Attrazione gravitazionale e accelerazione media.
In questi giorni, dopo un ripasso dell'energia potenziale gravitazionale, mi sono imbattutto in un problema di cui non sono riuscito a trovare una soluzione.
Ponendo due corpi puntiformi a distanza r, quanto tempo impiegano a toccarsi? (per semplicità consideriamo uno dei due corpi immobile)
Per risolvere un problema di questo genere io scriverei un'equazione tra le due formule dell'accelerazione media, cioé:
$\bar{a}=\frac{v}{t}$
e
$\bar{a}=\frac{2s}{t^2}$
(la velocità iniziale è omessa perché uguale a 0)
Dunque ottengo:
$\frac{v}{t}=\frac{2s}{t^2}$
Qui però sorgono i problemi; infatti, secondo la formula dell'energia potenziale gravitazione, quando il corpo in movimento giunge a contatto con l'altro, lo fa a una velocità infinita ($r=0$) e quindi:
$t=\frac{2s}{\infty}$
$t=0$
Questo però non ha alcun senso. Qualcuno potrebbe spiegarmi dov'è l'errore?
Ponendo due corpi puntiformi a distanza r, quanto tempo impiegano a toccarsi? (per semplicità consideriamo uno dei due corpi immobile)
Per risolvere un problema di questo genere io scriverei un'equazione tra le due formule dell'accelerazione media, cioé:
$\bar{a}=\frac{v}{t}$
e
$\bar{a}=\frac{2s}{t^2}$
(la velocità iniziale è omessa perché uguale a 0)
Dunque ottengo:
$\frac{v}{t}=\frac{2s}{t^2}$
Qui però sorgono i problemi; infatti, secondo la formula dell'energia potenziale gravitazione, quando il corpo in movimento giunge a contatto con l'altro, lo fa a una velocità infinita ($r=0$) e quindi:
$t=\frac{2s}{\infty}$
$t=0$
Questo però non ha alcun senso. Qualcuno potrebbe spiegarmi dov'è l'errore?
Risposte
Chi lo dice che r=0 implica velocita inifinita'?
Il corpo fermo, supponiamo una sfera, deve avere un certa massa M per esercitare forza gravitazionale. Quindi il contatto non avviene in r=0, ma in r=R. Penetrata la superficie e andando verso il centro della terra, la gravita' diminuisce linearmente.
A r=0 non esiste piu' gravita'
Il corpo fermo, supponiamo una sfera, deve avere un certa massa M per esercitare forza gravitazionale. Quindi il contatto non avviene in r=0, ma in r=R. Penetrata la superficie e andando verso il centro della terra, la gravita' diminuisce linearmente.
A r=0 non esiste piu' gravita'
Alcune osservazioni:
- l'accelerazione media non ti dice molto se non conosci il tempo. In ogni caso le due definizioni di accelerazione media che hai scritto non sono affatto equivalenti (la seconda credo che sia una tua creazione)
- i due corpi sono puntiformi, quindi potrebbe anche essere corretto preoccuparsi della singolarità nell'origine, in realtà non serve
- il problema non è affatto banale, la sua risoluzione standard (cosiddetto metodo becero) richiede il calcolo di uno sgradevole integrale
- un approccio alternativo può essere questo:
i) se è nota la distanza iniziale, e le masse dei corpi, sai quale sarebbe il periodo dell'orbita circolare di quel raggio
ii) la traiettoria di caduta può essere vista come la metà di un'orbita (degenere) di uguale semiasse superiore
iii) la terza legge di Kepler ti permette di stabilire una relazione tra il periodo del punto ii) con quello del punto i)
iv) il tempo di caduta è la metà del periodo così determinato
Se ben ricordo, si era già parlato di un problema simile, e credo sia stato assegnato per un'ammissione SNS.
- l'accelerazione media non ti dice molto se non conosci il tempo. In ogni caso le due definizioni di accelerazione media che hai scritto non sono affatto equivalenti (la seconda credo che sia una tua creazione)
- i due corpi sono puntiformi, quindi potrebbe anche essere corretto preoccuparsi della singolarità nell'origine, in realtà non serve
- il problema non è affatto banale, la sua risoluzione standard (cosiddetto metodo becero) richiede il calcolo di uno sgradevole integrale
- un approccio alternativo può essere questo:
i) se è nota la distanza iniziale, e le masse dei corpi, sai quale sarebbe il periodo dell'orbita circolare di quel raggio
ii) la traiettoria di caduta può essere vista come la metà di un'orbita (degenere) di uguale semiasse superiore
iii) la terza legge di Kepler ti permette di stabilire una relazione tra il periodo del punto ii) con quello del punto i)
iv) il tempo di caduta è la metà del periodo così determinato
Se ben ricordo, si era già parlato di un problema simile, e credo sia stato assegnato per un'ammissione SNS.
"Cmax":
Se ben ricordo, si era già parlato di un problema simile, e credo sia stato assegnato per un'ammissione SNS.
Si Cmax, dovrebbe essere questo, Tem ha scritto la soluzione in dettaglio :
viewtopic.php?f=19&t=130751&hilit=Tem+caduta#p837786
Chi lo dice che r=0 implica velocita inifinita'?
Il corpo fermo, supponiamo una sfera, deve avere un certa massa M per esercitare forza gravitazionale. Quindi il contatto non avviene in r=0, ma in r=R. Penetrata la superficie e andando verso il centro della terra, la gravita' diminuisce linearmente.
A r=0 non esiste piu' gravita'
Ho considerato (idealmente) due corpi puntiformi, quindi effettivamente quando si toccano la distanza diventa 0, e, secondo la formula dell'energia potenziale gravitazionale ($-\frac{GM_1M_2}{r}$), otteniamo un'energia (e quindi una velocità) infinita.
In ogni caso le due definizioni di accelerazione media che hai scritto non sono affatto equivalenti (la seconda credo che sia una tua creazione)
Effettivamente sì, la seconda l'ho fatta derivare (erroneamente) dalla legge oraria del moto uniformente accelerato, anche se qui di uniforme non c'è proprio nulla.
(Chissà che mi è passato per la testa!)Comunque grazie per le risposte.
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