Autoinduzione, induttore e condensatore
Già che ci sono...allora posto anche quest'altro problema -.-
Non ce la faccio più...ogni 3 problemi, due non so da dove partire a risolverli
E tutto questo pur avendo studiato, e avendo davanti il libro...
Sentite questo:
Allora quello che io so è che il coefficiente di autoinduzione se non sbaglio è l'induttanza, cioè L ossia:
$ L = (\Phi) / I $
dove I è la corrente e $ \Phi $ è il flusso magnetico. Tuttavia non so assolutamente da dove partire nel senso, non ho troppi pochi dati?!
Non ce la faccio più...ogni 3 problemi, due non so da dove partire a risolverli
E tutto questo pur avendo studiato, e avendo davanti il libro...
Sentite questo:
Un condensatore da 5 nF viene caricato a 100 V e quindi rapidamente collegato ad un induttore.
La frequenza della corrente alternata che ne deriva è f = 10 kHz. Allora:
a) Calcolare il valore del coefficiente di autoinduzione dell’induttore.
b) Scrivere l’espressione che descrive come varia la carica sulle armature del condensatore in funzione del tempo e calcolare il massimo valore di energia accumulata nell’induttore.
Allora quello che io so è che il coefficiente di autoinduzione se non sbaglio è l'induttanza, cioè L ossia:
$ L = (\Phi) / I $
dove I è la corrente e $ \Phi $ è il flusso magnetico. Tuttavia non so assolutamente da dove partire nel senso, non ho troppi pochi dati?!
Risposte
Il problema presenta il caso di un condensatore carico che viene connesso improvvisamente ad un induttore in parallelo, formando così una maglia chiusa.
Assumiamo una convenzione secondo la quale il morsetto positivo del condensatore, inizialmente carico con $V_0=100V$, immette nel circuito una corrente che esce dal medesimo morsetto ed entra nell'induttore.
Detta $I(t)$ questa corrente e $V(t)$ la tensione, le equazioni che descrivono l'andamento di queste grandezze sono:
[tex]I = - C\frac{{dV}}{{dt}}[/tex]
[tex]V = L\frac{{dI}}{{dt}}[/tex]
Derivando ulteriormente la seconda e sostituendo nella prima si ottiene l'equazione differenziale che descrive l'andamento della corrente:
[tex]LC\frac{{{d^2}I}}{{d{t^2}}} + I = 0[/tex]
La soluzione generale di questa è [tex]I\left( t \right) = A\cos \omega t + B\sin \omega t[/tex], e poste le condizioni iniziali:
[tex]L{\left. {\frac{{dI}}{{dt}}} \right|_0} = {V_0}[/tex]
e
[tex]I\left( 0 \right) = 0[/tex]
(la corrente in un induttore alla chiusura del circuito deve essere una funzione continua, quindi in questo caso deve partire da 0 all'istante 0)
si ha [tex]A = 0[/tex] e [tex]B = \frac{{{V_0}}}{{\omega L}}[/tex].
Dunque [tex]I\left( t \right) = \frac{{{V_0}}}{{\omega L}}\sin \omega t[/tex], e poi derivando due volte e confrontando con l'equazione differenziale si trova [tex]\frac{{{d^2}I}}{{d{t^2}}} = - \frac{{\omega {V_0}}}{L}\sin \omega t = - \frac{I}{{LC}} = - \frac{{{V_0}}}{{\omega {L^2}C}}\sin \omega t[/tex], ovvero si giunge all'espresione finale:
[tex]I\left( t \right) = \frac{{{V_0}}}{Z}\sin \omega t[/tex]
dove [tex]\omega = \frac{1}{{\sqrt {LC} }}[/tex] e [tex]Z = \sqrt {\frac{L}{C}}[/tex].
Da qui puoi partire per risolvere il problema, ricordando che la carica sulle armature del condensatore, visti i segni imposti per la corrente, è in questo caso [tex]{Q_C}\left( t \right) = {Q_0} - \int_0^t {I\left( t \right)dt}[/tex], e l'energia nell'induttore è [tex]{W_L} = \frac{1}{2}LI{\left( t \right)^2}[/tex].
