Asta rotante e angolo minimo di equilibrio
Salve a tutti! Ho questo esercizio di fisica ( Eserciziario Rosati n.3-60 pag.80):
"Un'asta sottile, di lunghezza $l$ e massa trascurabile, ha un estremo incernierato in un punto di un asse verticale; all'altro estremo è attaccato un corpo $A$ praticamente puntiforme e di massa $m$. All'asta, portata in posizione orizzontale, viene impressa una velocità angolare $omega_0$ intorno all'asse verticale. Si determini l'angolo $theta^{\prime}$ che l'asta forma con l'asse verticale nella posizione più bassa raggiunta dal corpo $A$ supponendo trascurabili gli attriti."
Ho provato a risolverlo usando la conservazione dell'energia meccanica
$1/2mv_2^2-1/2mv_1^2=mgh$ dove $h=l(1-costheta)$
$v_2^2-v_1^2=2gh$
$omega_0^2l^2sin^2theta-omega_0^2l^2=2gl(1-costheta)$
$omega_0^2l^2(1-cos^2theta)-omega_0^2l^2-2gl(1-costheta)=0$
$omega_0^2lcos^2theta+2gcostheta-2g=0$ e risolvendo rispetto a $costheta$
$costheta=(-2g+sqrt(4g+8omega_0^2lg))/(2omega_0^2l)$
invece il risultato del libro è $costheta=(-omega_0^2l+sqrt(omega_0^4l^2+16g^2))/(4g)$ e sinceramente non capisco come faccia a venire così...
"Un'asta sottile, di lunghezza $l$ e massa trascurabile, ha un estremo incernierato in un punto di un asse verticale; all'altro estremo è attaccato un corpo $A$ praticamente puntiforme e di massa $m$. All'asta, portata in posizione orizzontale, viene impressa una velocità angolare $omega_0$ intorno all'asse verticale. Si determini l'angolo $theta^{\prime}$ che l'asta forma con l'asse verticale nella posizione più bassa raggiunta dal corpo $A$ supponendo trascurabili gli attriti."
Ho provato a risolverlo usando la conservazione dell'energia meccanica
$1/2mv_2^2-1/2mv_1^2=mgh$ dove $h=l(1-costheta)$
$v_2^2-v_1^2=2gh$
$omega_0^2l^2sin^2theta-omega_0^2l^2=2gl(1-costheta)$
$omega_0^2l^2(1-cos^2theta)-omega_0^2l^2-2gl(1-costheta)=0$
$omega_0^2lcos^2theta+2gcostheta-2g=0$ e risolvendo rispetto a $costheta$
$costheta=(-2g+sqrt(4g+8omega_0^2lg))/(2omega_0^2l)$
invece il risultato del libro è $costheta=(-omega_0^2l+sqrt(omega_0^4l^2+16g^2))/(4g)$ e sinceramente non capisco come faccia a venire così...
Risposte
Quando il corpo $A$ raggiunge la posizione più bassa, la sua velocità giace su un piano orizzontale perpendicolarmente all'asta. Inoltre, conservando il momento assiale:
$[ml^2\omega_0=mvlsin\theta] rarr [v=(l\omega_0)/sin\theta]$
Infine, conservando l'energia meccanica, si ricava l'equazione risolutiva:
$[1/2ml^2\omega_0^2=1/2mv^2-mglcos\theta] rarr$
$rarr [1/2ml^2\omega_0^2=1/2m(l^2\omega_0^2)/sin^2\theta-mglcos\theta] rarr$
$rarr [2gcos^2\theta+l\omega_0^2cos\theta-2g=0]$
$[ml^2\omega_0=mvlsin\theta] rarr [v=(l\omega_0)/sin\theta]$
Infine, conservando l'energia meccanica, si ricava l'equazione risolutiva:
$[1/2ml^2\omega_0^2=1/2mv^2-mglcos\theta] rarr$
$rarr [1/2ml^2\omega_0^2=1/2m(l^2\omega_0^2)/sin^2\theta-mglcos\theta] rarr$
$rarr [2gcos^2\theta+l\omega_0^2cos\theta-2g=0]$
"anonymous_0b37e9":
Quando il corpo $A$ raggiunge la posizione più bassa, la sua velocità giace su un piano orizzontale perpendicolarmente all'asta. Inoltre, conservando il momento assiale:
$[ml^2\omega_0=mvlsin\theta] rarr [v=(l\omega_0)/sin\theta]$
Infine, conservando l'energia meccanica, si ricava l'equazione risolutiva:
$[1/2ml^2\omega_0^2=1/2mv^2-mglcos\theta] rarr$
$rarr [1/2ml^2\omega_0^2=1/2m(l^2\omega_0^2)/sin^2\theta-mglcos\theta] rarr$
$rarr [2gcos^2\theta+l\omega_0^2cos\theta-2g=0]$
grazie per la dritta! ma ho una domanda riguardo la conservazione del momento angolare:
il momento angolare si conserva nel caso in cui la risultante del momento delle forze esterne è uguale a 0 e quindi $(dL)/dt=0$, nella situazione iniziale (asta orizzontale) la cosa mi torna, il momento di $mg$ e $N$ sono opposti e quindi $M=0$, ma nella situazione finale? Oppure bisogna considerare solo la situazione iniziale in cui si trova il sistema?
