Attrito e piano inclinato
Ciao a tutti, ho un esercizio che non riesco a risolvere e vorrei chiedervi consiglio:
Ho la situazione come in figura sotto:
un piano inclinato di $40°$ rispetto all'orizzonte, un oggetto A e uno B collegati da una corda ideale che passa da una carrucola ideale.
L'attrito tra il corpo A e il piano inclinato ha un coef. statico $\mu_s = 0.56$ e dinamico $\mu_d = 0.25$.
Il corpo A pesa $102N$ e B $32N$.
Domande:
a) Trovare l'accelerazione di A con A inizialmente a riposo
b) A in moto in salita
c) A in moto in discesa sul piano inclinato
La mia idea:
Mi costruisco la seguente figura:
a) se il blocco A sta fermo devo controllare se iniziera' a muoversi a destra (verso l'alto) o sinistra (verso il basso).
(Con $f_d$ forza di attrito)
Sinistra: si muove a sinistra se e solo se $F_(p_x) > F_d + F_B$ quindi $F_p*sin(40) = 102*0.64 = 65 > N*\mu_s +F_B = F_p*cos(40) + 32 = 102*0.77 +32 = 111N$ Da cui concludo che non scende.
Ragionando allo stesso modo per la salita: Sale se: $F_B > F_(p_x)+F_d$ da cui ottengo $65 > 44+32$ il che è falso.
Quindi non sui muove e quindi $a = 0$.
b) se A è in moto in salita vuol dire che esiste una forza $F$ maggiore delle forze $F_d + F_(p_x) = N*\mu_s+32 =F_p*cos 40 +32 = 78N +32N = 110N$. La quale esercita un accelerazione (in questo caso decelerazione) $a = F/m_A = 110/(F_(p_A)/g) = 110/10.4 = 10.6m/s^2$ il che e' errato. Potete aiutarmi?
Grazie.
Ho la situazione come in figura sotto:
un piano inclinato di $40°$ rispetto all'orizzonte, un oggetto A e uno B collegati da una corda ideale che passa da una carrucola ideale.
L'attrito tra il corpo A e il piano inclinato ha un coef. statico $\mu_s = 0.56$ e dinamico $\mu_d = 0.25$.
Il corpo A pesa $102N$ e B $32N$.
Domande:
a) Trovare l'accelerazione di A con A inizialmente a riposo
b) A in moto in salita
c) A in moto in discesa sul piano inclinato
La mia idea:
Mi costruisco la seguente figura:
a) se il blocco A sta fermo devo controllare se iniziera' a muoversi a destra (verso l'alto) o sinistra (verso il basso).
(Con $f_d$ forza di attrito)
Sinistra: si muove a sinistra se e solo se $F_(p_x) > F_d + F_B$ quindi $F_p*sin(40) = 102*0.64 = 65 > N*\mu_s +F_B = F_p*cos(40) + 32 = 102*0.77 +32 = 111N$ Da cui concludo che non scende.
Ragionando allo stesso modo per la salita: Sale se: $F_B > F_(p_x)+F_d$ da cui ottengo $65 > 44+32$ il che è falso.
Quindi non sui muove e quindi $a = 0$.
b) se A è in moto in salita vuol dire che esiste una forza $F$ maggiore delle forze $F_d + F_(p_x) = N*\mu_s+32 =F_p*cos 40 +32 = 78N +32N = 110N$. La quale esercita un accelerazione (in questo caso decelerazione) $a = F/m_A = 110/(F_(p_A)/g) = 110/10.4 = 10.6m/s^2$ il che e' errato. Potete aiutarmi?
Grazie.
Risposte
Boh. Non so come ragioni.
La forza massima dell'attrito, in condizioni statiche non permette il movimento, su questo siamo d'accordo.
Per A, con T tensione della fune
$T-P sinalpha-Pcosalpha*mu_d=P/g*a$
Per B
$p-T=p/g*a$
Sommando membro a membro si elimina la T
$-P sinalpha-Pcosalpha*mu_d+p=P/g*a+p/g*a$
Da cui ricavi l'accelerzione;
$-102sin40-102cosalpha*0.25+32=(102+32)/9.81a$
da cui $a=(-65.56-19.53+32)*9.81/(134)=-3.88 m/s^2$ *il corpo decelera mentre sale)
La forza massima dell'attrito, in condizioni statiche non permette il movimento, su questo siamo d'accordo.
Per A, con T tensione della fune
$T-P sinalpha-Pcosalpha*mu_d=P/g*a$
Per B
$p-T=p/g*a$
Sommando membro a membro si elimina la T
$-P sinalpha-Pcosalpha*mu_d+p=P/g*a+p/g*a$
Da cui ricavi l'accelerzione;
$-102sin40-102cosalpha*0.25+32=(102+32)/9.81a$
da cui $a=(-65.56-19.53+32)*9.81/(134)=-3.88 m/s^2$ *il corpo decelera mentre sale)
Scusa ho una domanda forse stupida:
Io mi sono creato un sistema dove il verso positivo equivale a salire lungo il piano inclinato e se seguo la corda arrivo al peso B. Ora, il peso B quando cade verso terra dovrebbe avere un andamento positivo, per poter essere coerente con il movimento del peso A, no ?
