Assi principali di inerzia
Mi spiegate perchè quando la terna è principale di inerzia i prodotti di inerzia si annullano??
Risposte
Per definizione, gli assi principali di inerzia sono gli autovettori del tensore d'inerzia. Il che significa che il tensore nella base degli assi principali è diagonalizzato, ovvero che ha componenti nulli fuori dalla diagonale. I prodotti d'inerzia sono esattamente i componenti fuori diagonale del tensore nella base degli assi principali.
"hamilton":
Per definizione, gli assi principali di inerzia sono gli autovettori del tensore d'inerzia. Il che significa che il tensore nella base degli assi principali è diagonalizzato, ovvero che ha componenti nulli fuori dalla diagonale. I prodotti d'inerzia sono esattamente i componenti fuori diagonale del tensore nella base degli assi principali.
hamilton, hai preso un svista nell'ultima frase.
Infatti, i prodotti di inerzia sono i componenti fuori diagonale del tensore di inerzia, in una base qualsiasi relativa al punto in esame.
Nella base degli assi principali, lo hai detto prima, questi prodotti fuori diagonale sono nulli.
Ok,però il libro lo affronta in modo diverso ora vi contestualizzo il discorso:
(stiamo parlando di ellissoidi di inerzia)"Supponiamo che la terna di riferimento coincida con gli assi principali di inerzia dell'ellisoide;il piano xy risulta essere un piano di simmetria,quindi P(x,y,z) e P'(x,y,-z) appartengono all'ellissoide e devono,quindi,soddisfare l'equazione di quest'ultimo.Per soddisfarla devono risultare nulli i prodotti di inerzia contenenti z => J23=J13=0"
(Vengono introdotti solo dopo gli autvalori e autovettori relativi ai tensori)
(stiamo parlando di ellissoidi di inerzia)"Supponiamo che la terna di riferimento coincida con gli assi principali di inerzia dell'ellisoide;il piano xy risulta essere un piano di simmetria,quindi P(x,y,z) e P'(x,y,-z) appartengono all'ellissoide e devono,quindi,soddisfare l'equazione di quest'ultimo.Per soddisfarla devono risultare nulli i prodotti di inerzia contenenti z => J23=J13=0"
(Vengono introdotti solo dopo gli autvalori e autovettori relativi ai tensori)
Oops hai ragione, mea culpa. Ovviamente la definizione dei prodotti di inerzia non prevede che siano calcolati nella base principale, questo è semplicemente richiesto dalla domanda dell'OP, chiedo scusa per la svista.
Se ho tempo e non lo fa nessun altro più tardi cerco di tirar su una risposta che non faccia riferimento esplicitamente all'algebra lineare.
Se ho tempo e non lo fa nessun altro più tardi cerco di tirar su una risposta che non faccia riferimento esplicitamente all'algebra lineare.
TI ringrazio ^^
Capita, non preoccuparti.
Cerco di anticipare qualcosa per Nick, poi se vuoi aggiungere altro fa pure.
Nick, è strano che il tuo libro (e il tuo prof) arrivino a dire che i prodotti di inerzia sono nulli, partendo dall'ellissoide di inerzia, che quindi si suppone già noto. Spesso si procede nel modo opposto.
Comunque...
Dato un "corpo rigido" e un polo $O$, che può essere anche fuori del corpo, per $O$ passa un fascio di rette. Rispetto ad ognuna di esse si definisce il momento di inerzia. Assumi una terna cartesiana qualsiasi $Oxyz$, e su ognuna di queste rette del fascio riporta, a partire da $O$ e da entrambe le parti un segmento $OP$ di lunghezza uguale a $1/sqrt(I)$: determini una superficie di secondo ordine, finita, cioè una quadrica, evidentemente a simmetria centrale per come è stata costruita, che è appunto un ellissoide, l'ellissoide di inerzia relativo ad $O$.
Nella equazione cartesiana dell'ellissoide, compaiono termini in $x^2,y^2,z^2, xy, yz, zx$ in genere non nulli. I coefficienti di tali termini sono i rispettivi momenti di inerzia e i momenti deviatori, calcolati per quella terna. (La dimostrazione è Geometria Analitica, la trovi in tutti i libri di MR).
Se ora fai una trasformazione di coordinate ad assi $x_0,y_0,z_0$ con la stessa origine $O$ ma coincidenti con gli assi principali dell'ellissoide, scompaiono in termini misti in $x_0y_0 , x_0z_0 , y_0z_0$ , e rimangono solo quelli in $x_0^2 , y_0^2, z_0^2$ . E questo significa appunto che i prodotti di inerzia relativi alla terna principale sono nulli.
