Autostati
Per un sistema di due elettroni, si dimostri che gli stati definiti dai prodotti α(1)β(2) e β(1)α(2) non sono autostati dell’operatore di spin totale S^2
potreste darmi una mano?
a me viene che $ S^2α(1)β(2)= \ ћ^2α(1)β(2) + \ ћ^2β(1)α(2) $
è giusto?
potreste darmi una mano?
a me viene che $ S^2α(1)β(2)= \ ћ^2α(1)β(2) + \ ћ^2β(1)α(2) $
è giusto?
Risposte
Hai provato a scrivere gli stati come combinazione lineare degli autostati di spin totale (cioé del tripletto S=1 e singoletto S=0)?
Pubblico la risposta del quesito a beneficio del futuro lettore (o del OP qualora avesse ancora bisogno di un conferma).
Per chiarire la notazione, avendo definito gli stati del sistema di due spin nella base che diagonalizza gli operatori \(S_1^2,{S_1}_z,S_2^2,{S_2}_z\) gli stati dati nel testo corrispondono agli autostati \(|+, - \rangle,|-,+\rangle\) (dove, per brevità, ho omesso il numero quantico di spin, essendo 1/2 entrambi e avendo scritto + per indicare sz =1/2,e similmente - per sz=-1/2).il primo indice si riferisce a numero quantico di particella 1,il secondo è il numero quantico di particella 2.
Lo stesso sistema può essere descritto equivalentemente nella base che diagonalizza gli operatori spin totale J (e sua proiezione lungo un asse) e spin di particella 1 e 2, ossia \(J^2,J_z,S_1^2,S_2^2\) e, per evitare confusioni li indicherò con \(|j, j_z\rangle\), con spin delle due particelle omesso e numeri quantici sempre in termini numerici.
Nota la trasformazione unitaria che collega queste due basi, è facile mostrare che:
\[|+,-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1,0\rangle + |0,0\rangle)\]
\[|-,+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1,0\rangle - |0,0\rangle)\]
A questo punto, facendo agire l'operatore \(J^2\) si ottiene che (nota: hbar =1)
\[J^2|+,-\rangle = \sqrt{2} |1,0\rangle = |+,-\rangle + |-,+\rangle\]
che è quanto si voleva mostrare - cioé che non è autostato di \(J^2\) . Gli stessi passaggi (e lo stesso risultato finale) si applica per l'altro stato.
Per chiarire la notazione, avendo definito gli stati del sistema di due spin nella base che diagonalizza gli operatori \(S_1^2,{S_1}_z,S_2^2,{S_2}_z\) gli stati dati nel testo corrispondono agli autostati \(|+, - \rangle,|-,+\rangle\) (dove, per brevità, ho omesso il numero quantico di spin, essendo 1/2 entrambi e avendo scritto + per indicare sz =1/2,e similmente - per sz=-1/2).il primo indice si riferisce a numero quantico di particella 1,il secondo è il numero quantico di particella 2.
Lo stesso sistema può essere descritto equivalentemente nella base che diagonalizza gli operatori spin totale J (e sua proiezione lungo un asse) e spin di particella 1 e 2, ossia \(J^2,J_z,S_1^2,S_2^2\) e, per evitare confusioni li indicherò con \(|j, j_z\rangle\), con spin delle due particelle omesso e numeri quantici sempre in termini numerici.
Nota la trasformazione unitaria che collega queste due basi, è facile mostrare che:
\[|+,-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1,0\rangle + |0,0\rangle)\]
\[|-,+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1,0\rangle - |0,0\rangle)\]
A questo punto, facendo agire l'operatore \(J^2\) si ottiene che (nota: hbar =1)
\[J^2|+,-\rangle = \sqrt{2} |1,0\rangle = |+,-\rangle + |-,+\rangle\]
che è quanto si voleva mostrare - cioé che non è autostato di \(J^2\) . Gli stessi passaggi (e lo stesso risultato finale) si applica per l'altro stato.
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