A=v^2/r
Se l'accelerazione è [tex]v/t[/tex] allora perchè l'accelerazione centripeta è [tex]v^2/R[/tex] ? c'è una dimostrazione non geometrica?
grazie!
grazie!
Risposte
Considera un punto geometrico in moto lungo una generica orbita nello spazio; è possibile fissare un riferimento solidale al punto (quindi non inerziale) chiamato "terna intrinseca".
Tale riferimento è costituito da un versore $hat(t)$ tangente alla curva, un versore $hat(n)$ ortogonale alla curva e un versore binormale $hat(b)$ ortogonale ai primi due.
La velocità, sempre tangente alla curva, si può esprimere come $vec(v)=dot(s) hat(t)$ ($s$, chiamato "parametro arco", è un'ascissa curvilinea, ovvero quantifica lo spazio percorso sull'orbita; $dot(s)$ è la sua derivata prima fatta rispetto al tempo).
Si può dimostrare (formule di Serret-Frenet) che vale la relazione $(dhat(t))/(ds)=(hat(n))/R$ ($R$ è il raggio della "circonferenza osculatrice" che localmente meglio approssima la curva).
Calcolando l'accelerazione totale come derivata prima della velocità, bisogna applicare la regola della derivata di un prodotto: i versori, infatti, sono costanti in modulo ma cambiano direzione nel tempo.
Si ha quindi $vec(a) = dot(vec(v)) = ddot(s) hat(t) + dot(s) (dhat(t))/(dt)$
$hat(t)$ si può sempre pensare come funzione di $s$: ciò vuol dire che la sua derivata rispetto al tempo va calcolata utilizzando la regola per le funzioni composte:
$(dhat(t))/(dt)=(dhat(t))/(ds) (ds)/(dt) = (hat(n))/R dot(s)$
Sostituendo si ottiene infine:
$vec(a) = ddot(s) hat(t) + ((dot(s))^2)/R hat(n)$
Il secondo termine è proprio l'accelerazione centripeta.
Tale riferimento è costituito da un versore $hat(t)$ tangente alla curva, un versore $hat(n)$ ortogonale alla curva e un versore binormale $hat(b)$ ortogonale ai primi due.
La velocità, sempre tangente alla curva, si può esprimere come $vec(v)=dot(s) hat(t)$ ($s$, chiamato "parametro arco", è un'ascissa curvilinea, ovvero quantifica lo spazio percorso sull'orbita; $dot(s)$ è la sua derivata prima fatta rispetto al tempo).
Si può dimostrare (formule di Serret-Frenet) che vale la relazione $(dhat(t))/(ds)=(hat(n))/R$ ($R$ è il raggio della "circonferenza osculatrice" che localmente meglio approssima la curva).
Calcolando l'accelerazione totale come derivata prima della velocità, bisogna applicare la regola della derivata di un prodotto: i versori, infatti, sono costanti in modulo ma cambiano direzione nel tempo.
Si ha quindi $vec(a) = dot(vec(v)) = ddot(s) hat(t) + dot(s) (dhat(t))/(dt)$
$hat(t)$ si può sempre pensare come funzione di $s$: ciò vuol dire che la sua derivata rispetto al tempo va calcolata utilizzando la regola per le funzioni composte:
$(dhat(t))/(dt)=(dhat(t))/(ds) (ds)/(dt) = (hat(n))/R dot(s)$
Sostituendo si ottiene infine:
$vec(a) = ddot(s) hat(t) + ((dot(s))^2)/R hat(n)$
Il secondo termine è proprio l'accelerazione centripeta.
dimenticavo di dirvi che devo fare la seconda classe del liceo scientifico e non ho capito molto cosa hai scritto in particolare:
$vec(v)=s*t$
ascissa curvilinea
come si dimostra
$(dhat(t))/(ds)=(hat(n))/R$ ($R$
e queste formule :
$(dhat(t))/(dt)=(dhat(t))/(ds) (ds)/(dt) = (hat(n))/R dot(s)$
$vec(a) = dot(vec(v)) = ddot(s) hat(t) + dot(s) (dhat(t))/(dt)$
$vec(v)=s*t$
ascissa curvilinea
come si dimostra
$(dhat(t))/(ds)=(hat(n))/R$ ($R$
e queste formule :
$(dhat(t))/(dt)=(dhat(t))/(ds) (ds)/(dt) = (hat(n))/R dot(s)$
$vec(a) = dot(vec(v)) = ddot(s) hat(t) + dot(s) (dhat(t))/(dt)$
non mi è molto chiaro cosa intendi con dimostrazione non giometrica. Ho, tuttavia, l'impressione che il tuo problema stia nelle dimensioni fisiche dell'accelerazione centripeta. Dimensionalmente il termine $v^2/R$ è proprio un'accelerazione. Infatti, se sviluppi dimensionalmente $v^2$ ottieni una lunghezza al quadrato diviso un tempo al quadrato. Poichè nella formula dell'acc. centrip. al denominatore hai una lunghezza, facendo una semplice semplificazione in definitiva ottieni una lunghezza diviso un tempo al quadrato che sono prorpio le dimensioni di un'accelerazione. E' questo che non ti torna?