Il momento di inerzia rispetto ad un asse qualsiasi, passante per $O$ , se la terna di riferimento è quella principale in $O$, è espresso da una combinazione lineare dei momenti principali di inerzia, essendo ovviamnte nulli i prodotti di inerzia. Se la terna è qualsiasi, compaiono anche i momenti deviatori.
Ma non mi chiedere dimostrazioni analitiche!
C'è in aggiunta una importante questione fisica, legata a questi concetti. Se consideri il moto del corpo rigido attorno al punto $O$ ( assunto quindi fisso), quando l'asse di rotazione coincide con uno dei tre assi principali di inerzia per $O$, il vettore velocità angolare $\vec\omega$ e il vettore momento angolare $\vecL$ rispetto ad $O$ sono paralleli, giacciono sullo stesso asse di rotazione. Se invece l'asse di rotazione non è principale per $O$, i due vettori non sono paralleli.
Quest'ultima condizione (asse di rotazione non principale) è causa di squilibri dinamici (oltre che statici, che sussistono comunque se $O$ non è il Cdm del corpo, anche se l'asse di rotazione è principale per $O$ ), come ben sa qualunque studente che studia la Meccanica delle Macchine.
In genere, per eliminare ( ridurre al minimo accettabile...) squilibri statici e dinamici, l'asse di rotazione deve essere "baricentrico" e " principale di inerzia" . Esempio : la girante di una turbina, le ruote delle automobili, le eliche... e pure un albero a manovelle di un motore a c.i.
Cerco di anticipare qualcosa per Nick, poi se vuoi aggiungere altro fa pure.
Nick, è strano che il tuo libro (e il tuo prof) arrivino a dire che i prodotti di inerzia sono nulli, partendo dall'ellissoide di inerzia, che quindi si suppone già noto. Spesso si procede nel modo opposto.
Comunque...
Dato un "corpo rigido" e un polo $O$, che può essere anche fuori del corpo, per $O$ passa un fascio di rette. Rispetto ad ognuna di esse si definisce il momento di inerzia. Assumi una terna cartesiana qualsiasi $Oxyz$, e su ognuna di queste rette del fascio riporta, a partire da $O$ e da entrambe le parti un segmento $OP$ di lunghezza uguale a $1/sqrt(I)$: determini una superficie di secondo ordine, finita, cioè una quadrica, evidentemente a simmetria centrale per come è stata costruita, che è appunto un ellissoide, l'ellissoide di inerzia relativo ad $O$.
Nella equazione cartesiana dell'ellissoide, compaiono termini in $x^2,y^2,z^2, xy, yz, zx$ in genere non nulli. I coefficienti di tali termini sono i rispettivi momenti di inerzia e i momenti deviatori, calcolati per quella terna. (La dimostrazione è Geometria Analitica, la trovi in tutti i libri di MR).
Se ora fai una trasformazione di coordinate ad assi $x_0,y_0,z_0$ con la stessa origine $O$ ma coincidenti con gli assi principali dell'ellissoide, scompaiono in termini misti in $x_0y_0 , x_0z_0 , y_0z_0$ , e rimangono solo quelli in $x_0^2 , y_0^2, z_0^2$ . E questo significa appunto che i prodotti di inerzia relativi alla terna principale sono nulli.
Il momento di inerzia rispetto ad un asse qualsiasi, passante per $O$ , se la terna di riferimento è quella principale in $O$, è espresso da una combinazione lineare dei momenti principali di inerzia, essendo ovviamnte nulli i prodotti di inerzia. Se la terna è qualsiasi, compaiono anche i momenti deviatori.
Ma non mi chiedere dimostrazioni analitiche!
C'è in aggiunta una importante questione fisica, legata a questi concetti. Se consideri il moto del corpo rigido attorno al punto $O$ ( assunto quindi fisso), quando l'asse di rotazione coincide con uno dei tre assi principali di inerzia per $O$, il vettore velocità angolare $\vec\omega$ e il vettore momento angolare $\vecL$ rispetto ad $O$ sono paralleli, giacciono sullo stesso asse di rotazione. Se invece l'asse di rotazione non è principale per $O$, i due vettori non sono paralleli.