"alessi0_r":
...il momento angolare si conserva nel caso in cui la risultante del momento delle forze esterne è uguale a 0 e quindi $(dL)/dt=0$, nella situazione iniziale (asta orizzontale) la cosa mi torna, il momento di $mg$ e $N$ sono opposti e quindi $M=0$...
Francamente, faccio un po' fatica a commentare questa tua affermazione. Nella migliore delle ipotesi, dovresti argomentarla meglio. Scritta così, è semplicemente sbagliata. Ad ogni modo, sul sistema costituito dall'asta e dal corpo puntiforme agiscono due forze: la reazione vincolare della cerniera, della quale nulla si conosce se non che è applicata in un punto dell'asse verticale, e la forza peso del corpo puntiforme. La reazione vincolare della cerniera ha momento nullo solo rispetto al suo punto di applicazione, rispetto a un altro punto dell'asse il suo momento è variabile e senz'altro non nullo. Tuttavia, la componente di questo momento lungo l'asse medesimo è sicuramente nullo, e non dipende dal punto scelto sull'asse. La forza peso, se non si considera il caso particolare in cui l'asta è disposta verticalmente, ha momento non nullo rispetto a ogni punto dell'asse. Tuttavia, anche la componente di questo momento lungo l'asse medesimo è sicuramente nullo, e non dipende dal punto scelto sull'asse. Insomma, il momento risultante delle due forze lungo l'asse è nullo. Per questo motivo si conserva la componente del momento angolare lungo l'asse medesimo.
"anonymous_0b37e9":
[quote="alessi0_r"]
...il momento angolare si conserva nel caso in cui la risultante del momento delle forze esterne è uguale a 0 e quindi $(dL)/dt=0$, nella situazione iniziale (asta orizzontale) la cosa mi torna, il momento di $mg$ e $N$ sono opposti e quindi $M=0$...
Francamente, faccio un po' fatica a commentare questa tua affermazione. Nella migliore delle ipotesi, dovresti argomentarla meglio. Scritta così, è semplicemente sbagliata. Ad ogni modo, sul sistema costituito dall'asta e dal corpo puntiforme agiscono due forze: la reazione vincolare della cerniera, della quale nulla si conosce se non che è applicata in un punto dell'asse verticale, e la forza peso del corpo puntiforme. La reazione vincolare della cerniera ha momento nullo solo rispetto al suo punto di applicazione, rispetto a un altro punto dell'asse il suo momento è variabile e senz'altro non nullo. Tuttavia, la componente di questo momento lungo l'asse medesimo è sicuramente nullo, e non dipende dal punto scelto sull'asse. La forza peso, se non si considera il caso particolare in cui l'asta è disposta verticalmente, ha momento non nullo rispetto a ogni punto dell'asse. Tuttavia, anche la componente di questo momento lungo l'asse medesimo è sicuramente nullo, e non dipende dal punto scelto sull'asse. Insomma, il momento risultante delle due forze lungo l'asse è nullo. Per questo motivo si conserva la componente del momento angolare lungo l'asse medesimo.[/quote]
Ho capito, grazie per la spiegazione
Ne approfitto per chiarire dei dubbi:
Consideriamo sempre lo stesso esercizio, un'asta (di massa trascurabile ) di lunghezza $l$ incernierata ad un'asse verticale che ruota con una certa velocità $omega_0$ costante e un punto materiale di massa $m$ fissato all'estremo libero dell'asta.
Considero un sistema di riferimento inerziale con l'asse delle $y$ parallelo all'asse di rotazione
Caso A: l'asta si trova in posizione orizzontale, le forze che agiscono sono la forza peso e la forza di reazione vincolare $R$ esercitata dalla cerniera.
Scrivendo $F=ma$ lungo i due assi $x$ e $y$ ottengo:
$x: -R_x=momega_0^2l$
$y: R_y-mg=0$
questo nel caso in cui l'asta sia vincolata a non abbassarsi ulteriormente oppure se $theta=pi/2$ sia l'angolo di equilibrio altrimenti avrei $R_y-mg=ma_y$, giusto?
