ASTA COLLEGATA AD UNA MOLLA
Data un'asta che forma con la verticale al suolo un angolo di $60$ gradi di lunghezza $0,8 m$ e di massa $m=0,5 kg $ questa è appesa tramite la prima estremità ad un perno sul soffitto, mentre la seconda estremità è legata ad una molla anch'essa attaccata al soffitto di costante elastica $k=60 N/m$, allungata rispetto alla posizione di riposo di una certa lunghezza.
1)calcolare l'allungamento della molla.
Quando l'asta è libera di cadere e non è più mantenuta dalla molla, nel momento in cui essa è perpendicolare al suolo, impatta un blocco di massa $0,2 kg$ fermo al suolo.
Il coefficiente di attrito dinamico è $0,67$.
2)con quale velocità angolare l'asta urta il blocco.
3)quanto spazio percorre il blocco.
Per il punto 1), considerando che la molla è in equilibrio statico, la sommatoria delle forze nel centro di massa e la sommatoria dei momenti delle forze rispetto ad un qualsiasi polo è pari a 0.
Quindi dovrebbe(?) bastare sommare momenti della forza peso e della forza elastica e ricavare l'allungamento.
Per il punto 2), iniziano le mie difficoltà. Il momento di inerzia rispetto al perno sul soffitto è $I=m*l^2/3$ dove l è la lunghezza della molla, qualcuno saprebbe darmi un aiuto? Ho provato a considerare il Momento angolare della forza peso ma mi pare non ne ricavi nulla…
1)calcolare l'allungamento della molla.
Quando l'asta è libera di cadere e non è più mantenuta dalla molla, nel momento in cui essa è perpendicolare al suolo, impatta un blocco di massa $0,2 kg$ fermo al suolo.
Il coefficiente di attrito dinamico è $0,67$.
2)con quale velocità angolare l'asta urta il blocco.
3)quanto spazio percorre il blocco.
Per il punto 1), considerando che la molla è in equilibrio statico, la sommatoria delle forze nel centro di massa e la sommatoria dei momenti delle forze rispetto ad un qualsiasi polo è pari a 0.
Quindi dovrebbe(?) bastare sommare momenti della forza peso e della forza elastica e ricavare l'allungamento.
Per il punto 2), iniziano le mie difficoltà. Il momento di inerzia rispetto al perno sul soffitto è $I=m*l^2/3$ dove l è la lunghezza della molla, qualcuno saprebbe darmi un aiuto? Ho provato a considerare il Momento angolare della forza peso ma mi pare non ne ricavi nulla…
Risposte
per la 2) userei la formula $L=1/2Iomega^2$ con $L$ lavoro della forza-peso
per la 3) si ha sicuramente la conservazione del momento angolare rispetto al perno , ma avremmo bisogno di un'altra informazione (perchè abbiamo due incognite : velocità angolare dell'asta dopo l'urto e velocità del blocco)
ad esempio, l'urto è elastico? l'asta subito dopo l'urto si ferma di colpo?
per la 3) si ha sicuramente la conservazione del momento angolare rispetto al perno , ma avremmo bisogno di un'altra informazione (perchè abbiamo due incognite : velocità angolare dell'asta dopo l'urto e velocità del blocco)
ad esempio, l'urto è elastico? l'asta subito dopo l'urto si ferma di colpo?
Grazie innanzitutto.
Per il secondo punto, quindi avrei che il lavoro della forza peso(forza conservativa, quindi il lavoro varia solo in base alle funzioni di stato iniziale e finale) risulta essere $L=-\DeltaU=U_i-U_f=mgl(1-cos70^circ)$ il lavoro è a sua volta pari alla variazione di energia cinetica, quindi $L=DeltaK=1/2 * I*(omega_f)^2$.
Quindi $omega_f=sqrt(mgl(1-cos70^circ))/I$ dove $ I=1/3 *m*l^2$.
Per il terzo punto ho commesso una dimenticanza nella traccia: "L'asta si ferma nell'urto".
Considererei il caso di un urto anaelastico, quindi per la presenza del vincolo su una estremità dell'asta, la quantità di moto e l'energia cinetica del sistema non si conservano.
Quindi la velocità angolare dell'asta dopo l'urto è 0.
Nella situazione iniziale, immediatamente precedente all'urto, il momento angolare(che indico sempre con L), vale
$L_i=Iomega_i=1/3 *m*l^2 *omega_i$ dove $omega_i$ sarebbe la velocità angolare ricavata in precedenza.
