Applicazione teorema di Gauss
Salve, vi riporto un esercizio che non riesco proprio a capire...
"Rispetto ad una terna $ Oxyz $ nell'intero semispazio $ x>=0 $ si trova una carica elettrica la cui densità varia come $ rho (x)=e^(-kx) $ .
1) Esaminare la possibilità di applicare il teorema di Gauss per determinare il vettore campo elettrostatico in tutto lo spazio. Indicare la procedura da seguire, individuare forma, dimensioni e posizione della eventuale superficie di Gauss.
2)Esistono punti in cui il campo elettrostatico è nullo? Motivare la risposta.
3) Graficare gli andamenti del vettore campo elettrostatico e del potenziale elettrostatico in tutto lo spazio.
Non è richiesto il calcolo esplicito del campo elettrostatico."
Ora, forse mi sbaglio, ma la densità di carica va a zero soltanto all'infinito (e soltanto lungo la direzione dell'asse x)...come faccio a ricavarmi una superficie chiusa dove possa applicare Gauss?
"Rispetto ad una terna $ Oxyz $ nell'intero semispazio $ x>=0 $ si trova una carica elettrica la cui densità varia come $ rho (x)=e^(-kx) $ .
1) Esaminare la possibilità di applicare il teorema di Gauss per determinare il vettore campo elettrostatico in tutto lo spazio. Indicare la procedura da seguire, individuare forma, dimensioni e posizione della eventuale superficie di Gauss.
2)Esistono punti in cui il campo elettrostatico è nullo? Motivare la risposta.
3) Graficare gli andamenti del vettore campo elettrostatico e del potenziale elettrostatico in tutto lo spazio.
Non è richiesto il calcolo esplicito del campo elettrostatico."
Ora, forse mi sbaglio, ma la densità di carica va a zero soltanto all'infinito (e soltanto lungo la direzione dell'asse x)...come faccio a ricavarmi una superficie chiusa dove possa applicare Gauss?
Risposte
Il sistema ha una simmetria piana, e la densità di carica dipende solo dalla coordinata $x$, e il campo sarà sempre parallelo a $x$. Una superficie utile quindi è qualsiasi cilindroide con l'asse parallelo a $x$: il caso più semplice è un cilindro. Assumendo come verso positivo quello dell'asse $x$, all'origine il campo avrà un certo valore $E(0) = - E_0$ (dove $E_0 > 0$).
1) Il teorema di Gauss mostra subito che per $x<0$ il campo è costante e vale $E(x) = - E_0$. È sufficiente scegliere due cilindri che condividono una base collocata su qualsiasi piano $x=\xi >0$ e con le altre basi giacenti su due piani $x=\xi_1$ e $x=\xi_2$, con $\xi_1, \xi_2 < 0$ (più difficile da raccontare che fa visualizzare).
Scegliendo ora un cilindro con le basi sui piani $x=0$ e $x=\xi$ e applicando ancora il teorema di Gauss si ha
$E_0 + E(\xi) = \frac{1}{\epsilon_0}\int_0^{\xi} e^{-kx}dx = \frac{1}{\epsilon_0 k}(1-e^{-k\xi})$
da cui
$E(\xi) = \frac{1}{\epsilon_0 k}(1-e^{-k\xi}) - E_0$
2) Quindi il campo si annulla eventualmente in punti in cui $E(x^\star)=0$, ovvero
$x\star = -frac{1}{k} \ln (1-\epsilon_0 k E_0)$
In realtà non sappiamo ancora se il valore così ottenuto sia reale e positivo, come ci aspettiamo (dal punto di vista intuitivo, sarà il punto in cui il contributo della carica di destra equilibra quello di sinistra).
[punto_superfluo]
Anche se non richiesto dal problema, possiamo calcolare $E_0$: dalla teoria (sempre teorema di Gauss) è noto che il campo di un piano con densità superficiale $\sigma$ è $E=\frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$, quindi possiamo considerare in questo caso il contributo di piani "affiancati", ciascuno con densità superficiale $\sigma(x) =e^{-kx} dx$, e quindi il campo complessivo sarà $E_0 = \frac{1}{2 \epsilon_0} int_0^\infty e^{-kx} dx = \frac{1}{2 \epsilon_0 k}$ da cui $x^\star = k \ln 2$.
[\punto_superfluo]
3) A questo punto, se non ho commesso errori nello svolgimento precedente (la memoria è quello che è), non dovrebbe essere un problema tracciare i grafici di campo e potenziale.
Edit: per completezza (un modo elegante per dire pedanteria) correggo l'ultimo passaggio, dove c'è un errore algebrico. Come specificato di seguito da RenzoDF, $x^\star = \frac{\ln 2}{k}$.
1) Il teorema di Gauss mostra subito che per $x<0$ il campo è costante e vale $E(x) = - E_0$. È sufficiente scegliere due cilindri che condividono una base collocata su qualsiasi piano $x=\xi >0$ e con le altre basi giacenti su due piani $x=\xi_1$ e $x=\xi_2$, con $\xi_1, \xi_2 < 0$ (più difficile da raccontare che fa visualizzare).