Assumiamo una convenzione secondo la quale il morsetto positivo del condensatore, inizialmente carico con $V_0=100V$, immette nel circuito una corrente che esce dal medesimo morsetto ed entra nell'induttore.
Detta $I(t)$ questa corrente e $V(t)$ la tensione, le equazioni che descrivono l'andamento di queste grandezze sono:
[tex]I = - C\frac{{dV}}{{dt}}[/tex]
[tex]V = L\frac{{dI}}{{dt}}[/tex]
Derivando ulteriormente la seconda e sostituendo nella prima si ottiene l'equazione differenziale che descrive l'andamento della corrente:
[tex]LC\frac{{{d^2}I}}{{d{t^2}}} + I = 0[/tex]
La soluzione generale di questa è [tex]I\left( t \right) = A\cos \omega t + B\sin \omega t[/tex], e poste le condizioni iniziali:
[tex]L{\left. {\frac{{dI}}{{dt}}} \right|_0} = {V_0}[/tex]
e
[tex]I\left( 0 \right) = 0[/tex]
(la corrente in un induttore alla chiusura del circuito deve essere una funzione continua, quindi in questo caso deve partire da 0 all'istante 0)
si ha [tex]A = 0[/tex] e [tex]B = \frac{{{V_0}}}{{\omega L}}[/tex].
Dunque [tex]I\left( t \right) = \frac{{{V_0}}}{{\omega L}}\sin \omega t[/tex], e poi derivando due volte e confrontando con l'equazione differenziale si trova [tex]\frac{{{d^2}I}}{{d{t^2}}} = - \frac{{\omega {V_0}}}{L}\sin \omega t = - \frac{I}{{LC}} = - \frac{{{V_0}}}{{\omega {L^2}C}}\sin \omega t[/tex], ovvero si giunge all'espresione finale:
[tex]I\left( t \right) = \frac{{{V_0}}}{Z}\sin \omega t[/tex]
dove [tex]\omega = \frac{1}{{\sqrt {LC} }}[/tex] e [tex]Z = \sqrt {\frac{L}{C}}[/tex].
Da qui puoi partire per risolvere il problema, ricordando che la carica sulle armature del condensatore, visti i segni imposti per la corrente, è in questo caso [tex]{Q_C}\left( t \right) = {Q_0} - \int_0^t {I\left( t \right)dt}[/tex], e l'energia nell'induttore è [tex]{W_L} = \frac{1}{2}LI{\left( t \right)^2}[/tex].
Ciao Falco!
Innanzitutto ti ringrazio immensamente per la pazienza che hai dedicato alla stesura di questo post! Grazie
Poi...allora..help
!
Premettendo che ho capito solo il 30% dei passaggi da te svolti (probabilmente anche per il fatto che non so gli integrali xD) mi risulta ancora difficile capire come iniziare! Ma questo problema è così dannatamente complicato????! Allora andiamo con ordine...
Quando tu scrivi $ L $, intendi il coefficiente di autoinduzione cioè l'induttanza?!
Se si, è sempre un incognita in tutte le formule che mi hai scritto! E se io lo trovassi il punto A già sarebbe risolto!!!
Inoltre quest'espressione:
è l'espressione che descrive come varia la carica sulle armature in funzione del tempo giusto?!
Il problema è questo. Tu mi hai fornito tutte le formule, ma probabilmente soprattutto per mia ignoranza (il magnetismo l'ho fatto veramente male) non riesco ancora a capire come reperire i dati che mi servono. Vedo solo tante lettere, senza capire dove prendere cosa...
Innanzitutto ti ringrazio immensamente per la pazienza che hai dedicato alla stesura di questo post! Grazie
Poi...allora..help
!Premettendo che ho capito solo il 30% dei passaggi da te svolti (probabilmente anche per il fatto che non so gli integrali xD) mi risulta ancora difficile capire come iniziare! Ma questo problema è così dannatamente complicato????! Allora andiamo con ordine...
Quando tu scrivi $ L $, intendi il coefficiente di autoinduzione cioè l'induttanza?!
Se si, è sempre un incognita in tutte le formule che mi hai scritto! E se io lo trovassi il punto A già sarebbe risolto!!!
