Autostato operatore distruzione MQ
Siano \(\displaystyle a \) ed \(\displaystyle a^\dagger \) gli operatori di distruzione e creazione di un oscillatore armonico quantistico unidimensionale, e si indichi con \(\displaystyle |n> \) l'autostato associato all'energia \(\displaystyle E_n \).
Si consideri lo stato rappresentato, al tempo \(\displaystyle t=0 \) dal seguente ket:
\(\displaystyle |\lambda,t=0>=C(\lambda)\exp(\lambda a^\dagger)|0> \)
con \(\displaystyle \lambda \) un generico numero complesso e \(\displaystyle C(\lambda) \) una costante di normalizzazione.
Si dimostri che \(\displaystyle |\lambda,t=0> \) è autostato dell'operatore di distruzione e se ne calcoli l'autovalore.
Non ho idea da dove cominciare. E' un paio d'ore che ci penso, ho provato qualcosa ma niente... Qualcuno ha un idea?
Si consideri lo stato rappresentato, al tempo \(\displaystyle t=0 \) dal seguente ket:
\(\displaystyle |\lambda,t=0>=C(\lambda)\exp(\lambda a^\dagger)|0> \)
con \(\displaystyle \lambda \) un generico numero complesso e \(\displaystyle C(\lambda) \) una costante di normalizzazione.
Si dimostri che \(\displaystyle |\lambda,t=0> \) è autostato dell'operatore di distruzione e se ne calcoli l'autovalore.
Non ho idea da dove cominciare. E' un paio d'ore che ci penso, ho provato qualcosa ma niente... Qualcuno ha un idea?
Risposte
Sviluppando in serie l'esponenziale dell'operatore di creazione hai
\(\displaystyle |\alpha \rangle = C(\lambda) e^{\lambda a^{\dagger}} | 0 \rangle= C(\lambda) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^n}{n!} (a^{\dagger})^n |0\rangle = C(\lambda) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^n}{n!} \sqrt{n!} |n\rangle =C(\lambda) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^n}{\sqrt{n!} } |n\rangle \).
Ora non ti resta che applicare \(\displaystyle a \) per capire chi è l'autovalore:
\(\displaystyle a | \alpha \rangle =C(\lambda) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^n}{\sqrt{n!} } a |n\rangle =C(\lambda) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda^n}{\sqrt{n!} } \sqrt{n}|n-1\rangle = C(\lambda) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda^n}{\sqrt{(n-1)!} } |n-1\rangle = \lambda C(\lambda) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^n}{\sqrt{n!} } |n\rangle \)
dove dopo il secondo segno di uguale ho fatto partire la sommatoria da 1 poiché \(\displaystyle a |0\rangle =0 \).
Nota: uno stato siffatto si usa per far "oscillare veramente" l'oscillatore armonico, ed è detto stato coerente.
\(\displaystyle |\alpha \rangle = C(\lambda) e^{\lambda a^{\dagger}} | 0 \rangle= C(\lambda) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^n}{n!} (a^{\dagger})^n |0\rangle = C(\lambda) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^n}{n!} \sqrt{n!} |n\rangle =C(\lambda) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^n}{\sqrt{n!} } |n\rangle \).
Ora non ti resta che applicare \(\displaystyle a \) per capire chi è l'autovalore:
\(\displaystyle a | \alpha \rangle =C(\lambda) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^n}{\sqrt{n!} } a |n\rangle =C(\lambda) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda^n}{\sqrt{n!} } \sqrt{n}|n-1\rangle = C(\lambda) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda^n}{\sqrt{(n-1)!} } |n-1\rangle = \lambda C(\lambda) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^n}{\sqrt{n!} } |n\rangle \)
dove dopo il secondo segno di uguale ho fatto partire la sommatoria da 1 poiché \(\displaystyle a |0\rangle =0 \).
Nota: uno stato siffatto si usa per far "oscillare veramente" l'oscillatore armonico, ed è detto stato coerente.
Ho capito, grazie mille. Mi ha molto confuso il "suggerimento" al problema, che diceva:
può essere molto utile sapere che \(\displaystyle [a, f(a^\dagger)]=\dfrac{df(a^\dagger)}{da^\dagger} \) se \(\displaystyle f \) è analitica.
può essere molto utile sapere che \(\displaystyle [a, f(a^\dagger)]=\dfrac{df(a^\dagger)}{da^\dagger} \) se \(\displaystyle f \) è analitica.
"Fedecart":
Ho capito, grazie mille. Mi ha molto confuso il "suggerimento" al problema, che diceva:
può essere molto utile sapere che \(\displaystyle [a, f(a^\dagger)]=\dfrac{df(a^\dagger)}{da^\dagger} \) se \(\displaystyle f \) è analitica.
In effetti con quel suggerimento diventa facilissimo! Ti basta osservare che il commutatore \(\displaystyle [a,f(a^{\dagger})] \), quando è applicato a \(\displaystyle |0\rangle \), diventa semplicemente \(\displaystyle a f(a^{\dagger}) \), poiché \(\displaystyle f(a^{\dagger}) a|0\rangle = f(a^{\dagger}) (a|0\rangle ) = 0 \). Quindi banalmente \(\displaystyle a|\alpha\rangle=\lambda C(\lambda) a e^{\lambda a^{\dagger}} = \lambda |\alpha\rangle \)
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