Asta libera di muoversi
ciao a tutti! vorrei sottoporvi un problema di fisica meccanica che ho risolto ma per il quale vorrei delucidazioni:
una sbarra omogenea, che si trova in posizione verticale, di lunghezza $L$ e massa $M$ è incernierata sull'estremo inferiore ad un perno orizzontale ed è libera di ruotare in un piano verticale. Al suo estremo superiore è fissato un disco uniforme di massa $m$ e raggio $r$. La sbarra, inizialmente ferma, viene lasciata libera di muoversi. Determinare:
a) l'accelerazione angolare $a$ del sistema quando la sbarra forma un angolo $T$ rispetto alla posizione iniziale;
b) l'energia cinetica del sistema in questa posizione;
allora, per il primo punto inizialmente il mio ragionamento è stato: niente attrito => conservazione della quantità di moto => conservazione del momento angolare...inoltre anche la conservazione dell'energia.
Subito dopo ho scritto che (in modulo) il momento delle forze $M = Ia$ (momento d'inerzia per l'accelerazione angolare) e sono rimasto interdetto perchè, come prima avevo affermato, vi è la conservazione del momento angolare quindi il momento delle forze è nullo, ma mi era sorto un dubbio:
il momento della forza peso non lo considero?
per non sbagliarmi quindi ho risolto con la conservazione dell'energia trovando la velocità lineare $v$ e trasformandola poi in velocità angolare $w$ e usando la formula del moto uniformemente accelerato (anche qui avrei una domanda ma intanto vi pongo questa).
per il secondo punto ho dedotto che l'Energia cinetica in quella posizione fosse l'energia cinetica finale (che avevo usata prima per trovare $a$).
c'è qualcosa di sbagliato nel mio ragionamento? E per quanto riguarda la domanda precedente?
grazie per l'aiuto!!
una sbarra omogenea, che si trova in posizione verticale, di lunghezza $L$ e massa $M$ è incernierata sull'estremo inferiore ad un perno orizzontale ed è libera di ruotare in un piano verticale. Al suo estremo superiore è fissato un disco uniforme di massa $m$ e raggio $r$. La sbarra, inizialmente ferma, viene lasciata libera di muoversi. Determinare:
a) l'accelerazione angolare $a$ del sistema quando la sbarra forma un angolo $T$ rispetto alla posizione iniziale;
b) l'energia cinetica del sistema in questa posizione;
allora, per il primo punto inizialmente il mio ragionamento è stato: niente attrito => conservazione della quantità di moto => conservazione del momento angolare...inoltre anche la conservazione dell'energia.
Subito dopo ho scritto che (in modulo) il momento delle forze $M = Ia$ (momento d'inerzia per l'accelerazione angolare) e sono rimasto interdetto perchè, come prima avevo affermato, vi è la conservazione del momento angolare quindi il momento delle forze è nullo, ma mi era sorto un dubbio:
il momento della forza peso non lo considero?
per non sbagliarmi quindi ho risolto con la conservazione dell'energia trovando la velocità lineare $v$ e trasformandola poi in velocità angolare $w$ e usando la formula del moto uniformemente accelerato (anche qui avrei una domanda ma intanto vi pongo questa).
per il secondo punto ho dedotto che l'Energia cinetica in quella posizione fosse l'energia cinetica finale (che avevo usata prima per trovare $a$).
c'è qualcosa di sbagliato nel mio ragionamento? E per quanto riguarda la domanda precedente?
grazie per l'aiuto!!
Risposte
Non si conserva la quantità di moto visto che agiscono forze esterne (il peso e la reazione vincolare).
Quando invece si parla di momento della quantità di moto occorre specificare momento rispetto a cosa, comunque non si conserva neanche il momento della quantità di moto rispetto all'asse di rotazione, perché la risultante della forza peso dà contributo non nullo al momento delle forze esterne rispetto a tale asse.
L'unica cosa che si conserva è l'energia meccanica, visto che oltre al campo gravitazionale non sono presenti altre forze che compiono lavoro.
