Asta che urta un sostegno
Nella seguente immagine un'asta di lunghezza $L$ e massa $m$ è imperniata in $C$ ad un sostegno verticale a distanza $L/3$ da $A$, agli estremi $A$ e $B$ sono saldati due masse $M$ e $m$ rispettivamente, il sistema si trova inizialmente fermo a $theta=pi/3$.
i) L'asta ruota finché $M$ non urta il sostegno, supponendo l'urto elastico, si determini l'impulso che il sostegno applica all'asta (si supponga che venga applicato in $A$)
ii) L'asta ruota fimché M non urta il sostegno, l'urto è completamente anelastico e si rompe la saldatura in B, calcolare la velocità della massa $m$ dopo essersi staccata dall'asta.
Il punto $i)$ credo non mi crei problemi, infatti detta $omega_i$ la velocità angolare con cui il sistema urta il sostegno, poiché l'urto è elastico, la velocità angolare del sistema dopo l'urto dovrà essere $omega_f=-omega_i$ e la variazione del momento angolare è $DeltaL=-2Iomega_i$, dal teorema dell'umpulso, detto $J$ l'impulso che il sostegno applica in $A$ si ha:
$J(L/3)=-2Iomega_i$, da cui si ricava il $J$ cercato.
Il punto $ii)$ invece mi crea dei problemi perché l'urto è perfettamente anelastico, quindi non si conserva né l'energia, né il momento angolare né tantomeno la quantità di moto, quindi non saprei su quale base determinare la velocità con cui la massa si stacca.
i) L'asta ruota finché $M$ non urta il sostegno, supponendo l'urto elastico, si determini l'impulso che il sostegno applica all'asta (si supponga che venga applicato in $A$)
ii) L'asta ruota fimché M non urta il sostegno, l'urto è completamente anelastico e si rompe la saldatura in B, calcolare la velocità della massa $m$ dopo essersi staccata dall'asta.
Il punto $i)$ credo non mi crei problemi, infatti detta $omega_i$ la velocità angolare con cui il sistema urta il sostegno, poiché l'urto è elastico, la velocità angolare del sistema dopo l'urto dovrà essere $omega_f=-omega_i$ e la variazione del momento angolare è $DeltaL=-2Iomega_i$, dal teorema dell'umpulso, detto $J$ l'impulso che il sostegno applica in $A$ si ha:
$J(L/3)=-2Iomega_i$, da cui si ricava il $J$ cercato.
Il punto $ii)$ invece mi crea dei problemi perché l'urto è perfettamente anelastico, quindi non si conserva né l'energia, né il momento angolare né tantomeno la quantità di moto, quindi non saprei su quale base determinare la velocità con cui la massa si stacca.
Risposte
"Vulplasir":
Il punto $ii)$ invece mi crea dei problemi perché l'urto è perfettamente anelastico, quindi non si conserva né l'energia, né il momento angolare né tantomeno la quantità di moto, quindi non saprei su quale base determinare la velocità con cui la massa si stacca.
Ma se il problema dice di supporre l'impulso applicato in A (e solo in A, pare), allora prendendo proprio A come polo, il momento angolare si conserva e la massa m viene scagliata a una velocità $v=(I\omega_i)/(mL)$.
O almeno così interpreto.
Oh, colpa mia, in verità quei due punti sono tratti da due problemi diversi, nel punto i) vi è solo l'asta senza le due masse saldate, mentre nel problema del punto ii) vi sono anche le due masse. Il punto i) dice esplicitamente che l'impulso è calcolato in A mentre nel 2 non lo dice perché dice proprio che è la massa M che urta e quindi ovviamente è calcolato in A. Quindi, si mi sa che la tua interpretazione è corretta, quindi dovrebbe conservarsi il momento angolare rispetto a A.
Adesso però mi hai messo dei dubbi sul punto $i)$, dove vi è solo l'asta senza le due masse saldate, infatti se indico le coordinate del centro di massa rispetto al perno ho:
$x_G=L/6sintheta$; $y_G=L/6costheta$ da cui in $theta=0$ al momento dell'urto ho:
$dot(x)_G=L/6omega$ e $dot(y)_G=0$, quindi la variazione di quantità di moto del sistema è $-1/3MLomega$ che pertanto dovrebbe essere uguale all'impulso del sostegno. Il problema è che questo risultato non è uguale a quello ricavato nel precedente che risulta $J=-2/3MLomega$, il doppio. In quale tra questi due procedimenti sbaglio?
