Asta omegenea vincolata ad un estremo
Buonasera a tutti.
Ci terrei a sapere come fareste voi a calcolare la velocità e l'accelerazione
del centro di massa di un'asta omogenea di lunghezza L e massa M vincolata
ad un piano per un suo estremo, in funzione dell'angolo che essa forma con
tale piano. L'asta è posta inizialmente in posizione verticale, poi cade ruotando
attorno al vincolo fino a giungere in posizione orizzontale sul piano. Io ho
pensato di considerare il CM come un punto materiale con massa M in moto
circolare uniformemente accelerato attorno ad una ipotetica circonferenza di
raggio L/2. In questo modo ho trovato una velocità e una accelerazione in funzione
dell'angolo formato con il piano ma ho praticamente considerato l'asta come un
piano inclinato che varia il suo angolo... Ho paura di aver fatto un grosso errore
ma non saprei davvero come uscirne...
Attendo vostri chiarimenti, un saluto.
Ci terrei a sapere come fareste voi a calcolare la velocità e l'accelerazione
del centro di massa di un'asta omogenea di lunghezza L e massa M vincolata
ad un piano per un suo estremo, in funzione dell'angolo che essa forma con
tale piano. L'asta è posta inizialmente in posizione verticale, poi cade ruotando
attorno al vincolo fino a giungere in posizione orizzontale sul piano. Io ho
pensato di considerare il CM come un punto materiale con massa M in moto
circolare uniformemente accelerato attorno ad una ipotetica circonferenza di
raggio L/2. In questo modo ho trovato una velocità e una accelerazione in funzione
dell'angolo formato con il piano ma ho praticamente considerato l'asta come un
piano inclinato che varia il suo angolo... Ho paura di aver fatto un grosso errore
ma non saprei davvero come uscirne...
Attendo vostri chiarimenti, un saluto.
Risposte
Io risolverei con un bilancio energetico, determinando quanta energia potenziale si è convertita in cinetica in funzione dell'angolo (e qui la calcoli utilizzando il centro di massa), ricordando che l'energia cinetica può essere espressa come $K = 1 / 2 I omega^2$
"Davvi":
Io risolverei con un bilancio energetico, determinando quanta energia potenziale si è convertita in cinetica in funzione dell'angolo (e qui la calcoli utilizzando il centro di massa), ricordando che l'energia cinetica può essere espressa come $K = 1 / 2 I omega^2$
Capisco... tuttavia continuo a non comprendere come descrivo la variazione di energia meccanica ( penso tu intenda quella ) in funzione dell'angolo che l'asta forma con il piano. E poi ci terrei a sapere se l'idea che avevo io di eguagliare il cm ad un punto materiale agendo come precendentemente descritto è corretta oppure no...
Grazie della risposta comunque.
All'inizio l'energia cinetica è nulla perché è tutta potenziale
A un angolo $theta$ dalla verticale, il cdm si è abbassato in funzione dell'angolo, l'energia potenziale del cdm è diminuita di $m g Delta h$ e si è pertanto convertita in energia cinetica $K$
Non puoi considerare il sistema come se fosse un punto situato nel cdm in rotazione perché l'asta rigida non si comporta come tale, ti basta pensare che l'energia cinetica delle particelle che la compongono e che è proporzionale alla velocità di "traslazione" (rotatoria) dipende dal quadrato della velocità, cioè dal quadrato della distanza dal fulcro, perciò le particelle lontane dal fulcro danno maggior contributo all'energia cinetica di quelle vicine, se tu invece consideri la massa concentrata nel cdm stai considerando il contributo delle particelle vicine e lontane al fulcro in maniera identica.
A un angolo $theta$ dalla verticale, il cdm si è abbassato in funzione dell'angolo, l'energia potenziale del cdm è diminuita di $m g Delta h$ e si è pertanto convertita in energia cinetica $K$
Non puoi considerare il sistema come se fosse un punto situato nel cdm in rotazione perché l'asta rigida non si comporta come tale, ti basta pensare che l'energia cinetica delle particelle che la compongono e che è proporzionale alla velocità di "traslazione" (rotatoria) dipende dal quadrato della velocità, cioè dal quadrato della distanza dal fulcro, perciò le particelle lontane dal fulcro danno maggior contributo all'energia cinetica di quelle vicine, se tu invece consideri la massa concentrata nel cdm stai considerando il contributo delle particelle vicine e lontane al fulcro in maniera identica.
"Davvi":
All'inizio l'energia cinetica è nulla perché è tutta potenziale
A un angolo $theta$ dalla verticale, il cdm si è abbassato in funzione dell'angolo, l'energia potenziale del cdm è diminuita di $m g Delta h$ e si è pertanto convertita in energia cinetica $K$
Non puoi considerare il sistema come se fosse un punto situato nel cdm in rotazione perché l'asta rigida non si comporta come tale, ti basta pensare che l'energia cinetica delle particelle che la compongono e che è proporzionale alla velocità di "traslazione" (rotatoria) dipende dal quadrato della velocità, cioè dal quadrato della distanza dal fulcro, perciò le particelle lontane dal fulcro danno maggior contributo all'energia cinetica di quelle vicine, se tu invece consideri la massa concentrata nel cdm stai considerando il contributo delle particelle vicine e lontane al fulcro in maniera identica.
Capito.. In pratica mi stai dicendo che devo eguagliare l'energia cinetica a $m g Delta h$ ?.. Però alla fine, in che modo converto la variazione dell'altezza h alla variazione dell'angolo? alla fine dovrò ottenere una velocità in funzione di $theta$.
Grazie ancora.
Sì, devi uguagliare quelle due energie, perché l'energia meccanica totale si conservi. Se guardi poco prima ti ho scritto l'espressione dell'energia cinetica, dove è riportato $omega$, da lì a calcolare $v$ il passo è breve... 
"Davvi":
Sì, devi uguagliare quelle due energie, perché l'energia meccanica totale si conservi. Se guardi poco prima ti ho scritto l'espressione dell'energia cinetica, dove è riportato $omega$, da lì a calcolare $v$ il passo è breve...
Ok grazie mille... Solo volevo capire per quanto riguarda il $Delta h$ , dovrei riferirmi all'angolo piuttosto che alla differenza di quota..
Se puoi precisarmi questa cosa te ne sono grato...
Invece per quanto riguarda il momento di inerzia... userò il teorema di Steiner giusto?
grazie ancora della disponibilità.
"Manfry91":
Ok grazie mille... Solo volevo capire per quanto riguarda il $Delta h$ , dovrei riferirmi all'angolo piuttosto che alla differenza di quota..
Se puoi precisarmi questa cosa te ne sono grato...
Questa è una questione di pura geometria, se fai il disegno lo vedi subito
"Davvi":
[quote="Manfry91"]Ok grazie mille... Solo volevo capire per quanto riguarda il $Delta h$ , dovrei riferirmi all'angolo piuttosto che alla differenza di quota..
Se puoi precisarmi questa cosa te ne sono grato...
Questa è una questione di pura geometria, se fai il disegno lo vedi subito[/quote]
mmm... La variazione riguarda il seno di $theta$ giusto? cioè posso riscrivere la formula dell'energia potenziale come $m g sin theta$ dico bene?
Vabè, grazie lo stesso.
Mi sei stato di grande aiuto...
Alla prox!!!
Mi sei stato di grande aiuto...
Alla prox!!!
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