Attrito variante nel tempo

[BoG3]

Ciao a tutti, ho un esercizio che non so svolgere:

Una barca di massa $m = 1000kg$ sfreccia sull'acqua a $v = 90(km)/h = 25 m/s$ quando si rompe il motore.
Sapendo che l'attrito coll'acqua e' pari a $F_d = 70*v$ in ogni istante man mano che la velocita' devresce, trovare il tempo impiegato a raggiungere una velocita' di $45 (km)/h = 12.5 m/s$.
Ecco come la vedo io :


Costruendomi le forze:


Ho provato alcuni approcci ma diciamo che non ho avuto successo.
Ad esempio:

So che la forza d'attrito è $F_d = \mu_d * N = \mu_d * mg = \mu_d*1000*9.8 = 9800*\mu_d$.
Dato che ho un movimento in una sola direzione potrei scrivere: $v_f =12.5= v_0 +at =25 + (-a)t $ poiche' l'accelerazione è negativa da cui $t=12.5/a$. Ma $a$ ? come lo trovo ?
Non saprei manco come tramutare quella velocita' in forza. Avevo pensato di calcolarla come quantita' di moto $p = mv = 1000 * 25 = 25000N$ e ho pensato di vederlo come una quantita' di energia da disperdere grazie all'attrito coll'acqua per arrivare a una quantita' di moto $p_2 = 1000*12.5 = 12500N$. Ma in quanto tempo? Quanti ne vengono consumati al secondo ? Poi il tempo non è mica solo discreto (di secondo in secondo) ma è continuo.

Suona come se dovessi fare un integrale ma dato che il corso non usa alcun tipo di integrali ... direi che ho cannato tutto.

Qualche dritta?

[Berationalgetreal]

Un integrale ci vuole, se si vogliono fare le cose rigorosamente e nella maniera più ovvia possibile. Sappiamo che l'unica forza che agisce sul sistema è la forza di attrito, che in modulo è della forma [tex]F = k \dot x[/tex], con $k$ una certa costante. Quindi:

$$ m \ddot x = -k \dot x$$

Integrando per separazione di variabili:

$$ m \int_{t_0}^{t} \frac{\ddot x}{\dot x} \ \text {d}s = - k \int_{t_0}^{t} \text{d} s \implies \ln \frac{v}{v_0} =\frac{ -kt }{m}\implies v = v_0 e^{\frac{-k t}{m}} $$

Adesso, data una certa velocità $v_*$, puoi trovare agevolmente l'istante di tempo al quale corrisponde. Questo è il modo in cui lo farei; non è nemmeno un così assurdo integrale, tra l'altro. Magari a qualcuno verrà in mente qualcosa di ancora più facile.

[BoG3]

Caspita, non avrei saputo farlo perchè le mie competenze non sono all'altezza, forse ho semplicemente scelto un esercizio troppo oltre le mie competenze.
E' un corso un po' fatto alla buon, diciamo, un po' di tutto in 6 crediti e alla fine, di fronte a un esercizio spesso capita che mi trovo a giocare a puzzle cercando di incastonare una formula che potrebbe aver senso nel contesto.

Ormai da analisi sono passati 2 anni .. vediamo se ho capito qualcosa di quello che hai scitto..

"Berationalgetreal":
\[ m \int_{t_0}^{t} \frac{\ddot x}{\dot x} \ \text {d}s = - k \int_{t_0}^{t} \text{d} s \implies \ln \frac{v}{v_0} =\frac{ -kt }{m}\implies v = v_0 e^{\frac{-k t}{m}} \]

Domanda: perchè $-k\dot x$ ? La forza d'attrito non non dovrebbe essere $\mu*N$ ?
$m \ddot x/\dot x = -k$, applichi l'integrale da entrambe le parti, porti fuori $m$ che è una costante e ti trovi con quello che hai scritto tu.
Domanda: $\dot x$ e $\ddot x$ non sono rispettivamente derivata prima e derivata seconda di $x$ ?
Se si, questo significa che quello che hai scritto è uguale a :

$\int_(t_0)^t((d^2x)/(d^2t))/((dx)/(dt)) ds = -k\int_(t_0)^t ds=> [ln(\dot x)]_(t0)^t = [ln((dx)/(dt))]_(t_0)^t =[ln(v)]_(t_0)^t = ln(v_\text(iniziale))-ln(v_\text(finale)) = ln(v_\text(iniziale)/(v_\text(finale))) =s|_t^(t_0) = t-t_0$ ...come vedi... io non sono in grado .. manco so se ho capito cio' che scrivi... che tristezza