Asta rigida e urto completamente anelastico con una freccia
Ciao ragazzi, sono alle prese con questo esercizio:
"Un’asta omogenea e uniforme di lunghezza $l = 80$ $cm$ e massa $m$ è appesa verticalmente in $O$. Esprimere in funzione delle quantità date: a) la velocità $v$ con cui deve essere scagliata orizzontalmente una freccia di massa $m/4$ nel
punto $A$ a distanza $3/4*l$ da $O$ per portare l’asta in posizione orizzontale,b) la percentuale dell’energia cinetica iniziale della freccia spesa come lavoro di penetrazione."
L'esercizio è abbastanza banale e come tanti altri già visti. Nonostante ciò incontro sempre qualche problema, soprattutto nella determinazione della variazione di energia potenziale coi corpi rigidi.
Comunque, apriamo le danze.
Si scelga al solito un sistema di coordinate che abbia origine in $O$, asse $z$ uscente dallo schermo, asse $y$ verso l'alto e $x$ verso destra.
L'urto è completamente anelastico, non si conserva la quantità di moto perchè l'asta è imperniata, scegliendo $O$ come polo si conserva il momento angolare. Proprio dalla conservazione del momento angolare trovo che
$\omega = 36/91 v/l$ e fin qui nihil sub sole novum.
Per calcolare $v$ si può tenere conto del fatto che il testo non parla di attrito, dunque presumo che non ci sia. Si potrebbe applicare la conservazione dell'energia meccanica ma tra quali istanti?? Io avevo pensato tra un istante prima dell'urto (con l'asta in posizione verticale) e un istante dopo l'urto (con l'asta in rotazione e i due corpi compenetrati). Le soluzioni pongono invece come istante iniziale quello di inizio della rotazione e come istante finale quello in cui l'asta è orizzontale
ponendo in particolare
$1/2 I_z \omega ^2 = mg*l/2 + m/4 * g * 3/4 l$.
Ciò che sta a destra dell'uguale corrisponde alla variazione di energia potenziale. Ed è sempre qui che torno a sbattere: non ho ancora ben capito, in un corpo rigido, a cosa corrisponda la variazione di energia potenziale del $CM$. Abbiamo più volte parlato di variazione di quota del $CM$: in questo caso, il $CM$ del sistema "asta + freccia" (che starà da qualche parte la cui posizione non ho ancora calcolato) non passa da una posizione lungo l'asse $y$ a una posizione lungo l'asse $x$ con quota $y = 0$ ? Mi spiego meglio: quando è verticale, il $CM$ si troverà in un punto del tipo $(0, y_(CM))$ mentre quando è orizzontale si troverà in un punto $(x_(CM), 0)$. Non si passa quindi da una quota $y_(CM)$ a una quota $y = 0$? Vi prego scioglietemi questo dubbio una volta per tutte
"Un’asta omogenea e uniforme di lunghezza $l = 80$ $cm$ e massa $m$ è appesa verticalmente in $O$. Esprimere in funzione delle quantità date: a) la velocità $v$ con cui deve essere scagliata orizzontalmente una freccia di massa $m/4$ nel
punto $A$ a distanza $3/4*l$ da $O$ per portare l’asta in posizione orizzontale,b) la percentuale dell’energia cinetica iniziale della freccia spesa come lavoro di penetrazione."
L'esercizio è abbastanza banale e come tanti altri già visti. Nonostante ciò incontro sempre qualche problema, soprattutto nella determinazione della variazione di energia potenziale coi corpi rigidi.
Comunque, apriamo le danze.
Si scelga al solito un sistema di coordinate che abbia origine in $O$, asse $z$ uscente dallo schermo, asse $y$ verso l'alto e $x$ verso destra.
L'urto è completamente anelastico, non si conserva la quantità di moto perchè l'asta è imperniata, scegliendo $O$ come polo si conserva il momento angolare. Proprio dalla conservazione del momento angolare trovo che
$\omega = 36/91 v/l$ e fin qui nihil sub sole novum.
Per calcolare $v$ si può tenere conto del fatto che il testo non parla di attrito, dunque presumo che non ci sia. Si potrebbe applicare la conservazione dell'energia meccanica ma tra quali istanti?? Io avevo pensato tra un istante prima dell'urto (con l'asta in posizione verticale) e un istante dopo l'urto (con l'asta in rotazione e i due corpi compenetrati). Le soluzioni pongono invece come istante iniziale quello di inizio della rotazione e come istante finale quello in cui l'asta è orizzontale
ponendo in particolare
$1/2 I_z \omega ^2 = mg*l/2 + m/4 * g * 3/4 l$.
