Argomenti di simmetria in Elettromagnetismo
Salve,
recentemente sto studiando l'elettromagnetismo classico e non riesco a giustificare con rigore gli argomenti di simmetria che qualsiasi testo di fisica usa per calcolare il campo elettrico o magnetico.
Facciamo un esempio: consideriamo un filo di lunghezza infinita percorso da una corrente elettrica $I$, vorrei calcolare il campo elettrico usando solo la legge di Ampere. "La geometria" del problema ha simmetria cilindrica, quindi passo in cilindriche e applico la legge di ampere su una circonferenza di raggio $r$ e centro lungo il filo, che rappresenta l'asse $z$. Prima di procedere con il conto vorrei dimostrare che $\vec(B)$ non possiede componenti lungo $\hat(z)$ e $\hat(r)$ e che il modulo di $\vec{B}$ dipende solo da $r$... tuttavia non riesco proprio a provare questi tre fatti. Avete qualche consiglio? Sapete se c'è qualche testo che tratta in modo chiaro queste argomentazioni?
Grazie mille,
Ciao!
recentemente sto studiando l'elettromagnetismo classico e non riesco a giustificare con rigore gli argomenti di simmetria che qualsiasi testo di fisica usa per calcolare il campo elettrico o magnetico.
Facciamo un esempio: consideriamo un filo di lunghezza infinita percorso da una corrente elettrica $I$, vorrei calcolare il campo elettrico usando solo la legge di Ampere. "La geometria" del problema ha simmetria cilindrica, quindi passo in cilindriche e applico la legge di ampere su una circonferenza di raggio $r$ e centro lungo il filo, che rappresenta l'asse $z$. Prima di procedere con il conto vorrei dimostrare che $\vec(B)$ non possiede componenti lungo $\hat(z)$ e $\hat(r)$ e che il modulo di $\vec{B}$ dipende solo da $r$... tuttavia non riesco proprio a provare questi tre fatti. Avete qualche consiglio? Sapete se c'è qualche testo che tratta in modo chiaro queste argomentazioni?
Grazie mille,
Ciao!
Risposte
"Shocker":
recentemente sto studiando l'elettromagnetismo classico e non riesco a giustificare con rigore gli argomenti di simmetria che qualsiasi testo di fisica usa per calcolare il campo elettrico o magnetico.
Detto in due parole, se un sistema è invariante rispetto a una qualche trasformazione - per es. per una rotazione, o una rotazione di un certo angolo, o una traslazione, o un cambio di scala - allora tutto ciò che è connesso al sistema - per esempio una risultante di forze, o un campo elettrico o magnetico - deve possedere la stessa invarianza.
Ti faccio un esempio banale: tre vettori di uguale modulo disposti a 120° fra di loro. C'è una invarianza per rotazioni di 120°, quindi la risultante deve pure avere questa invarianza, e l'unico vettore che ce l'ha è il vettore nullo.
"Shocker":
Facciamo un esempio: consideriamo un filo di lunghezza infinita percorso da una corrente elettrica $I$, vorrei calcolare il campo elettrico (suppongo MAGNETICO) usando solo la legge di Ampere. "La geometria" del problema ha simmetria cilindrica, quindi passo in cilindriche e applico la legge di ampere su una circonferenza di raggio $r$ e centro lungo il filo, che rappresenta l'asse $z$. Prima di procedere con il conto vorrei dimostrare che $\vec(B)$ non possiede componenti lungo $\hat(z)$ e $\hat(r)$ e che il modulo di $\vec{B}$ dipende solo da $r$... tuttavia non riesco proprio a provare questi tre fatti.
Qui non mi è chiaro da dove vuoi partire per una dimostrazione. Mi pare che devi già sapere che $vec B$ contiene un termine $vec I times vec r$, cosa che non si può ricavare "a priori". Infatti, se invece consideri il caso di un filo carico e cerchi il campo elettrico, la simmetria del sistema è simile (non proprio la stessa perchè non c'è un verso), però il campo $vec E$ HA una componente lungo $vec r$ (anzi, ha solo questa).