Quest'ultima condizione (asse di rotazione non principale) è causa di squilibri dinamici (oltre che statici, che sussistono comunque se $O$ non è il Cdm del corpo, anche se l'asse di rotazione è principale per $O$ ), come ben sa qualunque studente che studia la Meccanica delle Macchine.
In genere, per eliminare ( ridurre al minimo accettabile...) squilibri statici e dinamici, l'asse di rotazione deve essere "baricentrico" e " principale di inerzia" . Esempio : la girante di una turbina, le ruote delle automobili, le eliche... e pure un albero a manovelle di un motore a c.i.
"navigatore":
Capita, non preoccuparti.
Cerco di anticipare qualcosa per Nick, poi se vuoi aggiungere altro fa pure.
Nick, è strano che il tuo libro (e il tuo prof) arrivino a dire che i prodotti di inerzia sono nulli, partendo dall'ellissoide di inerzia, che quindi si suppone già noto. Spesso si procede nel modo opposto.
Comunque...
Dato un "corpo rigido" e un polo $O$, che può essere anche fuori del corpo, per $O$ passa un fascio di rette. Rispetto ad ognuna di esse si definisce il momento di inerzia. Assumi una terna cartesiana qualsiasi $Oxyz$, e su ognuna di queste rette del fascio riporta, a partire da $O$ e da entrambe le parti un segmento $OP$ di lunghezza uguale a $1/sqrt(I)$: determini una superficie di secondo ordine, finita, cioè una quadrica, evidentemente a simmetria centrale per come è stata costruita, che è appunto un ellissoide, l'ellissoide di inerzia relativo ad $O$.
Nella equazione cartesiana dell'ellissoide, compaiono termini in $x^2,y^2,z^2, xy, yz, zx$ in genere non nulli. I coefficienti di tali termini sono i rispettivi momenti di inerzia e i momenti deviatori, calcolati per quella terna. (La dimostrazione è Geometria Analitica, la trovi in tutti i libri di MR).
Se ora fai una trasformazione di coordinate ad assi $x_0,y_0,z_0$ con la stessa origine $O$ ma coincidenti con gli assi principali dell'ellissoide, scompaiono in termini misti in $x_0y_0 , x_0z_0 , y_0z_0$ , e rimangono solo quelli in $x_0^2 , y_0^2, z_0^2$ . E questo significa appunto che i prodotti di inerzia relativi alla terna principale sono nulli.
Il momento di inerzia rispetto ad un asse qualsiasi, passante per $O$ , se la terna di riferimento è quella principale in $O$, è espresso da una combinazione lineare dei momenti principali di inerzia, essendo ovviamnte nulli i prodotti di inerzia. Se la terna è qualsiasi, compaiono anche i momenti deviatori.
Ma non mi chiedere dimostrazioni analitiche!
C'è in aggiunta una importante questione fisica, legata a questi concetti. Se consideri il moto del corpo rigido attorno al punto $O$ ( assunto quindi fisso), quando l'asse di rotazione coincide con uno dei tre assi principali di inerzia per $O$, il vettore velocità angolare $\vec\omega$ e il vettore momento angolare $\vecL$ rispetto ad $O$ sono paralleli, giacciono sullo stesso asse di rotazione. Se invece l'asse di rotazione non è principale per $O$, i due vettori non sono paralleli.
Quest'ultima condizione (asse di rotazione non principale) è causa di squilibri dinamici (oltre che statici, che sussistono comunque se $O$ non è il Cdm del corpo, anche se l'asse di rotazione è principale per $O$ ), come ben sa qualunque studente che studia la Meccanica delle Macchine.
In genere, per eliminare ( ridurre al minimo accettabile...) squilibri statici e dinamici, l'asse di rotazione deve essere "baricentrico" e " principale di inerzia" . Esempio : la girante di una turbina, le ruote delle automobili, le eliche... e pure un albero a manovelle di un motore a c.i.
E' appunto quello il mio "dilemma";cioè devo dare per scontato che quando la terna diventa principale i termini misti si annullino??
Ne approffitto per fare anche un'altra domandina:Se la terna coincide con gli assi di simmetria dell'ellissoide,ed è quindi principale dovrebbe essere anche centrale perchè il baricentro è proprio il punto di intersezione degli assi di simmetria,e cioè l'origine del riferimento,no?
"92Nick92":
........
E' appunto quello il mio "dilemma";cioè devo dare per scontato che quando la terna diventa principale i termini misti si annullino??
