Asse di rotazione di un corpo rigido

[alfonsen]

Una piccola asta di massa trascurabile, appoggiata sul pavimento, è vincolata ad un’estremità con un asse fisso girevole perpendicolare al pavimento. All’altra estremita è applicata una forza parallela al pavimento e perpendicolare all’asta che la fa ruotare attorno all’asse fisso girevole. Trascurando le forze di attrito, se togliamo il vincolo dell’asse fisso ed applichiamo la stessa forza all’altra estremità quale sarà il nuovo asse di rotazione ?

[Falco5x]

Mi sembra enunciato proprio male questo esercizio, nel senso che per essere risolvibile senza troppe complicazioni mancano alcune precisazioni, la principale delle quali mi pare sia quella di chiarire che si cerca l'asse istantaneo di rotazione nel momento iniziale, e per momento iniziale si deve intendere con velocità angolare iniziale nulla. Se così non fosse, ci sarebbe una componente di accelerazione centripeta per il CM, mentre intendendo a velocità zero tutta la forza va a provocare soltanto accelerazione tangenziale del CM.
Non vedo poi la necessità di precisare che si tratta di una piccola asta di massa trascurabile.
Ad ogni modo chiamiamo L la lunghezza dell'asta, F la forza, b la distanza del CIR dal centro dell'asta, cioè dal CM.
La seconda equazione di Newton porta a scrivere:
$$F = mb\dot \omega $$
Il momento di questa forza va poi uguagliato al prodotto dell'accelerazione angolare per il momento di inerzia.
Il momento di inerzia rispetto al CIR è, per il teorema di Steiner:
$$I = \frac{1}
{{12}}m{L^2} + m{b^2}$$
Dunque si ha:
$$F\left( {\frac{L}
{2} + b} \right) = \left( {\frac{1}
{{12}}m{L^2} + m{b^2}} \right)\dot \omega $$
Sostituendo col valore della F ricavato dalla prima equazione si ha:
$$\eqalign{
& mb\dot \omega \left( {\frac{L}
{2} + b} \right) = \left( {\frac{1}
{{12}}m{L^2} + m{b^2}} \right)\dot \omega \cr
& \frac{{bL}}
{2} + {b^2} = \frac{1}
{{12}}{L^2} + {b^2} \cr
& b = \frac{L}
{6} \cr} $$

L'asta dunque ruotando inizialmente attorno a un punto situato sull'asta stessa a distanza $L/6$ dal suo centro soddisfa alle equazioni della dinamica.