Caso B: l'asta forma un angolo $theta$ con l'asse verticale, in questo caso:
$x: -R_x=momega_0^2r=momega_0^2lsintheta$
$y: R_y-mg=0$
questo se l'angolo $theta$ fosse l'angolo di equilibrio altrimenti avrei anche qui $R_y-mg=ma_y$, corretto?
Allego il disegno del caso B
Consideriamo sempre lo stesso esercizio, un'asta (di massa trascurabile ) di lunghezza $l$ incernierata ad un'asse verticale che ruota con una certa velocità $omega_0$ costante e un punto materiale di massa $m$ fissato all'estremo libero dell'asta.
Considero un sistema di riferimento inerziale con l'asse delle $y$ parallelo all'asse di rotazione
Caso A: l'asta si trova in posizione orizzontale, le forze che agiscono sono la forza peso e la forza di reazione vincolare $R$ esercitata dalla cerniera.
Scrivendo $F=ma$ lungo i due assi $x$ e $y$ ottengo:
$x: -R_x=momega_0^2l$
$y: R_y-mg=0$
questo nel caso in cui l'asta sia vincolata a non abbassarsi ulteriormente oppure se $theta=pi/2$ sia l'angolo di equilibrio altrimenti avrei $R_y-mg=ma_y$, giusto?
Caso B: l'asta forma un angolo $theta$ con l'asse verticale, in questo caso:
$x: -R_x=momega_0^2r=momega_0^2lsintheta$
$y: R_y-mg=0$
questo se l'angolo $theta$ fosse l'angolo di equilibrio altrimenti avrei anche qui $R_y-mg=ma_y$, corretto?
Allego il disegno del caso B
"alessi0_r":
Caso A: l'asta si trova in posizione orizzontale, le forze che agiscono sono la forza peso e la forza di reazione vincolare $R$ esercitata dalla cerniera.
Scrivendo $F=ma$ lungo i due assi $x$ e $y$ ottengo:
$x: -R_x=momega_0^2l$
$y: R_y-mg=0$
questo nel caso in cui l'asta sia vincolata a non abbassarsi ulteriormente oppure se $theta=pi/2$ sia l'angolo di equilibrio
Ok, anche se nel primo membro dell'equazione $[-R_x=momega_0^2l]$ hai messo un segno meno di troppo e, nel caso in cui l'asta sia vincolata a non abbassarsi ulteriormente, il vincolo non può essere più considerato una cerniera, ergo, si dovrebbe introdurre un momento incognito esercitato dal vincolo medesimo.
"alessi0_r":
...altrimenti avrei $R_y-mg=ma_y$, giusto?
Ok, anche se manca un'equazione, visto che il moto, non essendo piano, è caratterizzato da un'accelerazione descritta da tre componenti.
"alessi0_r":
Caso B: l'asta forma un angolo $theta$ con l'asse verticale, in questo caso:
$x: -R_x=momega_0^2r=momega_0^2lsintheta$
$y: R_y-mg=0$
questo se l'angolo $theta$ fosse l'angolo di equilibrio
Ok, anche se nel primo membro dell'equazione $[-R_x=momega_0^2r=momega_0^2lsintheta]$ hai messo un segno meno di troppo.
"alessi0_r":
...altrimenti avrei anche qui $R_y-mg=ma_y$, corretto?
Ok, anche se manca un'equazione, visto che il moto, non essendo piano, è caratterizzato da un'accelerazione descritta da tre componenti.
"anonymous_0b37e9":
Ok, anche se nel primo membro dell'equazione $[-R_x=momega_0^2l]$ hai messo un segno meno di troppo e, nel caso in cui l'asta sia vincolata a non abbassarsi ulteriormente, il vincolo non può essere più considerato una cerniera, ergo, si dovrebbe introdurre un momento incognito esercitato dal vincolo medesimo.
L'equazione corretta dovrebbe essere $-R_x=-momega_0^2l rArr R_x=momega_0^2l$ dato che la forza centripeta è diretta verso il centro della circonferenza descritta dal punto materiale, giusto?
Invece in un sistema di riferimento solidale con il punto materiale ( ma con gli assi paralleli al primo) veniva $-R_x+F_c=0 rArr R_x=F_c=momega_0^2l$ dove $F_c$, in questo caso, è la forza centrifuga, giusto?
"Sergent Elias":
Ok, anche se manca un'equazione, visto che il moto, non essendo piano, è caratterizzato da un'accelerazione descritta da tre componenti.