Scegliendo ora un cilindro con le basi sui piani $x=0$ e $x=\xi$ e applicando ancora il teorema di Gauss si ha
$E_0 + E(\xi) = \frac{1}{\epsilon_0}\int_0^{\xi} e^{-kx}dx = \frac{1}{\epsilon_0 k}(1-e^{-k\xi})$
da cui
$E(\xi) = \frac{1}{\epsilon_0 k}(1-e^{-k\xi}) - E_0$
2) Quindi il campo si annulla eventualmente in punti in cui $E(x^\star)=0$, ovvero
$x\star = -frac{1}{k} \ln (1-\epsilon_0 k E_0)$
In realtà non sappiamo ancora se il valore così ottenuto sia reale e positivo, come ci aspettiamo (dal punto di vista intuitivo, sarà il punto in cui il contributo della carica di destra equilibra quello di sinistra).
[punto_superfluo]
Anche se non richiesto dal problema, possiamo calcolare $E_0$: dalla teoria (sempre teorema di Gauss) è noto che il campo di un piano con densità superficiale $\sigma$ è $E=\frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$, quindi possiamo considerare in questo caso il contributo di piani "affiancati", ciascuno con densità superficiale $\sigma(x) =e^{-kx} dx$, e quindi il campo complessivo sarà $E_0 = \frac{1}{2 \epsilon_0} int_0^\infty e^{-kx} dx = \frac{1}{2 \epsilon_0 k}$ da cui $x^\star = k \ln 2$.
[\punto_superfluo]
3) A questo punto, se non ho commesso errori nello svolgimento precedente (la memoria è quello che è), non dovrebbe essere un problema tracciare i grafici di campo e potenziale.
Edit: per completezza (un modo elegante per dire pedanteria) correggo l'ultimo passaggio, dove c'è un errore algebrico. Come specificato di seguito da RenzoDF, $x^\star = \frac{\ln 2}{k}$.
"Cmax":
Il sistema ha una simmetria piana, e la densità di carica dipende solo dalla coordinata $x$, e il campo sarà sempre parallelo a $x$. Una superficie utile quindi è qualsiasi cilindroide con l'asse parallelo a $x$: il caso più semplice è un cilindro.
Come fai a dire che il sistema ha una simmetria piana e che il campo sarà sempre parallelo all'asse x? Graficando quella funzione si ottengono grafici del tipo (ho messo un valore di k)
Graph: e^(-5*x)
Per il resto il tuo ragionamento mi è abbastanza chiaro, tranne proprio le condizioni iniziali
"Cmax":
Il sistema ha una simmetria piana,
Direi cilindrica ... o assiale, no?
Io, visto che il problema può essere scomposto nel campo prodotto da questi infiniti piani di spessore infinitesimo dx, direi che andando a considerare un generico punto x, il campo $E(x)$ nel punto può essere scritto come somma di quello relativo al cilindro finito sinistro che ha la base su $x=0$ e di quello relativo al cilindro infinito destro, che va fino a $x= \infty $, scrivendo direttamente
$E(x)=\frac{1}{2\epsilon _0}( \int_{0}^{x}e^{-kx}dx- \int_{x}^{\infty}e^{-kx}dx)=-\frac{1}{2k\epsilon _0}(2e^{-kx}-1)$
e quindi per x=0
$\vec{E}(0)=-\frac{1}{2k\epsilon _0}\hat{u}_x$
e, per campo nullo
$E(x)=0 \text( ) \mapsto \text( ) e^{-kx}=\frac{1}{2} \text( ) \mapsto \text( ) x=\frac{ln2}{k}$
sbaglio?
Direi cilindrica ... o assiale, no?
Su questo non sono sicuro: un cilindro carico con asse lungo $x$ avrebbe simmetria cilindrica o assiale, ma non potrei dedurne che il campo è diretto lungo $x$ se non lungo l'asse stesso. Per simmetria piana intendo che il sistema è invariante per qualsiasi traslazione ortogonale a $x$. Così a senso e lontana memoria direi che un sistema con simmetria piana ha anche simmetria cilindrica, ma non viceversa.
$x=\frac{ln2}{k}$
Ovviamente la tua è la formula corretta e la mia errata. Anche senza fare calcoli, basta notare che $k$ deve avere le dimensioni di un inverso di una distanza ...
La simmetria è cilindrica o piana? Riuscite a farmelo visualizzare in una maniera semplice :/
È piana, è piana ...
Altrimenti non potresti trattare il campo come nel caso monodimensionale. Ai fini dell'applicazione della legge di Gauss non c'è alcuna differenza di simmetria con il caso del piano uniformemente carico. A voler essere precisi in questo caso non c'è la simmetria di riflessione (che è quella che nel caso del piano ci consente di ricavare in un solo passaggio il valore del campo), ma sono sicuro che sul tuo testo di Fisica II, qualunque esso sia, l'argomento è spiegato con chiarezza e dettaglio.
Altrimenti non potresti trattare il campo come nel caso monodimensionale. Ai fini dell'applicazione della legge di Gauss non c'è alcuna differenza di simmetria con il caso del piano uniformemente carico. A voler essere precisi in questo caso non c'è la simmetria di riflessione (che è quella che nel caso del piano ci consente di ricavare in un solo passaggio il valore del campo), ma sono sicuro che sul tuo testo di Fisica II, qualunque esso sia, l'argomento è spiegato con chiarezza e dettaglio.
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