Il fatto che $vec B$ non ha una componente $z$ non mi sembra si possa derivare dalla simmetria.
Invece, che il modulo dipenda solo da $r$) deriva dall'invarianza per rotazione intorno a $z$
Ciao Shocker!
Mi sembra di capire che tu voglia arrivare all'espressione del campo induzione magnetica $vec(B)$ generato nel vuoto da un filo indefinito percorso da una corrente $I$ partendo dal teorema della circuitazione di Ampère:
Tu dici:
tuttavia, dimostrare a priori tutte queste tre cose non è possibile. Per fortuna ci viene in soccorso la prima legge di Laplace:
dove $\Delta vec(r)$ è la differenza tra la posizione del punto in cui calcoli il campo e la posizione dell'elemento di filo considerato. Da qui si può già ricavare l'espressione esplicita del campo magnetico generato dal filo:
dove $\vec(t)$ è il versore tangente alla circonferenza di raggio $r$ centrata nel filo e perpendicolare a esso.
A questo punto sai ben più di quello che ti serve, tutto ciò che puoi fare è verificare la validità del ragionamento utilizzando la (1) per ricondurti alla (3).
Come faceva notare anche mgrau, non puoi ricavare a priori tutte le proprietà che elencavi, ed il motivo è semplice: spesso la (1) è ricavata dalla (3) già bell'e pronta, che a sua volta viene fuori dalla (2) che è una legge squisitamente sperimentale.
Per qualsiasi chiarimento io come testo ti consiglio il "Fisica II" di Mencuccini e Silvestrini (vecchia edizione), nel capitolo 5 c'è una bella trattazione della magnetostatica nel vuoto.
Spero ti sia stato d'aiuto
Mi sembra di capire che tu voglia arrivare all'espressione del campo induzione magnetica $vec(B)$ generato nel vuoto da un filo indefinito percorso da una corrente $I$ partendo dal teorema della circuitazione di Ampère:
$ \oint_{C} vec(B) \cdot vec(dl)= \mu_0 I$ (1)
Tu dici:
"Shocker":
Prima di procedere con il conto vorrei dimostrare che $\vec(B)$ non possiede componenti lungo $\hat(z)$ e $\hat(r)$ e che il modulo di $\vec{B}$ dipende solo da $r$..
tuttavia, dimostrare a priori tutte queste tre cose non è possibile. Per fortuna ci viene in soccorso la prima legge di Laplace:
$d vec(B) = (\mu_0 I)/(4 \pi) (d vec(l) \times \Delta vec(r))/(|\Delta vec(r)|^3 )$ (2)
dove $\Delta vec(r)$ è la differenza tra la posizione del punto in cui calcoli il campo e la posizione dell'elemento di filo considerato. Da qui si può già ricavare l'espressione esplicita del campo magnetico generato dal filo:
$vec(B) = (\mu_0 I)/(2 \pi r) \hat{t}$ (3)
dove $\vec(t)$ è il versore tangente alla circonferenza di raggio $r$ centrata nel filo e perpendicolare a esso.
A questo punto sai ben più di quello che ti serve, tutto ciò che puoi fare è verificare la validità del ragionamento utilizzando la (1) per ricondurti alla (3).
Come faceva notare anche mgrau, non puoi ricavare a priori tutte le proprietà che elencavi, ed il motivo è semplice: spesso la (1) è ricavata dalla (3) già bell'e pronta, che a sua volta viene fuori dalla (2) che è una legge squisitamente sperimentale.
Per qualsiasi chiarimento io come testo ti consiglio il "Fisica II" di Mencuccini e Silvestrini (vecchia edizione), nel capitolo 5 c'è una bella trattazione della magnetostatica nel vuoto.
Spero ti sia stato d'aiuto
Buongiorno!
Mi avete chiarito molte cose, grazie mille ad entrambi!
