Asta che ruota e poi si rompe

[giuseppeangora]

Una sbarra, di lunghezza l = 117.7 cm e densità di massa uniforme, può ruotare liberamente intorno a un asse passante per uno dei suoi estremi. La sbarra `e inizialmente tenuta in posizione orizzontale e, a un certo istante, viene lasciata libera di cadere. Quando la sbarra raggiunge la posizione verticale si rompe nel suo punto di mezzo senza che la rottura generi
forze impulsive. Calcolare:
1. la velocità angolare della sbarra nell'istante in cui si rompe;
2. l’angolo \(\displaystyle \theta \) massimo di oscillazione del pezzo di sbarra superiore;
3. la velocità del centro di massa del frammento inferiore subito dopo la rottura della sbarra. Si descriva il moto del frammento inferiore da questo istante in poi.

Per risolvere il primo punto considero semplicemente la conservazione dell'energia: tenendo presente che il centro di massa dell'asta coincide con il centro l'abbassamento di questo è \(\displaystyle l/2 \), quindi:
\(\displaystyle Mgl/2=1/2I\omega^2 \rightarrow w=\sqrt{3g/l} \).
Una volta che l'asta si rompe, il pezzo di sopra continua a ruotare con una velocità angolare (maggiore immagino), ma nella conservazione del momento angolare devo considerare anche il pezzo inferiore: qualcosa del genere:
\(\displaystyle I\omega = I_1\omega_1+\dots \),
cosa aggiungere a questa equazione in modo tale da considerare il pezzo inferiore.

[anonymous_0b37e9]

"giuseppeangora":
... il pezzo di sopra continua a ruotare con una velocità angolare (maggiore immagino) ...

Se la rottura non genera forze impulsive, la velocità angolare non cambia.

[giuseppeangora]

Se la rottura non genera forze impulsive, la velocità angolare non cambia.

Mi stai suggerendo che posso scrivere la seguente equazione:
\( \displaystyle I\omega = I_1\omega_1+I_2\omega_2 \)
con \(\displaystyle \omega_1=\omega_2 \)

????

[donald_zeka]

Non sei molto bravo a capire i suggerimenti vedo...

[donald_zeka]

Comunque neanch'io ho colto il suggerimento di Sergeant Elias, il pezzo sotto continua a ruotare con veloità angolare $omega_0$ che aveva l'asta intera prima di rompersi, ma la velocità angolare dell'asta rimasta appesa cambia, perché è il suo momento angolare che si conserva non la velocità angolare

[anonymous_0b37e9]

Il pezzo di sopra esercita una reazione vincolare interna sul pezzo di sotto e il pezzo di sotto esercita una reazione vincolare interna opposta sul pezzo di sopra. Quando i due pezzi si staccano la reazione vincolare interna si annulla, quindi, è come se sul pezzo di sopra agisse un sistema di forze che annulla la reazione vincolare interna che esso subiva dal pezzo di sotto prima del distacco. Se questo sistema di forze non è impulsivo e il distacco è istantaneo non cambia nulla. Se si vuole procedere mediante la conservazione del momento angolare, si conserva il momento angolare del pezzo di sopra che, mantenendo invariato il proprio momento d'inerzia, mantiene invariata anche la propria velocità angolare.

[donald_zeka]

Giusto, è come una catapulta. Comunque, in questo tipi di esercizi, l'ipotesi del testo che non ci siano forze impulsive è fondamentale, perché in teoria il problema sarebbe indeterminato assumendo l'esistenza di forse impulsive scambiate tra le due parti...almeno credo. Ed è la stessa questione che mi ponevo in un altro topic per la catapulta riguardo alla velocità con cui viene lanciato il masso, ipotizzando che il braccio e il masso si scambino una forza impulsiva all'istante del lancio, il problema è indeterminato.