Adesso però mi hai messo dei dubbi sul punto $i)$, dove vi è solo l'asta senza le due masse saldate, infatti se indico le coordinate del centro di massa rispetto al perno ho:
$x_G=L/6sintheta$; $y_G=L/6costheta$ da cui in $theta=0$ al momento dell'urto ho:
$dot(x)_G=L/6omega$ e $dot(y)_G=0$, quindi la variazione di quantità di moto del sistema è $-1/3MLomega$ che pertanto dovrebbe essere uguale all'impulso del sostegno. Il problema è che questo risultato non è uguale a quello ricavato nel precedente che risulta $J=-2/3MLomega$, il doppio. In quale tra questi due procedimenti sbaglio?
Scusa ma non ci capisco niente.
Nel punto i si nomina espressamente la massa M, e si dice che l'urto avviene in A. Come fai a dire che nella domanda i non ci sono le masse M e m? se non ci sono, l'asta ruota sicuramente dall'altra parte e non può colpire il sostegno in A
Nel punto i si nomina espressamente la massa M, e si dice che l'urto avviene in A. Come fai a dire che nella domanda i non ci sono le masse M e m? se non ci sono, l'asta ruota sicuramente dall'altra parte e non può colpire il sostegno in A
Si ho fatto un gran casino, l'immagine del punto i) è questa
In pratica la stessa asta di massa m ma con una molla di lunghezza a riposo nulla attaccato in A tra asta e sostegno, che fa si che il sistema ruoti in senso antiorario e urti quando $theta=0$, il punto i) chiede quindi in verità:
i) si calcoli l'impulso che il sostegno applica all'asta supponendo che l'urto sia completamente elastico (si supponga tale impulso applicato in A)
In pratica la stessa asta di massa m ma con una molla di lunghezza a riposo nulla attaccato in A tra asta e sostegno, che fa si che il sistema ruoti in senso antiorario e urti quando $theta=0$, il punto i) chiede quindi in verità:
i) si calcoli l'impulso che il sostegno applica all'asta supponendo che l'urto sia completamente elastico (si supponga tale impulso applicato in A)
In realtà l'impulso in A da solo non basterebbe, ci deve essere anche un impulso in C, altrimenti non si potrebbe invertire la velocità del CM. Ad ogni modo l'impulso in A si calcola mettendo il polo in C, così l'impulso in C non influisce, e il procedimento è quello che avevi detto all'inizio.
Mmh, si proprio come pensavo, ci deve essere anche un impulso nel perno, ed è questo che non mi torna sulla tua soluzione del problema 2, infatti ci dovrebbe essere un impulso sia in A dove M urta con il sostegno, sia nel perno C, pertanto il momento angolare rispetto a A non si dovrebbe conservare, o no? Il problema mi pare indeterminato.
P.s. nel punto 2 il problema non dice nulla su dove venga applicato l'impulso, dice solo che M urta il sostegno, quindi ci dovrebbero appunto essere sia un impulso su M del sostegno sia un impulso del perno C.
Mi sa che stanti così le cose, in assenza di altre informazioni sia semplicemente $v=(2/3)Lomega$. Grazie dell'aiuto!
Frena, frena...
Se nessuno dice che l'impulso avvenga esclusivamente in A allora la soluzione va calcolata in modo più generale, cioè ammettendo impulso anche in C.
Allora proviamo a immaginare un sistema di riferimento cartesiano centrato il C con l'asse y verso l'alto e l'asse x verso sinistra, e prefissiamo il verso antiorario come positivo per i momenti.
Abbiamo la seguente situazione.
$$\eqalign{
& {\text{Polo in C}} \cr
& {\text{momento angolare prima dell'urto: }}{\omega _i}{I_C} \cr
& {\text{momento angolare dopo l'urto: }}mv\frac{2}
{3}L \cr
& {\text{momento dell'impulso agente: }} - {J_A}\frac{1}
{3}L \cr
& {\text{Polo in A}} \cr
& {\text{momento angolare prima dell'urto: }}{\omega _i}{I_A} \cr
& {\text{momento angolare dopo l'urto: }}mvL \cr
& {\text{momento dell'impulso agente: }}{J_C}\frac{1}
{3}L \cr
& {\text{Calcolo quantita' di moto}} \cr
& {\text{quantita' di moto prima dell'urto: }}\left( {2m + M} \right){\omega _i}{y_{CM}} \cr
& {\text{quantita' di moto dopo l'urto: }}mv \cr
& {\text{impulso agente: }}{J_C} + {J_A} \cr} $$
Le incognite sono 3: i due impulsi e la velocità finale v della massa m. Dunque mi sembra risolvibile, ma io non ho nessuna voglia di mettermi a risolverlo
Se nessuno dice che l'impulso avvenga esclusivamente in A allora la soluzione va calcolata in modo più generale, cioè ammettendo impulso anche in C.