Perchè in questi casi il punto materiale compie un moto elicoidale, giusto?
"alessi0_r":
L'equazione corretta dovrebbe essere $-R_x=-momega_0^2l rArr R_x=momega_0^2l$ dato che la forza centripeta è diretta verso il centro della circonferenza descritta dal punto materiale, giusto?
Ok. Per quanto riguarda il resto e tralasciando la descrizione del moto in un sistema di riferimento non inerziale, francamente, non vedo la necessità di introdurre ulteriori ostacoli, il corpo puntiforme è vincolato a muoversi su una sfera di raggio $l$. Considerando un sistema di riferimento inerziale che abbia l'origine dove è vincolata l'asta e adottando le coordinate sferiche, si possono ricavare le seguenti equazioni differenziali del moto:
$[ddot\phisin\theta+2dot\phidot\thetacos\theta=0] ^^ [ddot\theta-dot\phi^2cos\thetasin\theta-g/lsin\theta=0]$
Insomma, il moto del corpo puntiforme, salvo eccezioni, è particolarmente complesso. Nonostante questo, sarebbe senz'altro possibile ricavare alcune proprietà generali, anche se sono concetti che si affrontano in meccanica razionale adottando le coordinate cilindriche. Tra l'altro, se sei interessato, puoi trovare le opportune risorse in rete. Ad ogni modo, è facile verificare che:
$[\phi(t)=\omegat+\phi_0] ^^ [\theta(t)=\theta_0]$
sono una famiglia di soluzioni a patto che:
$[-omega^2cos\theta-g/l=0] rarr [\omega=sqrt(-g/(lcos\theta))]$
Ti faccio osservare che deve essere:
$[cos\theta<0] rarr [\pi/2<\theta<\pi]$
ossia, le soluzioni "di equilibrio" di cui sopra esistono solo se la traiettoria circolare giace in un piano perpendicolare all'asse rigorosamente al di sotto del punto in cui è vincolata l'asta. Per esempio, nel caso in cui $[\theta=\pi/2]$ e correggendo solo parzialmente quanto da te scritto in precedenza e da me confermato, il momento angolare sarebbe un vettore costante diretto lungo l'asse nonostante il momento della forza peso sia diverso da zero. Insomma, $[\theta=\pi/2]$ poteva essere escluso a priori.
"anonymous_0b37e9":
[quote="alessi0_r"]
L'equazione corretta dovrebbe essere $-R_x=-momega_0^2l rArr R_x=momega_0^2l$ dato che la forza centripeta è diretta verso il centro della circonferenza descritta dal punto materiale, giusto?
Ok. Per quanto riguarda il resto e tralasciando la descrizione del moto in un sistema di riferimento non inerziale, francamente, non vedo la necessità di introdurre ulteriori ostacoli, il corpo puntiforme è vincolato a muoversi su una sfera di raggio $l$. Considerando un sistema di riferimento inerziale che abbia l'origine dove è vincolata l'asta e adottando le coordinate sferiche, si possono ricavare le seguenti equazioni differenziali del moto:
$[ddot\phisin\theta+2dot\phidot\thetacos\theta=0] ^^ [ddot\theta-dot\phi^2cos\thetasin\theta-g/lsin\theta=0]$
Insomma, il moto del corpo puntiforme, salvo eccezioni, è particolarmente complesso. Nonostante questo, sarebbe senz'altro possibile ricavare alcune proprietà generali, anche se sono concetti che si affrontano in meccanica razionale adottando le coordinate cilindriche. Tra l'altro, se sei interessato, puoi trovare le opportune risorse in rete. Ad ogni modo, è facile verificare che:
$[\phi(t)=\omegat+\phi_0] ^^ [\theta(t)=\theta_0]$
sono una famiglia di soluzioni a patto che:
$[-omega^2cos\theta-g/l=0] rarr [\omega=sqrt(-g/(lcos\theta))]$
Ti faccio osservare che deve essere:
$[cos\theta<0] rarr [\pi/2<\theta<\pi]$
ossia, le soluzioni "di equilibrio" di cui sopra esistono solo se la traiettoria circolare giace in un piano perpendicolare all'asse rigorosamente al di sotto del punto in cui è vincolata l'asta. Per esempio, nel caso in cui $[\theta=\pi/2]$ e correggendo solo parzialmente quanto da te scritto in precedenza e da me confermato, il momento angolare sarebbe un vettore costante diretto lungo l'asse nonostante il momento della forza peso sia diverso da zero. Insomma, $[\theta=\pi/2]$ poteva essere escluso a priori.[/quote]
Credo di aver capito, grazie per i chiarimenti!
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