolare costante di tempo ed un particolare costante moltiplicativa, che puoi anche calcolare, no?
Chiaramente, se ti va di farlo, ... e quando avrai tempo per farlo.
Chiaramente, se ti va di farlo, ... e quando avrai tempo per farlo.
[youtube][/youtube]Ah già, avrei dovuto scrivere $d\vecF$.
Sì sì infatti avevo scritto asintoticamente perché non avendo fatto tutti i conti non so la costante che moltiplica l'esponenziale e la costante di decadimento $\tau$. Sinceramente, vorrei farlo solo dopo essere certo che l'esercizio "senza impulso" è corretto. Non avendo soluzioni, è una cosa che mi preme parecchio, perché ho il terrore di aver commesso errori grossolani
"RenzoDF":
Si, la discesa sarà esponenziale, ma con una particolare costante di tempo ed un particolare costante moltiplicativa, che puoi anche calcolare, no?
Sì sì infatti avevo scritto asintoticamente perché non avendo fatto tutti i conti non so la costante che moltiplica l'esponenziale e la costante di decadimento $\tau$. Sinceramente, vorrei farlo solo dopo essere certo che l'esercizio "senza impulso" è corretto. Non avendo soluzioni, è una cosa che mi preme parecchio, perché ho il terrore di aver commesso errori grossolani
Ok, mi son trovato un PC e ora posso commentare la tua soluzione.
Diciamo che sostanzialmente hai risolto correttamente, anche se bisognerebbe aver specificato quali siano le convenzioni assunte per le varie grandezze [nota]Magari con un bel disegno in FidoCadJ-[/nota], per esempio per la corrente e per la velocità.
Per il punto 4, riguardo alla potenza assorbita dall'induttore, quella $P$ è semplicemente quella assorbita dall'induttore al tempo $t$, non "per portare la corrente" da $i$ a $i+di$, in quanto questa variazione di corrente corrisponde all'energia infinitesima $dW=P(t)dt=Li(t)di$; energia elementare che, integrata nel tempo da $0$ a $t$ porta alla classica relazione notevole per l'energia immagazzinata nel campo magnetico dell'induttore, \(W= Li^2 /2\).
Diciamo che sostanzialmente hai risolto correttamente, anche se bisognerebbe aver specificato quali siano le convenzioni assunte per le varie grandezze [nota]Magari con un bel disegno in FidoCadJ-
[/nota], per esempio per la corrente e per la velocità.Per il punto 4, riguardo alla potenza assorbita dall'induttore, quella $P$ è semplicemente quella assorbita dall'induttore al tempo $t$, non "per portare la corrente" da $i$ a $i+di$, in quanto questa variazione di corrente corrisponde all'energia infinitesima $dW=P(t)dt=Li(t)di$; energia elementare che, integrata nel tempo da $0$ a $t$ porta alla classica relazione notevole per l'energia immagazzinata nel campo magnetico dell'induttore, \(W= Li^2 /2\).
Grazie mille per la pazienza !
Tutto chiaro, perfetto.
Ecco la mia risoluzione al problema precedente, considerando la presenza di un impulso iniziale che imprime alla sbarra la velocità $v_0$.
La forza elettromotrice indotta sarà una $\xi=\xi(t)=(-Bav(t))$. Tramite la relazione $i(t)=(\xi(t)) / R$ ricavo che la forza agente sulla barretta conduttrice è data da $vecF=-(B^2a^2v(t))/R$.
L'origine fisica di questa f.e.m è la forza di Lorentz che agisce sui portatori di carica in moto.
A questo punto, dato che $vecF= m (dv)/dt$, si ha
Condizioni iniziali: per $t=0$, ho $v(0)=v_0$. Integrando trovo:
Perciò $i(t)=(Bav_0)/(R) e^{-(B^2 a^2 t)/(Rm)}$. Pertanto la costante di decadimento $\tau=(Rm)/(B^2 a^2 )$.
Inoltre, noto che $i(0)=(Bav_0)$, intensità di corrente appena chiudo il circuito.
In presenza di induzione, scrivo la legge di Ohm per tale circuito: $\xi = Ri + L (di)/dt$, con il secondo termine che rappresenta la fem di autoinduzione.
A questo punto, mi sorge un dubbio: il termine $\xi$ è lo stesso che ho ricavato prima? Perché la $\xi$ era in realtà $\xi(t)=-(Bav(t))/R$ e si vede che dipende dalla velocità che avevo ricavato prima imponendo $vecF=mveca$. Non so come procedere per risolverlo perché se la $\xi$ fosse costante sarebbe perfetto e l'equazione si riesce a integrare per separazione delle variabili, ma in questo caso non mi sembra la strada corretta.
(in realtà non abbiamo mai trattato questo caso...ma ora sono curioso
)
"RenzoDF":
Per il punto 4, riguardo alla potenza assorbita dall'induttore, quella P è semplicemente quella assorbita dall'induttore al tempo t, non "per portare la corrente" da i a i+di, in quanto questa variazione di corrente corrisponde all'energia infinitesima dW=P(t)dt=Li(t)di; energia elementare che, integrata nel tempo da 0 a t porta alla classica relazione notevole per l'energia immagazzinata nel campo magnetico dell'induttore, W=Li2/2.
