Asta e disco con rotolamento
Intanto Buon Natale a tutti 
. Nella seguente immagine un'asta di lunghezza $4R$ e massa $M$ è imperniata al centro di un disco omogeneo di massa $M$ e raggio $R$ formando un angolo di $pi/3$ con l'orizzontale. Tra disco e piano è presente attrito con coefficiente $mu$ (uguale sia statico che dinamico). Il sistema viene quindi lasciato libero. Determinare se la forza di attrito è sufficiente inizialmente ad assicurare rotolamento puro tra disco e piano. (I valori di $M$,$R$ e $mu$ sono noti).
Non riesco a impostare le equazioni del moto di questo sistema
. Nella seguente immagine un'asta di lunghezza $4R$ e massa $M$ è imperniata al centro di un disco omogeneo di massa $M$ e raggio $R$ formando un angolo di $pi/3$ con l'orizzontale. Tra disco e piano è presente attrito con coefficiente $mu$ (uguale sia statico che dinamico). Il sistema viene quindi lasciato libero. Determinare se la forza di attrito è sufficiente inizialmente ad assicurare rotolamento puro tra disco e piano. (I valori di $M$,$R$ e $mu$ sono noti).Non riesco a impostare le equazioni del moto di questo sistema
Risposte
Buon Natale.
Il problema è semplificato dal fatto che l'equazione del moto va determina nell'istante iniziale, cioè con velocità angolare nulla. L'accelerazione iniziale può essere trovata mediante i momenti delle forze note.
Ma queste cose tu le sai bene, qual è il dubbio?
Il problema è semplificato dal fatto che l'equazione del moto va determina nell'istante iniziale, cioè con velocità angolare nulla. L'accelerazione iniziale può essere trovata mediante i momenti delle forze note.
Ma queste cose tu le sai bene, qual è il dubbio?
I miei dubbi riguardano soprattutto il movimento relativo tra asta e disco, eco un mio tentativo di soluzione:
Intanto il centro di massa del sistema si trova nel punto medio tra il centro di massa dell'asta e quello del disco, ossia a distanza R dal centro del disco, sulla circonferenza. Scrivo le coordinate del centro di massa, stabilendo l'assse y positivo verso l'alto e l'asse x positivo a sinistra:
$y_G=Rsintheta$; $x_G=Rcostheta$, derivandole due volte, e trascurando il termine dell'accelerazione proporzionale a $dot(theta)^2$ dato che nell'istante iniziale $dot(theta)=0$ ottengo:
$ddot(y_G)=Rcosthetaddot(theta)$; $ddot(x_G)=-Rsinthetaddot(theta)$
Orizzontalmente l'unica forza esterna al sistema agente dovrebbe essere la forza di attrito, pertanto:
$f_s=2Mddot(x_G)$
Verticalmente dovrei avere:
$N-2Mg=2Mddot(y_G)$
E niente, qui mi fermo, se l'asta fosse saldata con il disco, insomma se il tutto fosse un tutt'uno non avrei problemi nello studiare il moto, ma il fatto che l'asta e la ruota ruotino una indipendentemente dall'altra mi crea problemi, poi mi risulta strano il fatto che, dato che l'unica forza esterna agente orizzontalmente è la forza di attrito, il centro di massa dovrebbe spostarsi orizzontalmente nel verso di tale forza, ma la forza d'attrito crea un momento rispetto al centro della ruota che quindi ruoterà nel verso opposto alla forza di attrito, il centro di massa del sistema si sposta da una parte e la ruota si sposta dall'altra, mi sembra alquanto strano. Forse dovrei provare a considerare l'asta e il disco separatamente con le rispettive reazioni che il perno applica su di essi?