@mgrau: sì volevo calcolare il campo magnetico, non elettrico
Mi dà sollievo che non sia possibile dimostrare tutti e tre i fatti usando solo le simmetrie e Ampere, tuttavia continuo ad avere dei dubbi tecnici: che il modulo di $B$ dipenda solo da $r$ deriva dal fatto che $B$ è invariante per rotazioni che fissano$\hat{z}$, ma perché $B$ è invariant per rotazioni che fissano $\hat{z}$? Mi spiego: nel caso del campo elettrico generato da un filo infinito uniformemente carico lungo $\hat{z}$ si ha che la distribuzione di cariche è invariante per rotazioni che fissano l'asse $z$(il che è ovvio perché la carica è disposta in modo uniforme solo su $z$) e questo mi permette di vedere che $\vec(E)$ è invariante per rotazioni(si calcola $\vec{E}(R(x, y, z))$ e si mostra che è uguale a $\vec{E}(x, y, z)$). Per $\vec{B}$ non ho una distribuzione di cariche, dunque l'unica cosa che mi permette di dimostrare l'invarianza per rotazioni è la prima legge di laplace. O Sbaglio? Cioè: devo per forza usare Laplace per mostrare l'invarianza di $B$ per rotazioni, o c'è un altro metodo?
Grazie ad entrambi e grazie per il consiglio sul testo @singularity!
Ciao!
Mi avete chiarito molte cose, grazie mille ad entrambi!
@mgrau: sì volevo calcolare il campo magnetico, non elettrico
Mi dà sollievo che non sia possibile dimostrare tutti e tre i fatti usando solo le simmetrie e Ampere, tuttavia continuo ad avere dei dubbi tecnici: che il modulo di $B$ dipenda solo da $r$ deriva dal fatto che $B$ è invariante per rotazioni che fissano$\hat{z}$, ma perché $B$ è invariant per rotazioni che fissano $\hat{z}$? Mi spiego: nel caso del campo elettrico generato da un filo infinito uniformemente carico lungo $\hat{z}$ si ha che la distribuzione di cariche è invariante per rotazioni che fissano l'asse $z$(il che è ovvio perché la carica è disposta in modo uniforme solo su $z$) e questo mi permette di vedere che $\vec(E)$ è invariante per rotazioni(si calcola $\vec{E}(R(x, y, z))$ e si mostra che è uguale a $\vec{E}(x, y, z)$). Per $\vec{B}$ non ho una distribuzione di cariche, dunque l'unica cosa che mi permette di dimostrare l'invarianza per rotazioni è la prima legge di laplace. O Sbaglio? Cioè: devo per forza usare Laplace per mostrare l'invarianza di $B$ per rotazioni, o c'è un altro metodo?
Grazie ad entrambi e grazie per il consiglio sul testo @singularity!
Ciao!
"Shocker":
ma perché $B$ è invariante per rotazioni che fissano $\hat{z}$?
Non so che ho interpretato bene il tuo dubbio, ma la risposta direi che è: perchè la geometria del filo ha questa invarianza
"mgrau":
[quote="Shocker"] ma perché $B$ è invariante per rotazioni che fissano $\hat{z}$?
Non so che ho interpretato bene il tuo dubbio, ma la risposta direi che è: perchè la geometria del filo ha questa invarianza[/quote]
Ok ma lo possiamo affermare solo grazie alla prima legge di laplace, se non avessimo questa non potremmo dire che $\vec{B}$ è invariante per rotazioni solo vedendo la geometria del filo. Mi sbaglio? Chiedo scusa se risulto essere pedante o banale, sto solo cercando di capire se mi sono perso qualche idea.
"Shocker":
Ok ma lo possiamo affermare solo grazie alla prima legge di laplace, se non avessimo questa non potremmo dire che $\vec{B}$ è invariante per rotazioni solo vedendo la geometria del filo.
Secondo me, basta la geometria del filo. Il sistema è una retta orientata. Quindi, in un piano perpendicolare al filo, non ci sono direzioni privilegiate; qualunque cosa possa produrre - campo magnetico o quel che vuoi - non avrà direzioni privilegiate, che se non sbaglio è equivalente a dire che è invariante per rotazioni aventi il filo come asse.
Sì, hai ragione, me ne sono convinto. Ti ringrazio! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo