Asta omogenea inclinata in caduta libera urta e inizia a ruotare
Sto svolgendo questo esercizio
Il primo punto mi chiede l'energia dissipata nell'urto
L'ho impostata così $\Delta E_M=U_f+K_f-U_i-K_i$, l'energia potenziale appena prima e appena dopo l'urto è la stessa, dunque si riduce a $\Delta E_M=K_f-K_i$,
$K_i$ me la ricavo facilmente dalla conservazione dell'energia meccanica PRIMA dell'urto, infatti impostandola viene fuori $K=\Delta U=mg(h_{CM}-L/2 \cos\theta)$
Ma per $K_f$ non ho idee, al più posso supporre che è tutta rotazionale, dunque $K_f=1/2 I_a \omega^2$, ma mi manca un equazione per $\omega$, dove la prendo?
Inoltre ho un dubbio di natura un po' più teorica, nell'urto il momento angolare rispetto ad $A$ si conserva? edit: Sì. (Grazie Noodles)
Ho pensato: tanto l'impulso è applicato ad $A$ quindi non fa momento, mentre la forza peso magari per quel piccolo intervallo è trascurabile, però se fosse trascurabile non si metterebbe neanche in rotazione quindi boh
Il primo punto mi chiede l'energia dissipata nell'urto
L'ho impostata così $\Delta E_M=U_f+K_f-U_i-K_i$, l'energia potenziale appena prima e appena dopo l'urto è la stessa, dunque si riduce a $\Delta E_M=K_f-K_i$,
$K_i$ me la ricavo facilmente dalla conservazione dell'energia meccanica PRIMA dell'urto, infatti impostandola viene fuori $K=\Delta U=mg(h_{CM}-L/2 \cos\theta)$
Ma per $K_f$ non ho idee, al più posso supporre che è tutta rotazionale, dunque $K_f=1/2 I_a \omega^2$, ma mi manca un equazione per $\omega$, dove la prendo?
Inoltre ho un dubbio di natura un po' più teorica, nell'urto il momento angolare rispetto ad $A$ si conserva? edit: Sì. (Grazie Noodles)
Ho pensato: tanto l'impulso è applicato ad $A$ quindi non fa momento, mentre la forza peso magari per quel piccolo intervallo è trascurabile, però se fosse trascurabile non si metterebbe neanche in rotazione quindi boh
Risposte
Se ho capito bene, traslando verticalmente verso il basso, l'asta urta il pavimento nell'estremo A che, dopo l'urto, si fissa al pavimento medesimo. In questo caso si conserva il momento angolare rispetto all'estremo A e l'asta comincia a ruotare finchè anche l'estremo B urta il pavimento.
La situazione è esattamente quella descritta da te, quindi grazie. Mi piacerebbe sapere anche perchè si conserva, dato che agiscono forze esterne( tipo la forza peso).
Con la conservazione del momento angolare adesso porta, grazieeee.
Lascio la soluzione nel caso interessasse a qualcuno
Imposto la conservazione del momento angolare $P_A^i=P_A^f$, la prima la calcolo direttamente con $P_A^i=r_{CM}\times (m\cdotv_{CM})=v_i L/2m\sin\theta$ perchè tanto ogni punto dell'asta si muove con la stessa velocità, la seconda invece la calcolo con la definizione $$P_A^f=\left|\sum_jr_j\times (m_j\cdot v_j)\right|=\left|\sum_jr_j\times (m_j \cdot r_j\omega)\right|=\omega\sum_jr_j^2 m_j $$ passo al limite (metto $x=r_j$) e ottengo
$$P_A^f=\omega\int_0^Lx^2dm=\omega\sigma\int_0^Lx^2dx=\omega\sigma \frac{L^3}{3}=\omega m\frac{L^2}{3}$$ Imponendo $P_A^i=P_A^f$ si ha $\omega m\frac{L^2}{3} =v_i L/2m\sin\theta $ da cui $\omega=
(3 \sin\theta)/(2L) v_i$, dove $v_i$ è la velocità appena prima dell'urto, la si ricavata dall'energia cinetica già calcolata. Ora si hanno abbastanza equazioni per risolverlo
Edit: Mi sono accorto ora che in realtà si faceva prima a usare $P_A^f=I_A \omega$ invece della definizione ma vabbè
Con la conservazione del momento angolare adesso porta, grazieeee.
Lascio la soluzione nel caso interessasse a qualcuno
Imposto la conservazione del momento angolare $P_A^i=P_A^f$, la prima la calcolo direttamente con $P_A^i=r_{CM}\times (m\cdotv_{CM})=v_i L/2m\sin\theta$ perchè tanto ogni punto dell'asta si muove con la stessa velocità, la seconda invece la calcolo con la definizione $$P_A^f=\left|\sum_jr_j\times (m_j\cdot v_j)\right|=\left|\sum_jr_j\times (m_j \cdot r_j\omega)\right|=\omega\sum_jr_j^2 m_j $$ passo al limite (metto $x=r_j$) e ottengo
$$P_A^f=\omega\int_0^Lx^2dm=\omega\sigma\int_0^Lx^2dx=\omega\sigma \frac{L^3}{3}=\omega m\frac{L^2}{3}$$ Imponendo $P_A^i=P_A^f$ si ha $\omega m\frac{L^2}{3} =v_i L/2m\sin\theta $ da cui $\omega=
(3 \sin\theta)/(2L) v_i$, dove $v_i$ è la velocità appena prima dell'urto, la si ricavata dall'energia cinetica già calcolata. Ora si hanno abbastanza equazioni per risolverlo
Edit: Mi sono accorto ora che in realtà si faceva prima a usare $P_A^f=I_A \omega$ invece della definizione ma vabbè
"SwitchArio":
Mi piacerebbe sapere anche perchè si conserva ...
Perchè, durante l'urto, l'unica forza impulsiva che agisce sull'asta è applicata in A (i suoi effetti non possono essere trascurati perfino nel caso limite di un urto ideale "istantaneo").
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