Automobile che accelera
Buonasera, sono nuovo di questo forum a breve avrò l'esame di fisica, riporto qua di sotto il testo di un esercizio:
Carlo possiede una automobile, di massa complessiva 870 kg, che impiega 6.00 secondi per andare da 0 a 100km/h. Insoddisfatto della prestazione pensa a possibili modi di migliorarla. Un amico gli suggerisce di sostiutire le pesanti ruote con cerchi di acciaio, con delle ruote in lega leggera ciascuna delle quali pesa ben 6,78 kg in meno della ruota originale. Carlo fa un rapido calcolo del tempo che potrebbe risparmiare nella accelerazione, approssimando le ruote come dischi uniformi. Che risultato ottiene? (secondi)
Per risolvere il problema, occorre ricavare il tempo necessario alla macchina con le nuove ruote, per raggiungere i 100km/h partendo da ferma. Ho ipotizzato un'accelerazione costante della macchina, inoltre secondo il mio ragionamento vorrei arrivare a calcolarmi l'accelerazione della vettura con le nuove ruote, in modo poi successivamente, di ricavare il tempo impiegato tramite le semplici formule di cinematica. Non riesco però a calcolarmi questa accelerazione e non riesco a sfruttare l'indicazione della minore massa delle ruote. Ho provato anche ad applicare la seconda legge di newton per il moto rotatorio alla singola ruota ma non sono riuscito ad arrivare a nessuna soluzione.
Carlo possiede una automobile, di massa complessiva 870 kg, che impiega 6.00 secondi per andare da 0 a 100km/h. Insoddisfatto della prestazione pensa a possibili modi di migliorarla. Un amico gli suggerisce di sostiutire le pesanti ruote con cerchi di acciaio, con delle ruote in lega leggera ciascuna delle quali pesa ben 6,78 kg in meno della ruota originale. Carlo fa un rapido calcolo del tempo che potrebbe risparmiare nella accelerazione, approssimando le ruote come dischi uniformi. Che risultato ottiene? (secondi)
Per risolvere il problema, occorre ricavare il tempo necessario alla macchina con le nuove ruote, per raggiungere i 100km/h partendo da ferma. Ho ipotizzato un'accelerazione costante della macchina, inoltre secondo il mio ragionamento vorrei arrivare a calcolarmi l'accelerazione della vettura con le nuove ruote, in modo poi successivamente, di ricavare il tempo impiegato tramite le semplici formule di cinematica. Non riesco però a calcolarmi questa accelerazione e non riesco a sfruttare l'indicazione della minore massa delle ruote. Ho provato anche ad applicare la seconda legge di newton per il moto rotatorio alla singola ruota ma non sono riuscito ad arrivare a nessuna soluzione.
Risposte
LA variazione di energia cinetica della macchina e' il lavoro effettuato dal motore in quel lasso di tempo.
Nel caso delle ruote originale, il lavoro del motore (var. di en. cin.) viene speso in 6 secondi. Da qui sei in grado di calcolare la potenza massima che il motore e' in grado di fornire.
Una volta noto questo valore, con la nuova massa ricalcoli la variazione di energia tra 0 e 100km/h. Questa sara uguale alla potenza max per il tempo T incognito.
Alternativamente (ma solo dopo che padroneggi i concetti sopra), il lavoro e' una funzione lineare della massa. Quindi variando la massa, a parita' del resto, il tempo varia linearmente con la massa: $t_1=(870-(6.78*4))/870*6 sec=5.81sec$
Nel caso delle ruote originale, il lavoro del motore (var. di en. cin.) viene speso in 6 secondi. Da qui sei in grado di calcolare la potenza massima che il motore e' in grado di fornire.
Una volta noto questo valore, con la nuova massa ricalcoli la variazione di energia tra 0 e 100km/h. Questa sara uguale alla potenza max per il tempo T incognito.
Alternativamente (ma solo dopo che padroneggi i concetti sopra), il lavoro e' una funzione lineare della massa. Quindi variando la massa, a parita' del resto, il tempo varia linearmente con la massa: $t_1=(870-(6.78*4))/870*6 sec=5.81sec$
Sottoscrivo quanto detto dal prof., notando tuttavia che il testo fa riferimento a una modellizzazione delle ruote secondo dischi omogenei, il che fa supporre che si richieda una visione del problema che coinvolga la dinamica dei corpi rigidi in puro rotolamento.
In tal caso occorre fare le seguenti ulteriori osservazioni:
$$\eqalign{
& {M_{tot}} = {m_a} + 4{m_r} \cr
& {E_{k0}} = \frac{1}
{2}\left( {{m_a} + 4{m_r}} \right){v^2} + \frac{4}
{2}{I_{CMr}}{\omega ^2} = \frac{1}
{2}\left( {{m_a} + 4{m_r}} \right){v^2} + \frac{4}
{2}\frac{1}
{2}{m_r}{R^2}\frac{{{v^2}}}
{{{R^2}}} \cr
& {E_{k0}} = \frac{1}
{2}\left( {{m_a} + 6{m_r}} \right){v^2} \cr
& {E_{k1}} = \frac{1}
{2}\left( {{m_a} + 6\left( {{m_r} - \Delta {m_r}} \right)} \right){v^2} \cr
& {M_{eff}} = {m_a} + 6{m_r} \cr
& \Delta {M_{eff}} = - 6\Delta {m_r} \cr} $$
Nelle ultime formule ho introdotto il concetto di massa efficace ai fini energetici, da cui si vede che tenendo conto dell'energia di rotazione delle ruote e del loro alleggerimento, è come se la massa efficace totale dell'auto fosse diminuita non di 4 volte ma di 6 volte l'alleggerimento di ciascuna ruota.
In tal caso occorre fare le seguenti ulteriori osservazioni:
$$\eqalign{
& {M_{tot}} = {m_a} + 4{m_r} \cr
& {E_{k0}} = \frac{1}
{2}\left( {{m_a} + 4{m_r}} \right){v^2} + \frac{4}
{2}{I_{CMr}}{\omega ^2} = \frac{1}
{2}\left( {{m_a} + 4{m_r}} \right){v^2} + \frac{4}
{2}\frac{1}
{2}{m_r}{R^2}\frac{{{v^2}}}
{{{R^2}}} \cr
& {E_{k0}} = \frac{1}
{2}\left( {{m_a} + 6{m_r}} \right){v^2} \cr
& {E_{k1}} = \frac{1}
{2}\left( {{m_a} + 6\left( {{m_r} - \Delta {m_r}} \right)} \right){v^2} \cr
& {M_{eff}} = {m_a} + 6{m_r} \cr
& \Delta {M_{eff}} = - 6\Delta {m_r} \cr} $$
Nelle ultime formule ho introdotto il concetto di massa efficace ai fini energetici, da cui si vede che tenendo conto dell'energia di rotazione delle ruote e del loro alleggerimento, è come se la massa efficace totale dell'auto fosse diminuita non di 4 volte ma di 6 volte l'alleggerimento di ciascuna ruota.
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