Attrito volvente e accelerazione
Un disco omogeneo di massa m e raggio r scende, rotolando senza strisciare, lungo un piano inclinato di un angolo ALFA, in presenza di attrito volvente (MUv = 0.1). Determinare l’accelerazione del centro di massa e specificare il tipo di moto compiuto dal disco
So che da $ Delta E=L_(Fnonconservative) $ devo arrivare ad $ a=2/3gsenalpha -mu _vgcosalpha $ ma mi perdo nel mezzo...
$ mgh_f+1/2mv_f^2-mgh_i+1/2mv_i^2=mu _vNx $ ma alla fine mi viene $ a=mu_v gcosalpha-gsenalpha $
In rete addirittura ho trovato una terza formula ancora per l'accelerazione....
So che da $ Delta E=L_(Fnonconservative) $ devo arrivare ad $ a=2/3gsenalpha -mu _vgcosalpha $ ma mi perdo nel mezzo...
$ mgh_f+1/2mv_f^2-mgh_i+1/2mv_i^2=mu _vNx $ ma alla fine mi viene $ a=mu_v gcosalpha-gsenalpha $
In rete addirittura ho trovato una terza formula ancora per l'accelerazione....
Risposte
Sei sicuro di quel risultato? non torna dimensionalmente, mi pare, perché $\mu _v$ ha la dimensione di una lunghezza (ho letto su Wikipedia $${F_V} = \frac{{{\mu _v}{F_N}}}
{R}$$
... io non ho mai fatto esercizi sull'attrito volvente).
A me viene:
$$a = \frac{2}
{3}g\sin \alpha - \frac{{{\mu _v}}}
{R}g\cos \alpha $$
{R}$$
... io non ho mai fatto esercizi sull'attrito volvente).
A me viene:
$$a = \frac{2}
{3}g\sin \alpha - \frac{{{\mu _v}}}
{R}g\cos \alpha $$
Quando il disco rotola senza strisciare, se si suppone che non ci sia attrito volvente , ma solo attrito statico tra disco e piano inclinato, come fai per risolvere il problema ?
Innanzitutto dici : vale la condizione di rotolamento senza strisciamento , per cui $v = \omegaR$ e perciò :
$ a_(CM) = \alphaR$. ---------(1)
Poi supponi che la reazione del piano sul disco sia una forza concentrata nel punto di contatto (= centro di istantanea rotazione del disco) , che ha una componente normale $N = mg cos\alpha$ la quale equilibra la componente del peso perpendicolare al piano , e una componente tangente al piano, che è la forza di attrito statico $F$ la quale, col suo momento $FR$ rispetto al centro del disco, ne causa l'accelerazione angolare :
$FR = I\alpha = Ia_(CM)/R$ --------(2)
Poi scrivi a prima equazione cardinale della dinamica per trovare $a_(CM)$ :
$ma_(CM) = mgsen\alpha - F $ ---------(3)
Le equazioni (1) , (2) e (3) consentono di determinare l'accelerazione del CM e la forza di attrito , che risultano :
$a_(CM) = (gsen\alpha)/(1+I/(mR^2))$
$F = (mgsen\alpha)/(1+ (mR^2)/I) $
Tenendo conto che per il disco : $I = 1/2mR^2$ s i trova in definitiva che :
$a_(CM) = 2/3gsen\alpha$ --------(4)
$F = 1/3mgsen\alpha$ -------(5)
poi si deve verificare la condizione per la quale il disco non deve strisciare sul piano inclinato, cioè : $F <=\muN = \mumgcos\alpha$ .
E così il problema è risolto , nel caso ideale in cui , ripeto, la reazione del piano sia concentrata proprio nel punto di contatto tra disco e piano, che sono supposti rigidi .
Ma se c'è attrito volvente, che cosa vuol dire ? Vuol dire che la componente normale della reazione del piano non è esattamente nel punto di contatto. Il contatto si suppone distribuito su una superficie, e la resistenza al rotolamento (l'attrito volvente) consiste in sostanza nel supporre che il punto in cui la componente normale $N$ è applicata sul disco sia spostato in avanti rispetto al punto ideale del caso precedente , di una certa quantità che è una distanza, un braccio $b$ , che si dice "parametro dell'attrito volvente".
Il coefficiente di attrito volvente $\mu_(v) $ si pone uguale al rapporto tra questo braccio e il raggio del disco, ed è adimensionale :
$\mu_(v) = b/R$
Il fatto che la componente $N$ sia spostata in avanti nel senso del moto, porta a scrivere una espressione diversa dalla (2) per la 2° eq. della dinamica : l'accelerazione angolare deve essere minore di quella che si ricava da : $FR = I\alpha$ , perché al primo membro ora c'è un momento minore di $FR$ .
