Articolo Polchinsky"Evaluation of the One Loop String Path Integral"

[caesar989]

Salve, Vi scrivo in quanto sono abbastanza disperato. Generalmente cerco di risolvere i calcoli da solo ma questa volta sto davvero "sbroccando" come si dice qui a Roma Chiunque cercherà di aiutarmi lo ringrazio molto
Il mio problema è il seguente: Devo studiare e svolgere i calcoli di questo articolo per la Tesi. Il punto che non riesco a risolvere è il seguente: a pag.39 l'autore scrive che è possibile separare le quantità \( d\Phi d\xi \) come
\(d\Phi d\xi=(d\Phi d\xi)' d\epsilon^1 d\epsilon^2\), dove \(\begin{cases}\delta\xi^a = \epsilon^a\\ \delta\Phi=-\epsilon^a\partial_a\Phi \end{cases}\). Inoltre sappiamo che
(1)\(
\begin{cases}
||\delta g||^2=\int d^2\sigma \sqrt{g}(g^{ac}g^{bd}+Cg^{ab}g^{cd}) \delta_{ab} \delta_{cd}\\
||\delta \Phi||^2=\int d^2\sigma \sqrt{g} \delta\Phi^2\\
||\delta \xi||^2=\int d^2\sigma \sqrt{g} g^{ab} \delta_a \delta_b\\
||\delta x||^2=\int d^2\sigma \sqrt{g} \delta x^{\mu} x^{\mu}
\end{cases},
\)
e che
(2)\(\begin{cases}
\int d\delta g e^{-{|| \delta g||}^2/2}=1\\
\int d\delta \Phi e^{-{|| \delta \Phi||}^2/2}=1\\
\int d\delta \xi e^{-{|| \delta \xi||}^2/2}=1\\
\int d\delta x e^{-{|| \delta x||}^2/2}=1\\
\int d^2\delta \tau e^{-\delta\tau_i\delta\tau_i \int d^2 \sqrt{g}/2}=\frac{2 \pi}{\int d^g \sqrt{g}}\\
\end{cases}\).
Secondo l'autore integrando \(d\Phi d\xi=(d\Phi d\xi)' d\epsilon^1 d\epsilon^2\) otteniamo
\(
1=\int d\epsilon^1 d\epsilon^2 e^{-Q_{ab}\epsilon^a \epsilon^b/2} \int (d\Phi d\xi)' e^{-\frac{1}{2}(||\delta \Phi||^2+||\delta \xi||^2}=2\pi({\det Q_{ab}})^{-\frac{1}{2}} \int(d\Phi d\xi)' e^{-\frac{1}{2}(||\delta \Phi||^2+||\delta \xi||^2)}
\)
dove \(Q_{ab}=\int d^2\sigma \sqrt{g}(\partial_a \Phi\partial_b \Phi+g_{ab})\)
Ok
Ora cerco di spiegare secondo me cosa ha fatto e dove non mi tornano i conti:
1)
partendo da \(d\Phi d\xi=(d\Phi d\xi)' d\epsilon^1 d\epsilon^2\), ho integrato entrambi i lati per la quantità \(e^{-\frac{1}{2}(||\delta \Phi||^2+||\delta \xi||^2)}\) e integrato ottenendo così a sx
\(
\int e^{-||\delta \Phi||^2/2} d\Phi \int e^{-||\delta \xi||^2/2} d\xi=1
\)
mentre a destra
\(
\int d\epsilon^1 d\epsilon^2(d\Phi d\xi)' e^{-\frac{1}{2}(||\delta \Phi||^2+||\delta \xi||^2}
\)
da qui come posso ottenere \(\int d\epsilon^1 d\epsilon^2 e^{\int d^2\sigma \sqrt{g}(\partial_a \Phi\partial_b \Phi+g_{ab})\epsilon^a \epsilon^b/2} \int (d\Phi d\xi)' e^{-\frac{1}{2}(||\delta \Phi||^2+||\delta \xi||^2)}\)? l'unica cosa che mi è venuta in mente è di separare l'argomento all'esponente: ad esempio \(e^{-\frac{x}{2}}=e^{-\frac{x}{4}}e^{-\frac{x}{4}}\) però così non mi viene quello che viene a lui.
2)questa è una via un po' da furbetto.
Ho fatto il procedimento a ritroso, cioè dal risultato di Polchinsky ho cercato di ricavare da dove è partito
\(
\int d\epsilon^1 d\epsilon^2 e^{Q_{ab}\epsilon^a \epsilon^b/2} \int (d\Phi d\xi)' e^{-1/2(||\delta \Phi||^2+||\delta \xi||^2}=\)
\(
=\int d\epsilon^1 d\epsilon^2 e^{-\int d^2\sigma \sqrt{g}(\partial_a \Phi\partial_b \Phi+g_{ab})\epsilon^a \epsilon^b/2} \int (d\Phi d\xi)' e^{-1/2(||\delta \Phi||^2+||\delta \xi||^2)}=\)
\(
=\int d\epsilon^1 d\epsilon^2 e^{-\frac{1}{2} \int d^2 \sigma \sqrt{g} (\delta \Phi+g_{ab} \xi^a \xi^b)} \int (d\Phi d\xi)' e^{-\frac{1}{2}(||\delta \Phi||^2+||\delta \xi||^2)}=\)
\(
=\int (d\Phi d\xi)' e^{-\frac{1}{2}(||\delta \Phi||^2+||\delta \xi||^2)}\int (d\Phi d\xi)' e^{-\frac{1}{2}(||\delta \Phi||^2+||\delta \xi||^2)}=\)
\(
=\int (d\Phi d\xi)' e^{-\frac{1}{2}(||\delta \Phi||^2+||\delta \xi||^2)} e^{-\frac{1}{2}(||\delta \Phi||^2+||\delta \xi||^2)}=\)
\(
=\int (d\Phi d\xi)' e^{-\frac{1}{2}(||\delta \Phi||^2+||\delta \xi||^2)-\frac{1}{2}(||\delta \Phi||^2+||\delta \xi||^2)}=\)
\(
=\int (d\Phi d\xi)' e^{-(||\delta \Phi||^2+||\delta \xi||^2)}.\)
Quindi devo moltiplicare sia a destra che a sinistra per \(e^{-(||\delta \Phi||^2+||\delta \xi||^2)}\) ma allora non valgono più le "normalizzazioni" (2)?
Non riesco ad uscire da questo loop...se qualcuno può darmi una mano sarò estremamente felice!

[vopino11]

a me non sono chiare per niente le notazioni che hai usato, immagino che d rappresenta il differenziale, $delta$ cosa è un numero un differenziale non esatto, dove siamo in un campo complesso reale? Stai usando la convenzione di Einstein sugli esponenti immagino, ma in generale dovresti fare un' introduzione prima di postare questa roba, almeno io ragiono così, introduci l' argomento e allega anche pag 39