Ciò che sta a destra dell'uguale corrisponde alla variazione di energia potenziale. Ed è sempre qui che torno a sbattere: non ho ancora ben capito, in un corpo rigido, a cosa corrisponda la variazione di energia potenziale del $CM$. Abbiamo più volte parlato di variazione di quota del $CM$: in questo caso, il $CM$ del sistema "asta + freccia" (che starà da qualche parte la cui posizione non ho ancora calcolato) non passa da una posizione lungo l'asse $y$ a una posizione lungo l'asse $x$ con quota $y = 0$ ? Mi spiego meglio: quando è verticale, il $CM$ si troverà in un punto del tipo $(0, y_(CM))$ mentre quando è orizzontale si troverà in un punto $(x_(CM), 0)$. Non si passa quindi da una quota $y_(CM)$ a una quota $y = 0$? Vi prego scioglietemi questo dubbio una volta per tutte
Risposte
Si dissipa energia solo quando la freccia penetra l'asta.
Nel mondo reale questa energia andra' in calore.
Per semplicita' in questo come in tutti gli altri esercizi "scolastici", il tempo di penetrazione e' infinitesimo, in pratica pari a zero.
Quindi abbiamo prima dell'impatto la freccia che viaggia a velocita' $v$, e qui l'energia rimane costante ovviamente.
Poi c'e' l'istante dell'impatto in cui viene persa una certa quantita' di energia.
Immediatamente dopo l'impatto l'asta+freccia ruotano e quindi hanno energia $1/2 I \omega^2$.
Successivamente da qui fino a che la l'asta+freccia non si arrivano in posizione orizzontale abbiamo che lentamente la velocita' angolare $\omega$ diminuisce e l'energia lentamente si trasferisce "dal movimento rotatorio" al guadagno di altezza del centro di massa.
Se il pedice 0 indica un momento dopo l'impatto e il pedice 1 indica quando l'asta arriva in orizzontale, e "a" sta per asta e "f" sta per freccia abbiamo che
$1/2 I \omega_0^2 + m_a g h_{a0} + m_f g h_{f0} = 1/2 I \omega_1^2 + m_a g h_{a1} + m_f g h_{f1}$.
E questa e' la conservazione dell'energia.
Quindi,
$\omega_1 = 0$
$h_{a1} - h_{a0} = l/2$
$h_{f1} - h_{f0} = 3/4 l$
da cui
$ 1/2 I_z \omega ^2 = mg*l/2 + m/4 * g * 3/4 l $
Nel mondo reale questa energia andra' in calore.
Per semplicita' in questo come in tutti gli altri esercizi "scolastici", il tempo di penetrazione e' infinitesimo, in pratica pari a zero.
Quindi abbiamo prima dell'impatto la freccia che viaggia a velocita' $v$, e qui l'energia rimane costante ovviamente.
Poi c'e' l'istante dell'impatto in cui viene persa una certa quantita' di energia.
Immediatamente dopo l'impatto l'asta+freccia ruotano e quindi hanno energia $1/2 I \omega^2$.
Successivamente da qui fino a che la l'asta+freccia non si arrivano in posizione orizzontale abbiamo che lentamente la velocita' angolare $\omega$ diminuisce e l'energia lentamente si trasferisce "dal movimento rotatorio" al guadagno di altezza del centro di massa.
Se il pedice 0 indica un momento dopo l'impatto e il pedice 1 indica quando l'asta arriva in orizzontale, e "a" sta per asta e "f" sta per freccia abbiamo che
$1/2 I \omega_0^2 + m_a g h_{a0} + m_f g h_{f0} = 1/2 I \omega_1^2 + m_a g h_{a1} + m_f g h_{f1}$.
E questa e' la conservazione dell'energia.
Quindi,
$\omega_1 = 0$
$h_{a1} - h_{a0} = l/2$
$h_{f1} - h_{f0} = 3/4 l$
da cui
$ 1/2 I_z \omega ^2 = mg*l/2 + m/4 * g * 3/4 l $
"Quinzio":
Quindi,
$\omega_1 = 0$
$h_{a1} - h_{a0} = l/2$
$h_{f1} - h_{f0} = 3/4 l$
da cui
$ 1/2 I_z \omega ^2 = mg*l/2 + m/4 * g * 3/4 l $
Quindi, se $h_{a1} - h_{a0} = l/2$ e $h_{f1} - h_{f0} = 3/4 l$ significa che $h_(a1) = 0, h_(f1) = 0$ e $h_(a0) = -l/2$ e $h_(f0) = -3/4 l$ per quello che ho supposto io?
Inoltre, correggimi se sbaglio, la variazione di energia potenziale nel caso di un sistema fatto da uno (o più) corpo rigido (con o senza qualche altro corpo puntiforme) si può calcolare o considerando la somma di tutte le masse che costituiscono il sistema e poi calcolare la variazione di quota rispetto alla posizione del $CM$ complessivo oppure come abbiamo fatto adesso considerando la singola variazione di energia potenziale per ogni parte che costituisce il sistema. Dico bene?
Si, va bene.
Grazie mille Quinzio!
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