Baricentro mezza corona circolare

[gokutecno]

Volevo calcolare il baricentro di mezza corona circolare: è evidente che una coordinata è esattamente a metà del diametro. Ho bisogno di calcolare l'altra coordinata. Bisogna usare gli integrali vero? Se non è troppo gravoso potete scrivermi tutti i passaggi? Grazie.

[alle.fabbri]

Ciao!
Centrando il tutto nell'origine hai che $x_B = 0$ per le ragioni di simmetria di cui parlavi. L'altra si calcola con la definizione, chiamo $\Sigma$ la mezza corona di raggi $R_1$ e $R_2$ con $R_1 < R_2$, cioè
$y_B = 1/M \int_(\Sigma) \sigma * y dS$
passando alle coordinate polari ${\rho, \theta}$ definite da
$x = \rho cos \theta$
$y = \rho sin \theta€$
la mezza corona è descritta da $(\rho,\theta) \in [R_1,R_2]x[0,\pi]$. Ricordando che l'elemento di superficie in coordinate polari vale $dS = \rho d\rho d \theta $ abbiamo
$y_B = 1/M \int_(0)^(\pi) \int_(R_1)^(R_2) M/(\pi/2 (R_2^2 - R_1^2)) * \rho sin \theta * \rho d\rho d \theta $
$y_B = 2/(\pi (R_2^2 - R_1^2)) * \int_(0)^(\pi) sin \theta d \theta * \int_(R_1)^(R_2) \rho^2 d \rho$
$y_B = 2/(\pi (R_2^2 - R_1^2)) * 2 * 1/3 [R_2^3 - R_1^3] = 4/(3 \pi) (R_2^3 - R_1^3)/(R_2^2 - R_1^2) $

Ti linko una dispensa con esercizi svolti su questo tipo di problemi...tra l'altro c'è anche quello che hai postato...