ciao per dimostrazione geometrica intendo quella in questo link:
http://www.openfisica.com/fisica_iperte ... azione.php
quello che non mi torna per esempio è perchè mettono in relazione 2 raggi del primo cerchio con il v1 e il v2 del secondo cerchio?
chi lo dice che per arrivare alla formula finale bisogna mettere in relazione quelli?
per questo chiedevo se c'è una dimostrazione più "matematica" o scientifica
grazie
http://www.openfisica.com/fisica_iperte ... azione.php
quello che non mi torna per esempio è perchè mettono in relazione 2 raggi del primo cerchio con il v1 e il v2 del secondo cerchio?
chi lo dice che per arrivare alla formula finale bisogna mettere in relazione quelli?
per questo chiedevo se c'è una dimostrazione più "matematica" o scientifica
grazie
Ciao , se sei alla seconda classe del liceo direi che la dimostrazione geometrica è quella migliore per te.
Esiste certo un modo più analitico di ricavare quell'accelerazione, ma hai bisogno di nozioni che non puoi avere adesso, ti consiglio quindi di riguardarti l'approccio geometrico che va benissimo.
Se hai dubbi ne possiamo parlare.
Non ho capito la tua domanda poi, il cerchio (o meglio la circonferenza) è uno solo! E' la traiettoria percorsa dal punto in moto circolare uniforme.
Quindi il vettore velocità è in ogni momento tangente a quella traiettoria circolare e sempre della medesima lunghezza. Quello che si fa è mettere in relazione la differenza di velocità tra due istanti successivi con il raggio del cerchio, considerando due istanti molto vicini. Tale differenza divisa per il tempo tra i due istanti, se il tempo tra i due istanti è molto vicino, è proprio l'accelerazione istantanea.
Esiste certo un modo più analitico di ricavare quell'accelerazione, ma hai bisogno di nozioni che non puoi avere adesso, ti consiglio quindi di riguardarti l'approccio geometrico che va benissimo.
Se hai dubbi ne possiamo parlare.
Non ho capito la tua domanda poi, il cerchio (o meglio la circonferenza) è uno solo! E' la traiettoria percorsa dal punto in moto circolare uniforme.
Quindi il vettore velocità è in ogni momento tangente a quella traiettoria circolare e sempre della medesima lunghezza. Quello che si fa è mettere in relazione la differenza di velocità tra due istanti successivi con il raggio del cerchio, considerando due istanti molto vicini. Tale differenza divisa per il tempo tra i due istanti, se il tempo tra i due istanti è molto vicino, è proprio l'accelerazione istantanea.
il vettore velocità in realtà sarebbe un versore? come si stabilisce il modulo di questo vettore?
precisamente quali nozioni mi servono per capire una dimostrazione analitica?
grazie
precisamente quali nozioni mi servono per capire una dimostrazione analitica?
grazie
Un versore è un vettore di lunghezza unitaria.
Il vettore velocità è appunto un vettore e la sua lunghezza è pari al modulo della velocità quindi è lungo $|v|$.
Per capire una dimostrazione più formale ti servirebbe padroneggiare il concetto di derivata e dovresti conoscere alcune operazioni che si fanno sulle derivate, inoltre occorrerebbe introdurre il concetto di vettore velocità angolare e spiegarne la sua utilità e le operazioni che si fanno attraverso di esso.
Non sono concetti difficilissimi, ma non è pensabile affrontarli nella matematica del secondo liceo. Comunque ti ripeto che per capire la fisica dietro a quella formula la dimostrazione geometrica va già bene, cerca di capire quella.
Il vettore velocità è appunto un vettore e la sua lunghezza è pari al modulo della velocità quindi è lungo $|v|$.
Per capire una dimostrazione più formale ti servirebbe padroneggiare il concetto di derivata e dovresti conoscere alcune operazioni che si fanno sulle derivate, inoltre occorrerebbe introdurre il concetto di vettore velocità angolare e spiegarne la sua utilità e le operazioni che si fanno attraverso di esso.
Non sono concetti difficilissimi, ma non è pensabile affrontarli nella matematica del secondo liceo. Comunque ti ripeto che per capire la fisica dietro a quella formula la dimostrazione geometrica va già bene, cerca di capire quella.
si di capirla l'ho capita però ora mi piacerebbe capire qualcosa di più avanzato, cercherò di studiare derivate e integrali.
nel mio libro per calcolare la velocità istantanea usava già il concetto di limite
nel mio libro per calcolare la velocità istantanea usava già il concetto di limite
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