Asta con molle
(TESTO IN SPOILER)Ho un'asta rigida lunga $L$ è incernierata all'asse verticale in un punto A, verso l'alto per un certo angolo $theta$. Ruota con velocità costante $omega$ intorno all'asse verticale e lungo l'asta si muove senza attrito un manicotto di massa nota (punto materiale diciamo) collegato alle due estremità dell'asta da due molle uguali con stessa costante elastica e lunghezza a risposo. In pratica le molle sono una da A fino al manicotto e l'altra dal manicotto alla fine dell'asta (punto B).
Sono note massa del manicotto, lunghezza dell'asta, costante elastica, angolo e velocità.
1) Devo trovare a che distanza da A si trova il manicotto in condizioni di equilibrio.
Questo ho pensato di risolverlo con l'equazione delle forze: le due delle molle e forza peso lungo la direzione parallela all'asta
$-2kDeltax - mgcos(theta) + momega^2Lsin(theta) = 0$
Se il manicotto è collegato alle molle il loro spostamento sarà lo stesso, anche perché sono identiche.
Se il procedimento è corretto, il $Deltax$ è negativo, avendo assunto la direzione esterna come positiva quidi significherebbe che va verso il basso. Ora però, non avendo la lunghezza a riposo, non saprei come ricavare lo spostamento a livello di valore rispetto ad essa, però penso possa andare comunque come risposta.
2) Manicotto portato in A, a che velocità arriva in B.
Significa che la molla A è compressa fino a lunghezza praticamente nulla (è possibile?) e penso di dover applicare la conservazione dell'energia meccanica. Poco prima di essere lasciato quindi è in A, dove ha solo energia potenziale data dalla compressione della molla (però come prima è collegato a entrambe, l'altra è tesa di $L$...) e per la variazione di altezza. Poi parte, rimanendo però sempre agganciato alle molle quindi non so come muovermi in questo caso. Il testo dice con velocitò nulla relativa all'asta, in che senso? Non so come usare questa informazione per il problema.
Sono note massa del manicotto, lunghezza dell'asta, costante elastica, angolo e velocità.
1) Devo trovare a che distanza da A si trova il manicotto in condizioni di equilibrio.
Questo ho pensato di risolverlo con l'equazione delle forze: le due delle molle e forza peso lungo la direzione parallela all'asta
$-2kDeltax - mgcos(theta) + momega^2Lsin(theta) = 0$
Se il manicotto è collegato alle molle il loro spostamento sarà lo stesso, anche perché sono identiche.
Se il procedimento è corretto, il $Deltax$ è negativo, avendo assunto la direzione esterna come positiva quidi significherebbe che va verso il basso. Ora però, non avendo la lunghezza a riposo, non saprei come ricavare lo spostamento a livello di valore rispetto ad essa, però penso possa andare comunque come risposta.
2) Manicotto portato in A, a che velocità arriva in B.
Significa che la molla A è compressa fino a lunghezza praticamente nulla (è possibile?) e penso di dover applicare la conservazione dell'energia meccanica. Poco prima di essere lasciato quindi è in A, dove ha solo energia potenziale data dalla compressione della molla (però come prima è collegato a entrambe, l'altra è tesa di $L$...) e per la variazione di altezza. Poi parte, rimanendo però sempre agganciato alle molle quindi non so come muovermi in questo caso. Il testo dice con velocitò nulla relativa all'asta, in che senso? Non so come usare questa informazione per il problema.
Risposte
La deformazione delle due molle è la stessa se e solo se la loro lunghezza a riposo è uguale alla metà della lunghezza dell'asta.
"anonymous_0b37e9":
La deformazione delle due molle è lo stesso se e solo se la loro lunghezza a riposo è uguale alla metà della lunghezza dell'asta.
Secondo te dal testo e dall'immagine è possibile affermare che a riposo le molle coprono l'intera lunghezza dell'asta, come se fossero"bloccate" nei due estremi (stando quindi nell'ipotesi che dici)?
E se non lo fossero, come potrei procedere?