Inoltre quest'espressione:
"Falco5x":
[tex]{Q_C}\left( t \right) = - \int_0^t {I\left( t \right)dt}[/tex]
è l'espressione che descrive come varia la carica sulle armature in funzione del tempo giusto?!
Il problema è questo. Tu mi hai fornito tutte le formule, ma probabilmente soprattutto per mia ignoranza (il magnetismo l'ho fatto veramente male) non riesco ancora a capire come reperire i dati che mi servono. Vedo solo tante lettere, senza capire dove prendere cosa...
Vabbè allora proseguo.
Richiamo le formule fondamentali da me ricavate nel post precedente, e che tu dovresti già sapere altrimenti l'esercizio non sarebbe da te risolvibile:
[tex]I\left( t \right) = \frac{{{V_0}}}{Z}\sin \omega t[/tex]
dove [tex]\omega = \frac{1}{{\sqrt {LC} }}[/tex] e [tex]Z = \sqrt {\frac{L}{C}}[/tex]
Poiché ti danno la frequenza della oscillazione, ovvero 10kHz, la pulsazione è $\omega=2\pif=62832$. Allora dalla formula [tex]\omega = \frac{1}{{\sqrt {LC} }}[/tex] ricavi $L=5,066 \cdot 10^(-2)$
Per la carica serve integrare la corrente, dunque:
[tex]{Q_C}\left( t \right) = {Q_0} - \int_0^t {I\left( t \right)dt} = C{V_0} - \frac{{{V_0}}}{Z}\int_0^t {\sin \omega tdt} = C{V_0} - \frac{{{V_0}}}{{\omega Z}}\left( {1 - \cos \omega t} \right) = C{V_0} - C{V_0}\left( {1 - \cos \omega t} \right) = C{V_0}\cos \omega t[/tex]
(l'espressione del post precedente mancava del termine $Q_0$; ho corretto)
L'energia massima nell'induttore si ha con la corrente massima dunque [tex]{W_{\max }} = \frac{1}{2}L\frac{{{V_0}^2}}{{{Z^2}}} = \frac{1}{2}C{V_0}^2[/tex]
Non deve meravigliare che corrisponda anche alla massima energia accumulata inizialmente nel condensatore. Infatti in un circuito risonante come questo condensatore e induttore si passano vicendevolmente l'energia al variare del tempo.
Richiamo le formule fondamentali da me ricavate nel post precedente, e che tu dovresti già sapere altrimenti l'esercizio non sarebbe da te risolvibile:
[tex]I\left( t \right) = \frac{{{V_0}}}{Z}\sin \omega t[/tex]
dove [tex]\omega = \frac{1}{{\sqrt {LC} }}[/tex] e [tex]Z = \sqrt {\frac{L}{C}}[/tex]
Poiché ti danno la frequenza della oscillazione, ovvero 10kHz, la pulsazione è $\omega=2\pif=62832$. Allora dalla formula [tex]\omega = \frac{1}{{\sqrt {LC} }}[/tex] ricavi $L=5,066 \cdot 10^(-2)$
Per la carica serve integrare la corrente, dunque:
[tex]{Q_C}\left( t \right) = {Q_0} - \int_0^t {I\left( t \right)dt} = C{V_0} - \frac{{{V_0}}}{Z}\int_0^t {\sin \omega tdt} = C{V_0} - \frac{{{V_0}}}{{\omega Z}}\left( {1 - \cos \omega t} \right) = C{V_0} - C{V_0}\left( {1 - \cos \omega t} \right) = C{V_0}\cos \omega t[/tex]
(l'espressione del post precedente mancava del termine $Q_0$; ho corretto)
L'energia massima nell'induttore si ha con la corrente massima dunque [tex]{W_{\max }} = \frac{1}{2}L\frac{{{V_0}^2}}{{{Z^2}}} = \frac{1}{2}C{V_0}^2[/tex]
Non deve meravigliare che corrisponda anche alla massima energia accumulata inizialmente nel condensatore. Infatti in un circuito risonante come questo condensatore e induttore si passano vicendevolmente l'energia al variare del tempo.
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