Intanto il centro di massa del sistema si trova nel punto medio tra il centro di massa dell'asta e quello del disco, ossia a distanza R dal centro del disco, sulla circonferenza. Scrivo le coordinate del centro di massa, stabilendo l'assse y positivo verso l'alto e l'asse x positivo a sinistra:
$y_G=Rsintheta$; $x_G=Rcostheta$, derivandole due volte, e trascurando il termine dell'accelerazione proporzionale a $dot(theta)^2$ dato che nell'istante iniziale $dot(theta)=0$ ottengo:
$ddot(y_G)=Rcosthetaddot(theta)$; $ddot(x_G)=-Rsinthetaddot(theta)$
Orizzontalmente l'unica forza esterna al sistema agente dovrebbe essere la forza di attrito, pertanto:
$f_s=2Mddot(x_G)$
Verticalmente dovrei avere:
$N-2Mg=2Mddot(y_G)$
E niente, qui mi fermo, se l'asta fosse saldata con il disco, insomma se il tutto fosse un tutt'uno non avrei problemi nello studiare il moto, ma il fatto che l'asta e la ruota ruotino una indipendentemente dall'altra mi crea problemi, poi mi risulta strano il fatto che, dato che l'unica forza esterna agente orizzontalmente è la forza di attrito, il centro di massa dovrebbe spostarsi orizzontalmente nel verso di tale forza, ma la forza d'attrito crea un momento rispetto al centro della ruota che quindi ruoterà nel verso opposto alla forza di attrito, il centro di massa del sistema si sposta da una parte e la ruota si sposta dall'altra, mi sembra alquanto strano. Forse dovrei provare a considerare l'asta e il disco separatamente con le rispettive reazioni che il perno applica su di essi?
Per risolvere non vedo vie veloci.
Un'idea potrebbe essere spezzare il problema in due parti: una parte relativa all'asta, il cui lato destro viene spinto da reazioni di contatto col disco (verticali e orizzontali); l'altra parte riguarda il disco che viene spinto a sua volta dalle stesse reazioni di cui sopra cambiate di segno; e poi mettere in relazione geometrica la posizione del centro del disco con il centro dell'asta.
Escono un sacco di variabili e di equazioni, ma se uno avesse voglia di risolvere magari ci riesce.
Io però non ne ho alcuna voglia, almeno per oggi che mi sento in vacanza.
Altra idea.
Se prendiamo il punto C, centro del disco, e pensiamo a un sistema di riferimento relativo centrato in C che trasla col disco, questo sistema è un sistema accelerato nel quale si sviluppa una forza apparente pari alla accelerazione di questo sistema moltiplicata per le masse in gioco.
In questo sistema l'asta è rotante attorno a C. Prendendo proprio C come polo, si calcola la dinamica relativa dell'asta (tenendo anche conto della forza apparente). Il vantaggio è che nella valutazione dei momenti si elimina l'incognita delle forze che il centro del disco comunica all'asta nel punto C, e poi queste si calcolano in base al moto del CM dell'asta.
Poi nel sistema assoluto considerando la forza orizzontale che l'asta comunica al disco si calcola l'accelerazione del disco. Mettendo assieme i risultati di quanto trovato per asta e per disco e passando alle reazioni del piano sul disco dovrebbe uscire il risultato.
Sì insomma, anche questo abbastanza calcoloso...
Se qualcuno trova strade più rapide si faccia pure avanti, sarà il benvenuto.
Un'idea potrebbe essere spezzare il problema in due parti: una parte relativa all'asta, il cui lato destro viene spinto da reazioni di contatto col disco (verticali e orizzontali); l'altra parte riguarda il disco che viene spinto a sua volta dalle stesse reazioni di cui sopra cambiate di segno; e poi mettere in relazione geometrica la posizione del centro del disco con il centro dell'asta.
Escono un sacco di variabili e di equazioni, ma se uno avesse voglia di risolvere magari ci riesce.
Io però non ne ho alcuna voglia, almeno per oggi che mi sento in vacanza.
Altra idea.
Se prendiamo il punto C, centro del disco, e pensiamo a un sistema di riferimento relativo centrato in C che trasla col disco, questo sistema è un sistema accelerato nel quale si sviluppa una forza apparente pari alla accelerazione di questo sistema moltiplicata per le masse in gioco.
In questo sistema l'asta è rotante attorno a C. Prendendo proprio C come polo, si calcola la dinamica relativa dell'asta (tenendo anche conto della forza apparente). Il vantaggio è che nella valutazione dei momenti si elimina l'incognita delle forze che il centro del disco comunica all'asta nel punto C, e poi queste si calcolano in base al moto del CM dell'asta.
Poi nel sistema assoluto considerando la forza orizzontale che l'asta comunica al disco si calcola l'accelerazione del disco. Mettendo assieme i risultati di quanto trovato per asta e per disco e passando alle reazioni del piano sul disco dovrebbe uscire il risultato.
Sì insomma, anche questo abbastanza calcoloso...