Nella situazione finale invece:
$L_f=Iomega_f+m_c*v*l$ dove il primo termine è il momento angolare finale dell'asta(quindi vale 0), il secondo termine è il momento angolare del corpo inizialmente fermo al suolo, rispetto al perno sul soffitto.
Quindi la velocità con cui il blocco parte dopo l'urto è:
$v=(1/3 *m *omega_i)/m_c$
La reazione vincolare del piano sul corpo è $N=m_c*g$ quindi la forza di attrito dinamico è:$f_d=mu_d*N$
Quindi il corpo subisce in orizzontale una decelerazione data dalla forza di attrito dinamico che si oppone alla velocità del corpo. Quindi $a_c=(mu_d*N)/m_c$
Il moto è uniformemente decelerato, dunque indicando con $x$ lo spazio percorso:
$a_c=(dv)/dt rarr a_c=(dv)/dx * dx/dt=(dv)/dx *v rarr a_c(x-x_o)=v^2/2 - (v_0)^2/2 $ con $x_0=0 v_0=0$
Dovrebbe essere tutto giusto, purtroppo però non ho i risultati e non posso controllare i calcoli...
Per il secondo punto, quindi avrei che il lavoro della forza peso(forza conservativa, quindi il lavoro varia solo in base alle funzioni di stato iniziale e finale) risulta essere $L=-\DeltaU=U_i-U_f=mgl(1-cos70^circ)$ il lavoro è a sua volta pari alla variazione di energia cinetica, quindi $L=DeltaK=1/2 * I*(omega_f)^2$.
Quindi $omega_f=sqrt(mgl(1-cos70^circ))/I$ dove $ I=1/3 *m*l^2$.
Per il terzo punto ho commesso una dimenticanza nella traccia: "L'asta si ferma nell'urto".
Considererei il caso di un urto anaelastico, quindi per la presenza del vincolo su una estremità dell'asta, la quantità di moto e l'energia cinetica del sistema non si conservano.
Quindi la velocità angolare dell'asta dopo l'urto è 0.
Nella situazione iniziale, immediatamente precedente all'urto, il momento angolare(che indico sempre con L), vale
$L_i=Iomega_i=1/3 *m*l^2 *omega_i$ dove $omega_i$ sarebbe la velocità angolare ricavata in precedenza.
Nella situazione finale invece:
$L_f=Iomega_f+m_c*v*l$ dove il primo termine è il momento angolare finale dell'asta(quindi vale 0), il secondo termine è il momento angolare del corpo inizialmente fermo al suolo, rispetto al perno sul soffitto.
Quindi la velocità con cui il blocco parte dopo l'urto è:
$v=(1/3 *m *omega_i)/m_c$
La reazione vincolare del piano sul corpo è $N=m_c*g$ quindi la forza di attrito dinamico è:$f_d=mu_d*N$
Quindi il corpo subisce in orizzontale una decelerazione data dalla forza di attrito dinamico che si oppone alla velocità del corpo. Quindi $a_c=(mu_d*N)/m_c$
Il moto è uniformemente decelerato, dunque indicando con $x$ lo spazio percorso:
$a_c=(dv)/dt rarr a_c=(dv)/dx * dx/dt=(dv)/dx *v rarr a_c(x-x_o)=v^2/2 - (v_0)^2/2 $ con $x_0=0 v_0=0$
Dovrebbe essere tutto giusto, purtroppo però non ho i risultati e non posso controllare i calcoli...
Volevo fare una domanda… da cosa si deduce che il momento angolare si conserva?
Perché ho seguito ciecamente il tuo consiglio senza però comprenderne il perché...
Perché ho seguito ciecamente il tuo consiglio senza però comprenderne il perché...
nell'urto tra due corpi liberi si conserva sia la quantità di moto che il momento angolare perchè le forze non impulsive passano in secondo piano
negli urti tra un corpo vincolato e un corpo libero , la quantità di moto non si conserva perchè si sviluppa una non trascurabile forza impulsive; questa forza impulsiva invece non fa variare il momento angolare rispetto al punto in cui si esercita( nel nostro caso il perno)
negli urti tra un corpo vincolato e un corpo libero , la quantità di moto non si conserva perchè si sviluppa una non trascurabile forza impulsive; questa forza impulsiva invece non fa variare il momento angolare rispetto al punto in cui si esercita( nel nostro caso il perno)
perfetto grazie!
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