No, non devi darlo per scontato. Quando la terna diventa principale, cioè quando fai la trasformazione di coordinate, nel punto $O$, da una terna qualsiasi alla terna principale, come fai? Ora io passaggi analitici non me li ricordo, però devi comunque introdurre nella formula i coseni direttori dei nuovi assi rispetto ai vecchi, e viene fuori che nelle coordinate della terna principale i termini misti ( per intenderci, quelli del tipo : $k*x_0y_0$ e analoghi) si annullano. È una questione di Geometria analitica, e di passaggi algebrici.
Ne approffitto per fare anche un'altra domandina:Se la terna coincide con gli assi di simmetria dell'ellissoide,ed è quindi principale dovrebbe essere anche centrale perchè il baricentro è proprio il punto di intersezione degli assi di simmetria,e cioè l'origine del riferimento,no?
Chiarisco. Per un punto QUALSIASI , non solo il cdm, ma anche ad esempio un punto esterno al corpo rigido, esiste una terna principale di inerzia. Quindi esiste un ellissoide di inerzia, di cui quel punto è il centro, che ha certamente i suoi tre assi di simmetria.
Ma non devi confondere gli assi di simmetria dell'ellissoide con gli eventuali assi di simmetria del corpo.
Pensa ad una patata per esempio, di forma molto irregolare, e prendi un suo punto qualunque (ma ti ripeto che lo puoi prendere anche sulla Luna!). In quel punto c'è una terna principale e quindi un ellissoide che ha quella terna principale come assi di simmetria. Ma la patata non è simmetrica, in generale, rispetto ad alcun asse.
Se ora il punto in questione lo prendi coincidente col Cdm della patata, non cambia il discorso : esiste la terna "centrale di inerzia" ( si chiama cosi se il punto è il cdm), esiste l'ellissoide, esistono gli assi di simmetria dell'ellissoide. Eppure la patata non ha assi di simmetria di per sé!
Interessante invece è il discorso opposto : se un corpo ha un asse di simmetria, quell'asse è un asse principale di inerzia? Se lo è, per quale punto o quali punti lo è?
E se un corpo ha tre assi di simmetria? Pensa ad es. ad un parallelepipedo con i tre spigoli disuguali.
Uhm...
Intanto, come ha già fatto notare navigatore, è insolito che si dia per scontato che la superficie d'inerzia sia un ellissoide e poi si dimostra da ciò che i prodotti misti si annullano nella base principale. La dimostrazione in ogni caso si stabilisce più o meno come ha indicato lui, l'ellissoide è il luogo degli zeri di una forma quadratica, e nella base principale (e questo si dimostra rigorosamente col discorso che ho fatto sopra; l'esistenza di una base ortonormale di autovettori è invece garantita dal teorema spettrale) assume la forma "standard" di un ellissoide, dove non compaiono termini misti. Non è un atto di fede, a meno che non consideri dogma il fatto che nella base degli assi di simmetria un ellissoide assuma la forma $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$.
Riguardo alla tua nuova domanda. In senso lato, se immagini l'ellissoide d'inerzia "immerso" nello spazio reale in corrispondenza del corpo (nel senso: col centro nel baricentro, e ruotato come il corpo), e se immagini gli assi del sistema di riferimento $(O,e_1,e_2,e_3)$ come le rette passanti per $O$ e di direzione data da $e_i$, allora la tua affermazione è corretta. Ma ha molto più senso, ed è molto più comodo dire così:
Se la terna è principale, e l'origine coincide col baricentro, allora è centrale.
Ma questo è banale.
Nella forma in cui l'hai enunciato tu, però, il concetto è formalmente sbagliato - e credo possa trarti in inganno anche nella pratica. I tre vettori in un sistema di riferimento sono una base per $R^3$, non sono elementi di $E^3$. Non si trovano nello spazio "reale" euclideo, che è uno spazio affine, ma in quello tangente, lo spazio dei vettori tridimensionali, che è uno spazio vettoriale. Avendo però un'origine, O, ne costruiamo degli assi reali nello spazio, passanti per O. Uguale discorso per gli assi di rotazione, e per l'ellissoide d'inerzia stesso*: possiamo vederli nello spazio delle velocità angolari (che è $R^3$) ma avendo a disposizione il baricentro del corpo possiamo "immergerli" nello spazio reale.
Allora, se tu affermi: la terna coincide con gli assi di simmetria, e lavori con i vettori, significa solo che nello spazio gli assi del SR e dell'ellissoide sono paralleli, non necessariamente coincidenti.