Quando invece si parla di momento della quantità di moto occorre specificare momento rispetto a cosa, comunque non si conserva neanche il momento della quantità di moto rispetto all'asse di rotazione, perché la risultante della forza peso dà contributo non nullo al momento delle forze esterne rispetto a tale asse.
L'unica cosa che si conserva è l'energia meccanica, visto che oltre al campo gravitazionale non sono presenti altre forze che compiono lavoro.
ecco, quindi il mio dubbio era fondato...bene, ma allora io posso risolvere secondo la formula $M=Ia$, giusto?
Giusto, ma non puoi integrare quell'equazione attraverso funzioni analitiche semplici, almeno che non consideri piccole oscillazioni.
La velocità in funzione dell'angolo invece la trovi facilmente con l'equazione di conservazione dell'energia.
La velocità in funzione dell'angolo invece la trovi facilmente con l'equazione di conservazione dell'energia.
ok è chiaro.
quindi uso la conservazione dell'energia, allora:
$Mg(L/2)+mg(L+r)=1/2I_zw^2+1/2mv_(CM)^2$
(energia potenziale del CM dell'asta+E.P. del CM del disco, distante $l+r$ dal polo=energia cinetica rotazionale rispetto al CM+energia cinetica del CM)
ma in realtà la rotazione è sia dell'Asta sia del Disco, giusto? quindi
$Mg(L/2)+mg(L+r)=1/2I_(z_a)w^2+1/2mv_(CM_a)^2+1/2I_(z_d)w^2+1/2mv_(CM_d)^2$
[energia potenziale del CM dell'asta+E.P. del CM del disco, distante $l+r$ dal polo=energia cinetica rotazionale rispetto al CM dell'asta (al quale va applicato Huygens-Steiner perchè l'asse di rotazione non è il CM)+energia cinetica del CM dell'asta+energia cinetica rotazionale rispetto al CM del disco (sempre Huygens-Steiner)+energia cinetica del CM del disco]
è corretto?
quindi uso la conservazione dell'energia, allora:
$Mg(L/2)+mg(L+r)=1/2I_zw^2+1/2mv_(CM)^2$
(energia potenziale del CM dell'asta+E.P. del CM del disco, distante $l+r$ dal polo=energia cinetica rotazionale rispetto al CM+energia cinetica del CM)
ma in realtà la rotazione è sia dell'Asta sia del Disco, giusto? quindi
$Mg(L/2)+mg(L+r)=1/2I_(z_a)w^2+1/2mv_(CM_a)^2+1/2I_(z_d)w^2+1/2mv_(CM_d)^2$
[energia potenziale del CM dell'asta+E.P. del CM del disco, distante $l+r$ dal polo=energia cinetica rotazionale rispetto al CM dell'asta (al quale va applicato Huygens-Steiner perchè l'asse di rotazione non è il CM)+energia cinetica del CM dell'asta+energia cinetica rotazionale rispetto al CM del disco (sempre Huygens-Steiner)+energia cinetica del CM del disco]
è corretto?
Corretta le seconda espressione, come hai detto oltre all'asta anche il disco ruota.
Aggiungo come tua curiosità questa vecchia discussione su come ricavare una formula analitica approssimata del periodo di un pendolo per grandi oscillazioni (la soluzione del problema posto qui da te coincide con la soluzione del pendolo).
ah ok grazie! 
poi dopo, visto che devo trovare l'accelerazione angolare $a$, mi conviene trasformare le $v_(CM)$ di asta e disco in $w$ che, essendo $v_(CM_a)$ e $v_(CM_d)$ diverse sarà $w_a=v_(CM_a)/L$ e $w_d=v_(CM_d)/(L+2R)$? oppure $w$ è uguale per tutto il corpo?
poi dopo, visto che devo trovare l'accelerazione angolare $a$, mi conviene trasformare le $v_(CM)$ di asta e disco in $w$ che, essendo $v_(CM_a)$ e $v_(CM_d)$ diverse sarà $w_a=v_(CM_a)/L$ e $w_d=v_(CM_d)/(L+2R)$? oppure $w$ è uguale per tutto il corpo?
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