Azione dell'operatore rotazione su funzioni d'onda

[JimmyBrighy]

Buongiorno

Non mi è molto chiaro un passaggio di calcolo che ho trovato nelle soluzioni di un esercizio:
In sostanza ho, in coordinate polari:
\[ L_z \longrightarrow -i\hbar\frac{\partial}{\partial \phi} \]
e
\[ U(\alpha)= e^{\frac{-i \alpha L_z}{\hbar}}=e^{-\alpha \frac{ \partial}{\partial \phi}} \]

L'esercizio chiede di calcorare l'azione dell'operatorie $U(\alpha)$ sulle funzioni d'onda in coordinate cartesiane.
Ora, in coordinate cartesiane:
\[ \begin{cases}
x=\rho sin \theta cos \phi \\
y=\rho sin \theta sin \phi \\
z=\rho cos \theta
\end{cases}
\]
Quindi ad esempio per la coordinata x:
\[ U(\alpha)x \longrightarrow e^{-\alpha \frac{ \partial}{\partial \phi}}(\rho sin \theta cos \phi)=\sum \frac{(-\alpha)^n}{n!}(\frac{\partial}{\partial \phi})^n (\rho sin \theta cos \phi) = \rho sin \theta cos (\phi - \alpha) \]

L'ultima uguaglianza è proprio quella che mi è poco chiara, cosa mi sto perdendo?

Grazie mille in anticipo e scusate se è una domanda stupida

[LoreT314]

E' la serie di taylor
$f(x+a)=sum_n a^n/(n!) (d^nf(x))/(dx^n)$

[JimmyBrighy]

Grazie mille!!