Tutto chiaro, perfetto.
Ecco la mia risoluzione al problema precedente, considerando la presenza di un impulso iniziale che imprime alla sbarra la velocità $v_0$.
La forza elettromotrice indotta sarà una $\xi=\xi(t)=(-Bav(t))$. Tramite la relazione $i(t)=(\xi(t)) / R$ ricavo che la forza agente sulla barretta conduttrice è data da $vecF=-(B^2a^2v(t))/R$.
L'origine fisica di questa f.e.m è la forza di Lorentz che agisce sui portatori di carica in moto.
A questo punto, dato che $vecF= m (dv)/dt$, si ha
$(dv)/(v(t)) = -(B^2 a^2 dt )/(Rm)$
Condizioni iniziali: per $t=0$, ho $v(0)=v_0$. Integrando trovo:
$v(t)=v_0 e^{-(B^2 a^2 t)/(Rm)}$
Perciò $i(t)=(Bav_0)/(R) e^{-(B^2 a^2 t)/(Rm)}$. Pertanto la costante di decadimento $\tau=(Rm)/(B^2 a^2 )$.
Inoltre, noto che $i(0)=(Bav_0)$, intensità di corrente appena chiudo il circuito.
In presenza di induzione, scrivo la legge di Ohm per tale circuito: $\xi = Ri + L (di)/dt$, con il secondo termine che rappresenta la fem di autoinduzione.
A questo punto, mi sorge un dubbio: il termine $\xi$ è lo stesso che ho ricavato prima? Perché la $\xi$ era in realtà $\xi(t)=-(Bav(t))/R$ e si vede che dipende dalla velocità che avevo ricavato prima imponendo $vecF=mveca$. Non so come procedere per risolverlo perché se la $\xi$ fosse costante sarebbe perfetto e l'equazione si riesce a integrare per separazione delle variabili, ma in questo caso non mi sembra la strada corretta.
(in realtà non abbiamo mai trattato questo caso...ma ora sono curioso
)
... occhio a quel diviso R per la fem ...
Beh, la forza è funzione di i(t) e di conseguenza lo è l'accelerazione a(t), se ti serve la velocità per la fem non dovrai far alto che usare la classica relazione
$v(t)=v_0+\int_{0}^{t}a(t)\text{d}t$
per scrivere il primo membro, ottenendo un'equazione integro-differenziale in i(t), facilmente risolubile.
"feddy":
... In presenza di induzione, scrivo la legge di Ohm per tale circuito: $\xi = Ri + L (di)/dt$, con il secondo termine che rappresenta la fem di autoinduzione.
A questo punto, mi sorge un dubbio: il termine $\xi$ è lo stesso che ho ricavato prima? Perché la $\xi$ era in realtà $\xi(t)=-(Bav(t))/R$ e si vede che dipende dalla velocità che avevo ricavato prima
Beh, la forza è funzione di i(t) e di conseguenza lo è l'accelerazione a(t), se ti serve la velocità per la fem non dovrai far alto che usare la classica relazione
$v(t)=v_0+\int_{0}^{t}a(t)\text{d}t$
per scrivere il primo membro, ottenendo un'equazione integro-differenziale in i(t), facilmente risolubile.
Ops errore di battitura In realtà i conti li ho fatti col valore corretto.
E che mi dici per l'ultima parte, quella con l'induttanza?
In realtà i conti li ho fatti col valore corretto.E che mi dici per l'ultima parte, quella con l'induttanza?
Grazie mille ! Un'ultima cosa: ho capito la relazione che usi, ma non riesco a vedere come scrivere il primo membro di $\xi=Ri(t)+L (di)/dt$.
Quell'equazione puoi scriverla come
$Ba(v_0- \int_{0}^{t}\frac{Bai(t)}{m}\text{d}t)=Ri(t)+L\frac{\text{d} i(t)}{\text{d} t} $
e da questa derivando a primo e secondo membro avrai un'equazione differenziale del secondo ordine in i(t), facilmente risolubile.
$Ba(v_0- \int_{0}^{t}\frac{Bai(t)}{m}\text{d}t)=Ri(t)+L\frac{\text{d} i(t)}{\text{d} t} $
e da questa derivando a primo e secondo membro avrai un'equazione differenziale del secondo ordine in i(t), facilmente risolubile.
Azz, ero proprio fuso! Tutto il resto dovrebbe essere corretto a mio parere, confermi? 
Ok quindi derivando ottengo $(- B^2 a^2 i (t)) / m = R i'(t) + L i''(t)$. Ti sono infinitamente grato
Tutto il resto dovrebbe essere corretto a mio parere, confermi? Ok quindi derivando ottengo $(- B^2 a^2 i (t)) / m = R i'(t) + L i''(t)$. Ti sono infinitamente grato
Troppo gentile 
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