Prima di introdurre ulteriori ipotesi, procederei in generale. Per semplicità, imporrei la condizione di equilibrio nel sistema di riferimento non inerziale dell'asta, orientando un asse lungo l'asta verso l'alto:
Componente della forza peso lungo l'asta: $-mgcos\theta$
Componente della forza centrifuga lungo l'asta: $m\omega^2d_Asin^2\theta$
Componente della forza elastica A lungo l'asta: $k(l_0-d_A)$
Componente della forza elastica B lungo l'asta: $k(L-l_0-d_A)$
Come puoi osservare, imponendo che la somma sia nulla, $l_0$ si elide.
Componente della forza peso lungo l'asta: $-mgcos\theta$
Componente della forza centrifuga lungo l'asta: $m\omega^2d_Asin^2\theta$
Componente della forza elastica A lungo l'asta: $k(l_0-d_A)$
Componente della forza elastica B lungo l'asta: $k(L-l_0-d_A)$
Come puoi osservare, imponendo che la somma sia nulla, $l_0$ si elide.
"anonymous_0b37e9":
Prima di introdurre ulteriori ipotesi, procederei in generale. Per semplicità, imporrei la condizione di equilibrio nel sistema di riferimento non inerziale dell'asta:
Componente della forza peso lungo l'asta: $mgcos\theta$
Componente della forza centrifuga lungo l'asta: $m\omega^2d_Asin^2\theta$
Sì in effetti invece di $L$ nella forza centripeta ci va appunto la distanza da A.
Invece le molle non vengono considerate nel sistema non inerziale dell'asta? Se venissero considerate sarebbe un problema non conoscendo la lunghezza a riposo.
Immagino poi che intendessi seno non seno al quadrato.
Ho completato. Veramente, non si tratta di un errore. Nell'imporre la condizione di equilibrio nel sistema di riferimento non inerziale, puoi tranquillamente considerare solo le componenti delle forze lungo l'asta.
"anonymous_0b37e9":
Ho completato. Veramente, non si tratta di un errore. Nell'imporre la condizione di equilibrio nel sistema di riferimento non inerziale, puoi tranquillamente considerare solo le componenti delle forze lungo l'asta.
Sinceramente non capisco la componente della forza elastica della seconda molla. La prima dalla lunghezza a riposo $l_0$ arriva a $d_a$ mentre la seconda sembra parta da una lunghezza $L$ pari all'asta (?)
Io avrei posto, ipotizzando che le $2l_0 = L$, $k(d_a - l_0)$ ad entrambe. Se così non fosse non ho comunque capito la tua proposta riguardo la componente della seconda molla.
Basta osservare che la forza elastica A deve essere nulla quando $[d_A=l_0]$ e che la forza elastica B deve essere nulla quando $[d_A=L-l_0]$. Per quanto riguarda i segni, avendo orientato l'asse come detto in precedenza, è abbastanza evidente che $[d_A lt l_0] rarr [F_A gt 0]$ (la molla A è compressa) e che $[d_A lt L-l_0] rarr [F_B gt 0]$ (la molla B è allungata). Se hai un po' di esperienza, queste argomentazioni dovrebbero essere sufficienti. Viceversa, stiamo qui fino a domattina. 
Ti ringrazio, in questo modo è chiaro. Diciamo che vedevo compressioni e allungamenti delle molle in modo un po' semplicistico, faccio spesso confusione con il verso della forza e degli spostamenti quando sono in coppie o in modo non standard.
Per il secondo punto domani provo a rifare qualcosa alla luce di questo, ma ho comunque molti dubbi.
Anche venendo lasciato dalla compressione fino ad A in cui ha solo energia potenziale, (mi ripeto, quindi molla a lunghezza 0 lì?) "partendo" avrebbe comunque le molle agganciate, di conseguenza non penso possa mai avere energia solo cinetica. Userò sicuramente la conservazione di energia meccanica, ma penso avrò problemi con le lunghezze delle molle nei due "punti".
Per il secondo punto domani provo a rifare qualcosa alla luce di questo, ma ho comunque molti dubbi.
Anche venendo lasciato dalla compressione fino ad A in cui ha solo energia potenziale, (mi ripeto, quindi molla a lunghezza 0 lì?) "partendo" avrebbe comunque le molle agganciate, di conseguenza non penso possa mai avere energia solo cinetica. Userò sicuramente la conservazione di energia meccanica, ma penso avrò problemi con le lunghezze delle molle nei due "punti".