Allora proviamo a immaginare un sistema di riferimento cartesiano centrato il C con l'asse y verso l'alto e l'asse x verso sinistra, e prefissiamo il verso antiorario come positivo per i momenti.
Abbiamo la seguente situazione.
$$\eqalign{
& {\text{Polo in C}} \cr
& {\text{momento angolare prima dell'urto: }}{\omega _i}{I_C} \cr
& {\text{momento angolare dopo l'urto: }}mv\frac{2}
{3}L \cr
& {\text{momento dell'impulso agente: }} - {J_A}\frac{1}
{3}L \cr
& {\text{Polo in A}} \cr
& {\text{momento angolare prima dell'urto: }}{\omega _i}{I_A} \cr
& {\text{momento angolare dopo l'urto: }}mvL \cr
& {\text{momento dell'impulso agente: }}{J_C}\frac{1}
{3}L \cr
& {\text{Calcolo quantita' di moto}} \cr
& {\text{quantita' di moto prima dell'urto: }}\left( {2m + M} \right){\omega _i}{y_{CM}} \cr
& {\text{quantita' di moto dopo l'urto: }}mv \cr
& {\text{impulso agente: }}{J_C} + {J_A} \cr} $$
Le incognite sono 3: i due impulsi e la velocità finale v della massa m. Dunque mi sembra risolvibile, ma io non ho nessuna voglia di mettermi a risolverlo
Qualcosa non mi torna, le equazioni dovrebbero essere:
$J_A+J_C=mv-Momegay$ (indico con $M$ la massa totale del sistema per semplicità)
$J_CL/3=mvL-omegaI_A$
$-J_AL/3=2mvL/3-omegaI_C$
Facendo la sottrazione tra la seconda e la terza:
$(J_A+J_C)L/3=mvL/3-omega(I_A-I_C)$
Come si vede, dividendo tutto per $L/3$, ottengo a destra $mv$ e andando a sostituire questo risultato nella prima, $mv$ a destra e $mv$ a sinistra si eliminano, producendo una identità.
$J_A+J_C=mv-Momegay$ (indico con $M$ la massa totale del sistema per semplicità)
$J_CL/3=mvL-omegaI_A$
$-J_AL/3=2mvL/3-omegaI_C$
Facendo la sottrazione tra la seconda e la terza:
$(J_A+J_C)L/3=mvL/3-omega(I_A-I_C)$
Come si vede, dividendo tutto per $L/3$, ottengo a destra $mv$ e andando a sostituire questo risultato nella prima, $mv$ a destra e $mv$ a sinistra si eliminano, producendo una identità.
Cercavo di evitare... ma a quanto pare 
mi tocca immergermi nell'algebra... sigh! 
Dammi tempo.
mi tocca immergermi nell'algebra... sigh! Dammi tempo.
In effetti le tue relazioni sono giuste (salvo vedere cosa vale $I_A$ che non è proprio banale, ma questo sarebbe un problema successivo), il che significa che le equazioni non sono linearmente indipendenti, per cui il problema è indeterminato.
Ma rileggendo il testo, direi che la sua indeterminatezza è proprio insita nell'enunciato.
Che significa "l'urto è completamente anelastico"?
Di solito quando una pallina colpisce un'altra con urto completamente anelastico, oppure un proiettile si pianta in un bersaglio, significa che i due corpi dopo l'urto viaggiano insieme con un'unica velocità comune.
In questo caso la velocità comune è quella del sostegno, che è fermo, dunque se la saldatura non si rompesse l'energia cinetica finale sarebbe nulla e tutta l'energia cinetica si perderebbe in calore. In questo caso questo significherebbe "urto completamente anelastico".
Però non è possibile che in questo caso tutta l'energia si perda, perché la massa superiore viene lanciata. Dunque per prima cosa è sbagliato dire che l'urto è completamente anelastico.
Consideriamo adesso un dettaglio: la saldatura per rompersi necessita di energia. Questa energia di rottura, rubata dunque all'energia cinetica prima dell'urto, potrebbe essere tale da consumare completamente l'energia residua, e anche in questo caso sarebbe giusto dire che l'urto è completamente anelastico, però una parte dell'energia andrebbe in calore, e la parte rimanente sarebbe l'energia necessaria a rompere la saldatura. Se le cose stessero così la massa superiore resterebbe dov'è, però in precario equilibrio, staccata dall'asta ma in posizione, dunque ferma.
