Automobile che si muove su traiettoria circolare
Un'automobile procede con un'accelerazione tangenziale costante lungo un percorso circolare di raggio 4Km. Se parte da fermo e percorre 2km nell'intervallo di tempo tra 2 e 8 secondi determinare il vettore accelerazione, il vettore velocità e lo spazio percorso dopo 16s.
Ho provato a risolverlo:
Dato che l'accelerazione centripeta modifica solo la direzione della velocità e non il modulo, mi sono calcolato l'accelerazione tangenziale $a_t$ con la legge del moto rettilineo uniformemente accelerato,$v_0$ è la velocità assunta al secondo 2:
$v_0=at=>2a$, quindi scriverò $2a$ al posto di $v_0$ nella formula seguente
$x(t)=x_0+2at+1/2at^2$
$2000=12a+18a$
$a_t=2000/30=66,7 m/s^2$
Accelerazione angolare $alpha$
$alpha=a_t/R=66.7/4000=0.017 rad$ (ho fatto bene a dividere per 4000, o dovevo usare i km come unità di misura??)
Accelerazione centripeta $a_n$
$a_n=(omega_0+alphat)^2R$
$omega_0$ dovrebbe essere 0 perchè l'auto parte da fermo, giusto?
$0.073*4000=295m/s^2=a_n$
Vettore a:
$a=sqrt(a_n+a_t^2)=sqrt91473.9=302.4m/s^2$ I numeri mi sembrano troppo grandi, l'unità di misura che ho scelto è corretta?
Ricavo la velocità trasversa dal moto rettilineo uniformemente accelerato:
$v=66.7*16=1067.2 m/s$
Velocità angolare $omega$
$omega=v/R=1067/4000=0.26 rad$
Vettore velocità: $sqrt(v^2+omega^2)=sqrt(113891)=337.4m/s$
Spazio percorso dopo 16s:
$x(t)=x_0+v_0t+1/2at^2=1/*66.7*256=8537,6m$
Ma secondo voi per spazio percorso intendeva i radianti, quindi avrei dovuto usare la legge oraria del moto cirdcolare unif. accelerato $theta=theta_0+omega_0t+1/2alphat^2$, o va bene così?
Secondo me ho sbagliato tutto, ditemi voi dove..Grazie sempre
Ho provato a risolverlo:
Dato che l'accelerazione centripeta modifica solo la direzione della velocità e non il modulo, mi sono calcolato l'accelerazione tangenziale $a_t$ con la legge del moto rettilineo uniformemente accelerato,$v_0$ è la velocità assunta al secondo 2:
$v_0=at=>2a$, quindi scriverò $2a$ al posto di $v_0$ nella formula seguente
$x(t)=x_0+2at+1/2at^2$
$2000=12a+18a$
$a_t=2000/30=66,7 m/s^2$
Accelerazione angolare $alpha$
$alpha=a_t/R=66.7/4000=0.017 rad$ (ho fatto bene a dividere per 4000, o dovevo usare i km come unità di misura??)
Accelerazione centripeta $a_n$
$a_n=(omega_0+alphat)^2R$
$omega_0$ dovrebbe essere 0 perchè l'auto parte da fermo, giusto?
$0.073*4000=295m/s^2=a_n$
Vettore a:
$a=sqrt(a_n+a_t^2)=sqrt91473.9=302.4m/s^2$ I numeri mi sembrano troppo grandi, l'unità di misura che ho scelto è corretta?
Ricavo la velocità trasversa dal moto rettilineo uniformemente accelerato:
$v=66.7*16=1067.2 m/s$
Velocità angolare $omega$
$omega=v/R=1067/4000=0.26 rad$
Vettore velocità: $sqrt(v^2+omega^2)=sqrt(113891)=337.4m/s$
Spazio percorso dopo 16s:
$x(t)=x_0+v_0t+1/2at^2=1/*66.7*256=8537,6m$
Ma secondo voi per spazio percorso intendeva i radianti, quindi avrei dovuto usare la legge oraria del moto cirdcolare unif. accelerato $theta=theta_0+omega_0t+1/2alphat^2$, o va bene così?