Premesso che non devi considerare la forza di Coriolis, si scarica sull'asta, introducendo l'energia potenziale della forza centrifuga puoi procedere conservando l'energia meccanica:
$[1/2mv^2+mgd_Acos\theta-1/2m\omega^2d_A^2sin^2\theta+1/2k(l_0-d_A)^2+1/2k(L-l_0-d_A)^2=C] rarr$
$rarr [1/2kl_0^2+1/2k(L-l_0)^2=1/2mv^2+mgLcos\theta-1/2m\omega^2L^2sin^2\theta+1/2k(l_0-L)^2+1/2kl_0^2] rarr$
$rarr [1/2mv^2+mgLcos\theta-1/2m\omega^2L^2sin^2\theta=0] rarr$
$rarr [v=sqrt(\omega^2L^2sin^2\theta-2gLcos\theta)] ^^ [\omega^2Lsin^2\theta-2gcos\theta gt= 0]$
Ti faccio osservare che l'energia potenziale elastica non cambia e che, solo se $[\omega^2Lsin^2\theta-2gcos\theta gt= 0]$, il manicotto può raggiungere l'estremo B dell'asta.
Certamente, ma massimamente compressa con compressione uguale alla lunghezza a riposo.
P.S.
Anche la prima parte dell'esercizio ammette soluzione solo sotto opportune condizioni:
$[-mgcos\theta+m\omega^2d_Asin^2\theta+k(l_0-d_A)+k(L-l_0-d_A)=0] rarr$
$rarr [d_A=(mgcos\theta-kL)/(m\omega^2sin^2\theta-2k)] ^^ [0 lt (mgcos\theta-kL)/(m\omega^2sin^2\theta-2k) lt L]$
$[1/2mv^2+mgd_Acos\theta-1/2m\omega^2d_A^2sin^2\theta+1/2k(l_0-d_A)^2+1/2k(L-l_0-d_A)^2=C] rarr$
$rarr [1/2kl_0^2+1/2k(L-l_0)^2=1/2mv^2+mgLcos\theta-1/2m\omega^2L^2sin^2\theta+1/2k(l_0-L)^2+1/2kl_0^2] rarr$
$rarr [1/2mv^2+mgLcos\theta-1/2m\omega^2L^2sin^2\theta=0] rarr$
$rarr [v=sqrt(\omega^2L^2sin^2\theta-2gLcos\theta)] ^^ [\omega^2Lsin^2\theta-2gcos\theta gt= 0]$
Ti faccio osservare che l'energia potenziale elastica non cambia e che, solo se $[\omega^2Lsin^2\theta-2gcos\theta gt= 0]$, il manicotto può raggiungere l'estremo B dell'asta.
"valerio7":
... mi ripeto, quindi molla a lunghezza 0 lì ...
Certamente, ma massimamente compressa con compressione uguale alla lunghezza a riposo.
P.S.
Anche la prima parte dell'esercizio ammette soluzione solo sotto opportune condizioni:
$[-mgcos\theta+m\omega^2d_Asin^2\theta+k(l_0-d_A)+k(L-l_0-d_A)=0] rarr$
$rarr [d_A=(mgcos\theta-kL)/(m\omega^2sin^2\theta-2k)] ^^ [0 lt (mgcos\theta-kL)/(m\omega^2sin^2\theta-2k) lt L]$
Ti ringrazio, in effetti avevo provato ad impostare la conservazione non inserendo l'energia potenziale elastica perché uguali prima e dopo.
Per calcolare l'energia potenziale della forza centripeta io però avevo fatto $\int_{0}^{L} momega^2x dx = 1/2momega^2L^2$, come viene il termine $sin^2(theta)$? Anche prima avevo il dubbio, mi perdo evidentemente qualche relazione geometrica della forza centripeta
Per calcolare l'energia potenziale della forza centripeta io però avevo fatto $\int_{0}^{L} momega^2x dx = 1/2momega^2L^2$, come viene il termine $sin^2(theta)$? Anche prima avevo il dubbio, mi perdo evidentemente qualche relazione geometrica della forza centripeta
"valerio7":
Per calcolare l'energia potenziale della forza centripeta io però avevo fatto ...
Si deve determinare l'energia potenziale associata alla componente della forza centrifuga lungo l'asta:
$[F=m\omega^2d_Asin^2\theta] rarr [(dU)/(dd_A)=-m\omega^2d_Asin^2\theta] rarr [U=-1/2m\omega^2d_A^2sin^2\theta+C]$
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