Spero di non averti confuso ancora di più
(* l'ellissoide d'inerzia non è esattamente nello spazio che descrivo subito dopo, ma cercare di spiegare esattamente dove si trovi mi sembra una pedanteria eccessiva, considerando anche che è stato concepito come strumento di visualizzazione)
Intanto, come ha già fatto notare navigatore, è insolito che si dia per scontato che la superficie d'inerzia sia un ellissoide e poi si dimostra da ciò che i prodotti misti si annullano nella base principale. La dimostrazione in ogni caso si stabilisce più o meno come ha indicato lui, l'ellissoide è il luogo degli zeri di una forma quadratica, e nella base principale (e questo si dimostra rigorosamente col discorso che ho fatto sopra; l'esistenza di una base ortonormale di autovettori è invece garantita dal teorema spettrale) assume la forma "standard" di un ellissoide, dove non compaiono termini misti. Non è un atto di fede, a meno che non consideri dogma il fatto che nella base degli assi di simmetria un ellissoide assuma la forma $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$.
Riguardo alla tua nuova domanda. In senso lato, se immagini l'ellissoide d'inerzia "immerso" nello spazio reale in corrispondenza del corpo (nel senso: col centro nel baricentro, e ruotato come il corpo), e se immagini gli assi del sistema di riferimento $(O,e_1,e_2,e_3)$ come le rette passanti per $O$ e di direzione data da $e_i$, allora la tua affermazione è corretta. Ma ha molto più senso, ed è molto più comodo dire così:
Se la terna è principale, e l'origine coincide col baricentro, allora è centrale.
Ma questo è banale.
Nella forma in cui l'hai enunciato tu, però, il concetto è formalmente sbagliato - e credo possa trarti in inganno anche nella pratica. I tre vettori in un sistema di riferimento sono una base per $R^3$, non sono elementi di $E^3$. Non si trovano nello spazio "reale" euclideo, che è uno spazio affine, ma in quello tangente, lo spazio dei vettori tridimensionali, che è uno spazio vettoriale. Avendo però un'origine, O, ne costruiamo degli assi reali nello spazio, passanti per O. Uguale discorso per gli assi di rotazione, e per l'ellissoide d'inerzia stesso*: possiamo vederli nello spazio delle velocità angolari (che è $R^3$) ma avendo a disposizione il baricentro del corpo possiamo "immergerli" nello spazio reale.
Allora, se tu affermi: la terna coincide con gli assi di simmetria, e lavori con i vettori, significa solo che nello spazio gli assi del SR e dell'ellissoide sono paralleli, non necessariamente coincidenti.
Spero di non averti confuso ancora di più
(* l'ellissoide d'inerzia non è esattamente nello spazio che descrivo subito dopo, ma cercare di spiegare esattamente dove si trovi mi sembra una pedanteria eccessiva, considerando anche che è stato concepito come strumento di visualizzazione)
Allora grazie per i chiarimenti relativi alla seconda domanda,ora ho capito.
Per quanto riguarda la prima,xD,non fraintendete quello che ho scritto:Non è che il libro dà la conoscenza dell'ellissoide per scontata;ha in precedenza parlato dei prodotti di inerzia,senza però fare cenno a quando si annullano(fatta eccezione per sistemi piani),poi arriva all'Ellissoide di inerzia e dopo aver ricavato l'equazione in forma non canonica(come ha detto navigatore"Dato un "corpo rigido" e un polo O, che può essere anche fuori del corpo, per O passa un fascio di rette. Rispetto ad ognuna di esse si definisce il momento di inerzia. Assumi una terna cartesiana qualsiasi Oxyz, e su ognuna di queste rette del fascio riporta, a partire da O e da entrambe le parti un segmento OP di lunghezza uguale a 1I√: determini una superficie di secondo ordine, finita, cioè una quadrica, evidentemente a simmetria centrale per come è stata costruita, che è appunto un ellissoide, l'ellissoide di inerzia relativo ad O.") arriva a quella canonica.
Citando letteralmente il libro" Se assumiamo z della terna di riferimento To coincidente con l'asse principale di inerzia a3 dell'ellissoide,il piano xy deve risultare piano di simmetria per i punti dell'ellissoide e cioè==> P(x,y,z) e P'(x,y,-z) appartengono all'ellissoide.Tale appartenza simultanea di P e P' è possibile se e solo se l'equazione dell'ellissoide manca dei termini lineari in z,e cioè se J23=J32=0.