Ora però vai un po' tu avanti.
Innanzitutto dici : vale la condizione di rotolamento senza strisciamento , per cui $v = \omegaR$ e perciò :
$ a_(CM) = \alphaR$. ---------(1)
Poi supponi che la reazione del piano sul disco sia una forza concentrata nel punto di contatto (= centro di istantanea rotazione del disco) , che ha una componente normale $N = mg cos\alpha$ la quale equilibra la componente del peso perpendicolare al piano , e una componente tangente al piano, che è la forza di attrito statico $F$ la quale, col suo momento $FR$ rispetto al centro del disco, ne causa l'accelerazione angolare :
$FR = I\alpha = Ia_(CM)/R$ --------(2)
Poi scrivi a prima equazione cardinale della dinamica per trovare $a_(CM)$ :
$ma_(CM) = mgsen\alpha - F $ ---------(3)
Le equazioni (1) , (2) e (3) consentono di determinare l'accelerazione del CM e la forza di attrito , che risultano :
$a_(CM) = (gsen\alpha)/(1+I/(mR^2))$
$F = (mgsen\alpha)/(1+ (mR^2)/I) $
Tenendo conto che per il disco : $I = 1/2mR^2$ s i trova in definitiva che :
$a_(CM) = 2/3gsen\alpha$ --------(4)
$F = 1/3mgsen\alpha$ -------(5)
poi si deve verificare la condizione per la quale il disco non deve strisciare sul piano inclinato, cioè : $F <=\muN = \mumgcos\alpha$ .
E così il problema è risolto , nel caso ideale in cui , ripeto, la reazione del piano sia concentrata proprio nel punto di contatto tra disco e piano, che sono supposti rigidi .
Ma se c'è attrito volvente, che cosa vuol dire ? Vuol dire che la componente normale della reazione del piano non è esattamente nel punto di contatto. Il contatto si suppone distribuito su una superficie, e la resistenza al rotolamento (l'attrito volvente) consiste in sostanza nel supporre che il punto in cui la componente normale $N$ è applicata sul disco sia spostato in avanti rispetto al punto ideale del caso precedente , di una certa quantità che è una distanza, un braccio $b$ , che si dice "parametro dell'attrito volvente".
Il coefficiente di attrito volvente $\mu_(v) $ si pone uguale al rapporto tra questo braccio e il raggio del disco, ed è adimensionale :
$\mu_(v) = b/R$
Il fatto che la componente $N$ sia spostata in avanti nel senso del moto, porta a scrivere una espressione diversa dalla (2) per la 2° eq. della dinamica : l'accelerazione angolare deve essere minore di quella che si ricava da : $FR = I\alpha$ , perché al primo membro ora c'è un momento minore di $FR$ .
Ora però vai un po' tu avanti.
"navigatore":
Il coefficiente di attrito volvente $\mu_(v) $ si pone uguale al rapporto tra questo braccio e il raggio del disco, ed è adimensionale :
$\mu_(v) = b/R$
Allora Wkipedia sbaglia, perché lo definisce come ho riportato io
Non c'è accordo sulle definizioni. Io seguo gli standard dei testi di Meccanica delle macchine , come ad es. questo :
http://people.mecc.polimi.it/etanzi/PM/ ... sa%206.pdf
(formule 23 e 26 ) .
È più corretto parlare di "parametro " dell'attrito volvente, che è dimensionale perché è un braccio $b$ , e poi renderlo adimensionale dividendolo per il raggio $R$ :
$\mu_v = b/R$ .
Quindi Wikipedia sbaglia , ma non sarebbe la prima volta.
http://people.mecc.polimi.it/etanzi/PM/ ... sa%206.pdf
(formule 23 e 26 ) .
È più corretto parlare di "parametro " dell'attrito volvente, che è dimensionale perché è un braccio $b$ , e poi renderlo adimensionale dividendolo per il raggio $R$ :
$\mu_v = b/R$ .
Quindi Wikipedia sbaglia , ma non sarebbe la prima volta.
"navigatore":
Quando il disco rotola senza strisciare, se si suppone che non ci sia attrito volvente , ma solo attrito statico tra disco e piano inclinato, come fai per risolvere il problema ?
