Applicazione del Teorema di Bernoulli
Un recipiente chiuso contiene acqua. Un setto scorrevole termicamente isolante separa l’acqua da un volume $\V_0 = 15 text{ L}$ contenente $\N = 2,5 text{ mol}$ di un gas perfetto biatomico. Gas e acqua si trovano inizialmente all’equilibrio con l’ambiente esterno alla temperatura $T_0 = 293 text{ K}$. Il gas assorbe una quantità di calore $\Q = 1 text{ kcal}$. Subito dopo si apre un forellino a distanza $h = 1 text{ m}$ dal pelo superiore dell’acqua e dal foro fuoriesce un getto che tocca il piano di appoggio ad una distanza $\d$ dal recipiente dopo un tempo $\t = 0,2 text{ s}$. Si calcoli
- [*:3c8ci0ob]La distanza $\d$.[/*:m:3c8ci0ob]
[*:3c8ci0ob]La distanza $\h_2$ del forellino dal piano di appoggio.[/*:m:3c8ci0ob]
[*:3c8ci0ob]Il modulo della velocità dell’acqua al momento di toccare il piano di appoggio (si trascuri l’attrito dell’aria e lo spostamento del setto isolante).[/*:m:3c8ci0ob][/list:u:3c8ci0ob]
***
La velocità di efflusso $\v_2$ del getto d'acqua che esce dal forellino si ricava dal teorema di Bernoulli:
$\ P_1 + \rho_{H_{2}O} g h_0 + 1/2 \rho_{H_{2}O} v_1^2 = P_0 + \rho_{H_{2}O} g h + 1/2 \rho_{H_{2}O}v_2^2$, (1)
dove $\P_1$ è la pressione esercitata dal gas sul pelo d'acqua, $\rho_{H_{2}O}$ è la densità assoluta dell'acqua, $\h_0$ è la quota del pelo d'acqua, $\v_1$ è la velocità di discesa del pelo d'acqua, $\P_0$ è la pressione atmosferica e $\g$ è la costante di accelerazione gravitazionale terrestre.
Dato che l'apertura del foro è trascurabile rispetto alla superficie del pelo d'acqua, si può assumere $\v_1 = 0$. Dalla (1):
$\ v_2 = sqrt((2(P_1 - P_0 + \rho_{H_{2}O} g \Delta h))/(\rho_{H_{2}O}))$.
A questo punto il mio problema è la determinazione di $\P_1$. Anzitutto, la traccia non riporta il tipo di trasformazione che subisce il gas in seguito all'assorbimento di calore. Io penso si tratti di una trasformazione isobara dato che essendo il setto scorrevole il gas ha la possibilità di espandersi e la temperatura alla fine del processo varia perchè la traccia afferma che $\T_0$ è una temperatura iniziale: quindi l'unica grandezza che rimane costante è la pressione.
Conseguentemente potrei calcolare la pressione esercitata dal gas nel momento in cui si crea il foro con l'equazione di stato dei gas perfetti utilizzando la temperatura e il volume forniti dal problema, dato che nella mia assunzione la pressione è la stessa sia nello stato caratterizzato da $\T_0$ e $\V_0$ che quello successivo all'assorbimento di calore. In questo modo, però, cosa me ne faccio della quantità di calore che ha fornito il problema? Sono certo non sia un dato superfluo. Cosa ho sbagliato?
Risolto questo inghippo comunque saprei rispondere ai quesiti del problema.
Grazie anticipatamente
Mattia
Risposte
Il testo non è di facile interpretazione. In ogni modo, dovrebbe essere una trasformazione a volume costante. La pressione del gas prima del riscaldamento vale $P_0=(NRT_0)/V_0$. La pressione del gas dopo il riscaldamento può essere ricavata dalla relazione $P_1/T_1=P_0/T_0$, avendo calcolato $T_1$ utilizzando $Q=NC_V(T_1-T_0)$.
"speculor":
dovrebbe essere una trasformazione isocora.
Si, potrbbe essere così. Dopo che calcolo la velocità di efflusso $\v_2$, ricavo $\d$ da $\d = v_2t$ perchè lungo l'asse delle ascisse il getto d'acqua descrive un moto rettilineo uniforme. Questo ragionamento è giusto?
$\h_2$ lo ricavo invece da $\h_2 = 1/2 g t^2$, dato che lungo l'asse delle ordinate il getto d'acqua descrive un moto rettilineo uniformemente accelerato. Giusto?
La velocità $\v_f$ dell'acqua al momento in cui tocca il piano d'appoggio si determina tramite la formula della velocità scalare per un moto parabolico di caduta libera ($\v_f=sqrt(v_2^2-2gh_2)$)? In tal caso, però, risulterbbe $\v_f = v_2$...
Mi risulta $|v_f|=sqrt(v_2^2+2gh_2)$. Il resto è corretto.
"speculor":
Mi risulta $|v_f|=sqrt(v_2^2+2gh_2)$. Il resto è corretto.
Grazie mille!
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