Se qualcuno trova strade più rapide si faccia pure avanti, sarà il benvenuto.
Hmm, penso di essere arrivato a qualche conclusione. Siano $R_x$ e $Ry$ le reazioni che l'asta esercita sul disco e N la reazione vincolare normale del terreno. Consideriamo il disco, sia $ddot(x)_D$ la sua accelerazione lineare (positiva a destra) $alpha$ la sua accelerazione angolare, per puro rotolamento si ha $alpha=ddot(x)_D/R$ e risulta:
$R_x-f_s=Mddot(x)_D$
$f_s=1/2Mddot(x)_D$
$N-Mg-R_y=0$
Considerio adesso l'asta. Su di lei orizzontalmente agisce la reazione $R_x$ diretta verso sinistra e la reazione $R_y$ diretta in alto, siano $ddot(x)_A$ e $ddot(y)_A$ le accelerazioni lineari del suo centro di massa, e scelto come polo di rotazione istantaneo il perno risulta:
$R_x=Mddot(x)_A$
$R_y-Mg=Mddot(y)_A$
$Mg2R=-Iddot(theta)=-16/3MR^2ddot(theta)$
Il tutto è semplificato dal fatto che nell'istante iniziale la velocità del sistema è nulla, e pertanto il perno può essere scelto come polo di riduzione del momento dell'asta dato che è istantaneamente fermo.
Dalle relazioni di prima, se $y_A=2Rsintheta$ e $x_A=2Rcostheta$ sono le coordinate del centro di massa dell'asta si ha $ddot(y)_A=2Rcosthetaddot(theta)$ e $ddot(x)_A=-2Rsinthetaddot(theta)$, sostituendole abbiamo:
$ddot(y)_A=-3/4gcos^2(theta)$
$ddot(x)_A=3/4gsinthetacostheta$
Ancora sostutuendo si trova $ddot(x)_D$ in funzione di $ddot(x)_A$ e imponendo $f_s<=muN$ si verifica se l'attrito è sufficiente a garantire rorolamento puro, il tutto chiaramente all'istante iniziale.
Quando hai tempo mi puoi dire cosa ne pensi e se c'è qualcosa che non va nel ragionamento? Grazie
$R_x-f_s=Mddot(x)_D$
$f_s=1/2Mddot(x)_D$
$N-Mg-R_y=0$
Considerio adesso l'asta. Su di lei orizzontalmente agisce la reazione $R_x$ diretta verso sinistra e la reazione $R_y$ diretta in alto, siano $ddot(x)_A$ e $ddot(y)_A$ le accelerazioni lineari del suo centro di massa, e scelto come polo di rotazione istantaneo il perno risulta:
$R_x=Mddot(x)_A$
$R_y-Mg=Mddot(y)_A$
$Mg2R=-Iddot(theta)=-16/3MR^2ddot(theta)$
Il tutto è semplificato dal fatto che nell'istante iniziale la velocità del sistema è nulla, e pertanto il perno può essere scelto come polo di riduzione del momento dell'asta dato che è istantaneamente fermo.
Dalle relazioni di prima, se $y_A=2Rsintheta$ e $x_A=2Rcostheta$ sono le coordinate del centro di massa dell'asta si ha $ddot(y)_A=2Rcosthetaddot(theta)$ e $ddot(x)_A=-2Rsinthetaddot(theta)$, sostituendole abbiamo:
$ddot(y)_A=-3/4gcos^2(theta)$
$ddot(x)_A=3/4gsinthetacostheta$
Ancora sostutuendo si trova $ddot(x)_D$ in funzione di $ddot(x)_A$ e imponendo $f_s<=muN$ si verifica se l'attrito è sufficiente a garantire rorolamento puro, il tutto chiaramente all'istante iniziale.
Quando hai tempo mi puoi dire cosa ne pensi e se c'è qualcosa che non va nel ragionamento? Grazie
Altra idea.
Se prendiamo il punto C, centro del disco, e pensiamo a un sistema di riferimento relativo centrato in C che trasla col disco, questo sistema è un sistema accelerato nel quale si sviluppa una forza apparente pari alla accelerazione di questo sistema moltiplicata per le masse in gioco.
Ho risposto prima di leggere questo commento, e mi sa che nel mio ragionamento precedente non ho tenuto conto delle forze apparenti, mi sa che è tutto da rifare
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