Nel caso in cui l'oggetto scivola in basso gia' dall'inizio avro':
$P*sin 40 - T - P*cos 40 = -ma = - P/g*a$ mentre per l'oggetto B: $T-p = -ma = - p/g*a$, no ?
Io mi sono creato un sistema dove il verso positivo equivale a salire lungo il piano inclinato e se seguo la corda arrivo al peso B. Ora, il peso B quando cade verso terra dovrebbe avere un andamento positivo, per poter essere coerente con il movimento del peso A, no ?
Nel caso in cui l'oggetto scivola in basso gia' dall'inizio avro':
$P*sin 40 - T - P*cos 40 = -ma = - P/g*a$ mentre per l'oggetto B: $T-p = -ma = - p/g*a$, no ?
Non proprio.
Il sistema di riferimento resta lo stesso, indipendentemente dalla direzione del movimento dei blocchi. Quindi, preso il sistema di riferimento positivo a salire per A e, per coerenza, positivo a scendere per B,
Devi scrivere le forze con il segno ed eguagliare a $Ma $ e $ma$ dove a è incognita.
Quindi la forza peso lungo il piano è sempre negativa, la tensione è positiva. Siccome scende, l'attrito diventa positivo (è rivolto verso l-alto).
Per B la forza peso è positiva, la tensione negativa.
Il sistema di riferimento resta lo stesso, indipendentemente dalla direzione del movimento dei blocchi. Quindi, preso il sistema di riferimento positivo a salire per A e, per coerenza, positivo a scendere per B,
Devi scrivere le forze con il segno ed eguagliare a $Ma $ e $ma$ dove a è incognita.
Quindi la forza peso lungo il piano è sempre negativa, la tensione è positiva. Siccome scende, l'attrito diventa positivo (è rivolto verso l-alto).
Per B la forza peso è positiva, la tensione negativa.
Vediamo se ho capito:
In pratica, nel caso c) non cambia molto rispetto al caso b) che mi hai risolto tu.
L'unica differenza è che ora l'oggetto A ha una velocita' iniziale nel verso negativo (e quindi avro' un $a$ diversa da quella del punto b) data la direzione di moto diversa)!
Quinidi:
Per l'oggetto A: $-P*sin40 + T + P *cos40 *\mu_d = ma = P/g*a$
Per B non cambia nulla: $p -T = ma = p/g*a$
Sommo termine a termine:
$-P*sin40 + P *cos40 *\mu_d +p= ma = P/g*a +p/g*a$
da cui
$-P*sin40 + P *cos40 *\mu_d +p= ma = (P+p)/g*a$
da cui
$-66 + 20 + 32 = (102+32)/9.8*a$ da cui $a = -1m/s^2$ quindi accelera mentre scende, no ?
In pratica, nel caso c) non cambia molto rispetto al caso b) che mi hai risolto tu.
L'unica differenza è che ora l'oggetto A ha una velocita' iniziale nel verso negativo (e quindi avro' un $a$ diversa da quella del punto b) data la direzione di moto diversa)!
Quinidi:
Per l'oggetto A: $-P*sin40 + T + P *cos40 *\mu_d = ma = P/g*a$
Per B non cambia nulla: $p -T = ma = p/g*a$
Sommo termine a termine:
$-P*sin40 + P *cos40 *\mu_d +p= ma = P/g*a +p/g*a$
da cui
$-P*sin40 + P *cos40 *\mu_d +p= ma = (P+p)/g*a$
da cui
$-66 + 20 + 32 = (102+32)/9.8*a$ da cui $a = -1m/s^2$ quindi accelera mentre scende, no ?
Mi sembra corretto.
L'unico punto a cui eccepirei e' :".......L'unica differenza è che ora l'oggetto A ha una velocita' iniziale nel verso negativo (e quindi avro' un a diversa da quella del punto b) data la direzione di moto diversa)!".
Non e' cosi. L'accelerazione non dipende dal verso della velocita'. Almeno non in maniera diretta. Il valore di a cambia rispetto al punto b perche' cambia il sistema di forze, dal momento che la forza d'attrito e' ora diretta verso l'alto.
In altre parole, se tu lanciassi un corpo verticalmente verso l'alto, o lo lasciassi cadere dall'alto verso il basso, l'accelerazione rimarrebbe la stessa: $vecg$ rivolta verso il basso. E' l'accelerazione che influenza la velocita', non viceversa.
L'unico punto a cui eccepirei e' :".......L'unica differenza è che ora l'oggetto A ha una velocita' iniziale nel verso negativo (e quindi avro' un a diversa da quella del punto b) data la direzione di moto diversa)!".
Non e' cosi. L'accelerazione non dipende dal verso della velocita'. Almeno non in maniera diretta. Il valore di a cambia rispetto al punto b perche' cambia il sistema di forze, dal momento che la forza d'attrito e' ora diretta verso l'alto.
In altre parole, se tu lanciassi un corpo verticalmente verso l'alto, o lo lasciassi cadere dall'alto verso il basso, l'accelerazione rimarrebbe la stessa: $vecg$ rivolta verso il basso. E' l'accelerazione che influenza la velocita', non viceversa.
Scusami, mi sono espresso male. Hai ragione! Grazie mille per le spiegazioni.
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