Secondo me ho sbagliato tutto, ditemi voi dove..Grazie sempre
Risposte
Ciao. Mi pare ci siano diverse cose che non vanno.
La prima che noto è l'uso disinvolto che fai delle unità di misura: le ometti quasi sempre dai calcoli, poi le assegni (in modo più o meno corretto) ai risultati. Le unità di misura vanno "coinvolte" nei calcoli e il risultato dev'essere dimensionato in modo coerente con i calcoli. Se vuoi un'accelerazione angolare (tra l'altro non richiesta dal problema) e dividi $a=66.7 "m/"s^2$ per $4000 "m"$ il risultato che ottieni è un numero dimensionato in $s^(-2)$ che visto il contesto andrà espresso in $"rad/"s^2$.
Per il resto: il modulo della velocità tangenziale è dato da: (1) $v_t=a_T*t$, quindi all'istante $t=2s$ vale $v_2=a_T*2s$ ; questo sostituito nell'equazione :
(2) $s_(f) -s_(i)=v_i*t+1/2a_(T)*t^2$ mettendo per finale l'istante $t=8s$ e per iniziale $t=2s$ (e per $v_i$ quanto trovato due righe più sopra) fornisce:
$2000 "m"=(a_T*2s)*8s+1/2a_T*(8s)^2$ ,
da cui si trova, salvo miei errori: $a_T=(2000 "m")/(48 s^2) approx 41.7 "m/"s^2$ ;
a questo punto puoi trovare, sostituendo nella (1), il modulo della velocità tangenziale all'istante $t=16 s$ (ne esce in effetti un risultato numericamente spaventoso ma tant'è); per il vettore accelerazione devi tener conto che oltre all'accelerazione tangenziale (costante) c'è un'accelerazione centripeta di modulo $a_c=(v^2)/R$ che puoi calcolare quanto vale all'istante $t=16 s$, e poi sommare (vettorialmente) a quella tangenziale considerando che le due accelerazioni hanno il bel garbo di essere ortogonali; per "spazio percorso" direi decisamente che intende la lunghezza dell'arco descritto, visto che usa la stessa espressione nel descrivere i dati del problema, e puoi usare tranquillamente la (2).
La prima che noto è l'uso disinvolto che fai delle unità di misura: le ometti quasi sempre dai calcoli, poi le assegni (in modo più o meno corretto) ai risultati. Le unità di misura vanno "coinvolte" nei calcoli e il risultato dev'essere dimensionato in modo coerente con i calcoli. Se vuoi un'accelerazione angolare (tra l'altro non richiesta dal problema) e dividi $a=66.7 "m/"s^2$ per $4000 "m"$ il risultato che ottieni è un numero dimensionato in $s^(-2)$ che visto il contesto andrà espresso in $"rad/"s^2$.
Per il resto: il modulo della velocità tangenziale è dato da: (1) $v_t=a_T*t$, quindi all'istante $t=2s$ vale $v_2=a_T*2s$ ; questo sostituito nell'equazione :
(2) $s_(f) -s_(i)=v_i*t+1/2a_(T)*t^2$ mettendo per finale l'istante $t=8s$ e per iniziale $t=2s$ (e per $v_i$ quanto trovato due righe più sopra) fornisce:
$2000 "m"=(a_T*2s)*8s+1/2a_T*(8s)^2$ ,
da cui si trova, salvo miei errori: $a_T=(2000 "m")/(48 s^2) approx 41.7 "m/"s^2$ ;
a questo punto puoi trovare, sostituendo nella (1), il modulo della velocità tangenziale all'istante $t=16 s$ (ne esce in effetti un risultato numericamente spaventoso ma tant'è); per il vettore accelerazione devi tener conto che oltre all'accelerazione tangenziale (costante) c'è un'accelerazione centripeta di modulo $a_c=(v^2)/R$ che puoi calcolare quanto vale all'istante $t=16 s$, e poi sommare (vettorialmente) a quella tangenziale considerando che le due accelerazioni hanno il bel garbo di essere ortogonali; per "spazio percorso" direi decisamente che intende la lunghezza dell'arco descritto, visto che usa la stessa espressione nel descrivere i dati del problema, e puoi usare tranquillamente la (2).
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