Voi,giustamente,insistete sui calcoli algebrici,ma come vedete il libro non ne fa proprio uso.
Per quanto riguarda la prima,xD,non fraintendete quello che ho scritto:Non è che il libro dà la conoscenza dell'ellissoide per scontata;ha in precedenza parlato dei prodotti di inerzia,senza però fare cenno a quando si annullano(fatta eccezione per sistemi piani),poi arriva all'Ellissoide di inerzia e dopo aver ricavato l'equazione in forma non canonica(come ha detto navigatore"Dato un "corpo rigido" e un polo O, che può essere anche fuori del corpo, per O passa un fascio di rette. Rispetto ad ognuna di esse si definisce il momento di inerzia. Assumi una terna cartesiana qualsiasi Oxyz, e su ognuna di queste rette del fascio riporta, a partire da O e da entrambe le parti un segmento OP di lunghezza uguale a 1I√: determini una superficie di secondo ordine, finita, cioè una quadrica, evidentemente a simmetria centrale per come è stata costruita, che è appunto un ellissoide, l'ellissoide di inerzia relativo ad O.") arriva a quella canonica.
Citando letteralmente il libro" Se assumiamo z della terna di riferimento To coincidente con l'asse principale di inerzia a3 dell'ellissoide,il piano xy deve risultare piano di simmetria per i punti dell'ellissoide e cioè==> P(x,y,z) e P'(x,y,-z) appartengono all'ellissoide.Tale appartenza simultanea di P e P' è possibile se e solo se l'equazione dell'ellissoide manca dei termini lineari in z,e cioè se J23=J32=0.
Voi,giustamente,insistete sui calcoli algebrici,ma come vedete il libro non ne fa proprio uso.
"92Nick92":
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Citando letteralmente il libro" Se assumiamo z della terna di riferimento To coincidente con l'asse principale di inerzia a3 dell'ellissoide,il piano xy deve risultare piano di simmetria per i punti dell'ellissoide e cioè==> P(x,y,z) e P'(x,y,-z) appartengono all'ellissoide.Tale appartenza simultanea di P e P' è possibile se e solo se l'equazione dell'ellissoide manca dei termini lineari in z,e cioè se J23=J32=0.
Voi,giustamente,insistete sui calcoli algebrici,ma come vedete il libro non ne fa proprio uso.
Intanto, io direi che, se il libro dice esattamente così, trae un tantino in inganno il povero studente, laddove dice:
"Se assumiamo z della terna di riferimento To coincidente con l'asse principale di inerzia a3 dell'ellissoide..." infatti avrebbe potuto limitarsi a dire : " Se assumiamo z della terna di riferimento To coincidente con l 'asse $a_3$ dell'ellissoide..."
E dico questo perchè il fatto che $a_3$ sia principale di inerzia dell'ellissoide è sicuramente vero, ma in questo contesto non ce ne può e deve fregare di meno! Noi, cioè tu studente ( ahimè, com'è difficile avere a che fare con libri criptici, che invece di far capire complicano la vita ai ragazzi! Io sai dove li butterei certi libri? Lo sai...), stiamo cercando di capire perché i prodotti di inerzia sono nulli quando ci si riferisce alla terna principale relativa al punto dato.
ORa, è giusto tutto ciò che dice dopo il libro : il piano xy è di simmetria (dell'ellissoide, non del corpo!), quindi i due punti aventi stessa $x$ e $y$ , e $z$ opposte, possono appartenere entrambi all'ellissoide solo se nella sua equazione mancano i termini misti in $xz$ e $yz$. E perciò, ripetendo lo stesso ragionamento per gli altri due assi $x$ e $y$, in definitiva devono mancare tutti e 6 i termini misti.
Però, santa pazienza, io non ho mai trovato una dimostrazione che, pur nella sua coerente semplicità e immediatezza, risulti cosi poco chiara a uno studente che si avvicina a questo argomento!
No, decisamente Nick, neanche io avrei capito. E andrei a buttare questo libro, sai dove. Non sono d'accordo sui libri (e sui prof, chiedo scusa) che fanno di tutto per rendere le cose il meno chiaro possibile : " Se una cosa si può complicare, perché lasciarla semplice? " . No.
Spero che le nostre spiegazioni ti siano servite a qualcosa.
Scusate se rispondo solo ora,ma sono stato impegnato con un esame,cmq grazie davvero per la pazienza e per i chiarimenti con il cucchiaino xD
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