Esiste poi una infinità di casi intermedi, nei quali però l'urto non si può dire completamente anelastico, nei quali rimane una certa energia residua che è quella cinetica della massa m lanciata. A seconda di quanta energia serve per rompere la saldatura, sono possibili infiniti casi, la velocità può essere zero (tutta l'energia viene consumata nella rottura della saldatura) oppure $v=\omega2/3L$ che non è altro che la velocità che aveva la massa m prima dell'urto, il che significa che la saldatura era debolissima, per rompere la quale non si è praticamente consumata quasi nessuna energia.
Ecco: forse ci siamo complicati la vita per niente perché il problema chiedeva semplicemente questo: l'urto si intende anelastico per quanto concerne la massa inferiore M e l'asta, nel senso che dopo l'urto restano ferme (dicendolo malissimo, però), mentre la massa superiore si stacca conservando la propria energia cinetica. D'altra parte è abbastanza ovvio che per risolvere un problema di meccanica occorra avere informazioni energetiche sul processo, no? Dunque credo che la risposta sia molto semplice e che l'enunciato di questo quesito sia davvero pessimo.
Per conoscere separatamente i due impulsi, in A e in C, occorrerebbe già conoscere la velocità del corpo lanciato, bisognerebbe cioè che questo fosse un dato del problema. Ma se ipotizziamo che la soluzione sia quella semplice che ho scritto sopra, allora in questa ipotesi anche i due impulsi sono calcolabili.
Ma rileggendo il testo, direi che la sua indeterminatezza è proprio insita nell'enunciato.
Che significa "l'urto è completamente anelastico"?
Di solito quando una pallina colpisce un'altra con urto completamente anelastico, oppure un proiettile si pianta in un bersaglio, significa che i due corpi dopo l'urto viaggiano insieme con un'unica velocità comune.
In questo caso la velocità comune è quella del sostegno, che è fermo, dunque se la saldatura non si rompesse l'energia cinetica finale sarebbe nulla e tutta l'energia cinetica si perderebbe in calore. In questo caso questo significherebbe "urto completamente anelastico".
Però non è possibile che in questo caso tutta l'energia si perda, perché la massa superiore viene lanciata. Dunque per prima cosa è sbagliato dire che l'urto è completamente anelastico.
Consideriamo adesso un dettaglio: la saldatura per rompersi necessita di energia. Questa energia di rottura, rubata dunque all'energia cinetica prima dell'urto, potrebbe essere tale da consumare completamente l'energia residua, e anche in questo caso sarebbe giusto dire che l'urto è completamente anelastico, però una parte dell'energia andrebbe in calore, e la parte rimanente sarebbe l'energia necessaria a rompere la saldatura. Se le cose stessero così la massa superiore resterebbe dov'è, però in precario equilibrio, staccata dall'asta ma in posizione, dunque ferma.
Esiste poi una infinità di casi intermedi, nei quali però l'urto non si può dire completamente anelastico, nei quali rimane una certa energia residua che è quella cinetica della massa m lanciata. A seconda di quanta energia serve per rompere la saldatura, sono possibili infiniti casi, la velocità può essere zero (tutta l'energia viene consumata nella rottura della saldatura) oppure $v=\omega2/3L$ che non è altro che la velocità che aveva la massa m prima dell'urto, il che significa che la saldatura era debolissima, per rompere la quale non si è praticamente consumata quasi nessuna energia.
Ecco: forse ci siamo complicati la vita per niente perché il problema chiedeva semplicemente questo: l'urto si intende anelastico per quanto concerne la massa inferiore M e l'asta, nel senso che dopo l'urto restano ferme (dicendolo malissimo, però), mentre la massa superiore si stacca conservando la propria energia cinetica. D'altra parte è abbastanza ovvio che per risolvere un problema di meccanica occorra avere informazioni energetiche sul processo, no? Dunque credo che la risposta sia molto semplice e che l'enunciato di questo quesito sia davvero pessimo.
Per conoscere separatamente i due impulsi, in A e in C, occorrerebbe già conoscere la velocità del corpo lanciato, bisognerebbe cioè che questo fosse un dato del problema. Ma se ipotizziamo che la soluzione sia quella semplice che ho scritto sopra, allora in questa ipotesi anche i due impulsi sono calcolabili.
Già, era molto più semplice di quanto pensassi (cioè, lo sarebbe stato se il quesito fosse stato espresso per bene). Ti ringrazio ancora! 
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