Innanzitutto dici : vale la condizione di rotolamento senza strisciamento , per cui $v = \omegaR$ e perciò :
$ a_(CM) = \alphaR$. ---------(1)
Poi supponi che la reazione del piano sul disco sia una forza concentrata nel punto di contatto (= centro di istantanea rotazione del disco) , che ha una componente normale $N = mg cos\alpha$ la quale equilibra la componente del peso perpendicolare al piano , e una componente tangente al piano, che è la forza di attrito statico $F$ la quale, col suo momento $FR$ rispetto al centro del disco, ne causa l'accelerazione angolare :
$FR = I\alpha = Ia_(CM)/R$ --------(2)
Poi scrivi a prima equazione cardinale della dinamica per trovare $a_(CM)$ :
$ma_(CM) = mgsen\alpha - F $ ---------(3)
Le equazioni (1) , (2) e (3) consentono di determinare l'accelerazione del CM e la forza di attrito , che risultano :
$a_(CM) = (gsen\alpha)/(1+I/(mR^2))$
$F = (mgsen\alpha)/(1+ (mR^2)/I) $
Tenendo conto che per il disco : $I = 1/2mR^2$ s i trova in definitiva che :
$a_(CM) = 2/3gsen\alpha$ --------(4)
$F = 1/3mgsen\alpha$ -------(5)
poi si deve verificare la condizione per la quale il disco non deve strisciare sul piano inclinato, cioè : $F <=\muN = \mumgcos\alpha$ .
E così il problema è risolto , nel caso ideale in cui , ripeto, la reazione del piano sia concentrata proprio nel punto di contatto tra disco e piano, che sono supposti rigidi .
Ma se c'è attrito volvente, che cosa vuol dire ? Vuol dire che la componente normale della reazione del piano non è esattamente nel punto di contatto. Il contatto si suppone distribuito su una superficie, e la resistenza al rotolamento (l'attrito volvente) consiste in sostanza nel supporre che il punto in cui la componente normale $N$ è applicata sul disco sia spostato in avanti rispetto al punto ideale del caso precedente , di una certa quantità che è una distanza, un braccio $b$ , che si dice "parametro dell'attrito volvente".
Il coefficiente di attrito volvente $\mu_(v) $ si pone uguale al rapporto tra questo braccio e il raggio del disco, ed è adimensionale :
$\mu_(v) = b/R$
Il fatto che la componente $N$ sia spostata in avanti nel senso del moto, porta a scrivere una espressione diversa dalla (2) per la 2° eq. della dinamica : l'accelerazione angolare deve essere minore di quella che si ricava da : $FR = I\alpha$ , perché al primo membro ora c'è un momento minore di $FR$ .
Ora però vai un po' tu avanti.
$ M=I_Calpha $ , $ mu _vFR=I_calpha $
$ F=ma $ , $ F=ma+mgsentheta $
$ a=(mgsentheta)/(m+I/(mu_vR) $
per cui $ a=(2mu_vRgsentheta)/(2mu_vR+1) $
possibile?
Non capisco che cosa hai scritto e come hai ragionato per scrivere.
L'attrito volvente agisce come un momento resistente che si oppone al rotolamento. Tale momento resistente nasce perché la retta di azione del componente normale della reazione del piano inclinato sul disco è spostata in avanti, nel senso del moto, rispetto al punto di contatto ideale tra disco e piano. Tale spostamento in avanti equivale cioè ad un braccio $b = \muR$ del componente normale $N$ , e quindi si ha il momento resistente dato da $Nb = N\muR$ .
Perciò , l'accelerazione angolare $\alpha = a_(CM)/R $ ora sarà minore di quella di prima. Per trovarla , si deve scrivere la 2° equazione cardinale della dinamica tenendo conto che c'è un momento motore dato da $F*R$ (forza di attrito statico per il raggio) e un momento resistente come detto sopra. Quindi la (2) del precedente post va sostituita da :
$FR - Nb = I\alpha$ .
A questa si aggiunge la 1° equazione cardinale per il calcolo dell'accelerazione del CM .
L'attrito volvente agisce come un momento resistente che si oppone al rotolamento. Tale momento resistente nasce perché la retta di azione del componente normale della reazione del piano inclinato sul disco è spostata in avanti, nel senso del moto, rispetto al punto di contatto ideale tra disco e piano. Tale spostamento in avanti equivale cioè ad un braccio $b = \muR$ del componente normale $N$ , e quindi si ha il momento resistente dato da $Nb = N\muR$ .
Perciò , l'accelerazione angolare $\alpha = a_(CM)/R $ ora sarà minore di quella di prima. Per trovarla , si deve scrivere la 2° equazione cardinale della dinamica tenendo conto che c'è un momento motore dato da $F*R$ (forza di attrito statico per il raggio) e un momento resistente come detto sopra. Quindi la (2) del precedente post va sostituita da :
$FR - Nb = I\alpha$ .
A questa si aggiunge la 1° equazione cardinale per il calcolo dell'accelerazione del CM .
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