Applicare una forza ad un punto di un corpo rigido...
Ciao, amici! Giocherellando con il carrello della spesa 
mi sono convinto che, se si applica una forza $\mathbf{F}$ ad un punto $O$ di un corpo rigido, il centro di massa di questo finisce sulla retta di direzione $\mathbf{F}$ passante per $O$. O sbaglio?
Se non sbaglio, come si può dimostrare matematicamente?
È l'analogia con il concetto di centro di gravità, che coincide con il centro di massa, che mi ha fatto supporre la cosa...
So infatti che, appendendo ad un filo un corpo, come la pera della figura, il centro di massa $C$ finisce sulla retta che è prolungamento del filo, cosa che direi sia dovuta al fatto che la risultante dei momenti rispetto al punto $O$ in cui è appeso si annulla esattamente quando la forza (peso) è parallela a \(\overrightarrow{OC}\), e questo perché il momento della forza peso agisce come se tutta la massa fosse concetrata nel centro di massa $C$, cosa evidente dal fatto che, chiamati \(\mathbf{r}_i\) i vettori posizione dei punti di massa $m_i$ costituenti un certo sistema di corpi puntiformi rispetto a un dato punto, \(\mathbf{r}_{cm}\) il vettore posizione del centro di massa sempre rispetto a tale punto e $M$ la massa totale, si ha \[\sum_i \mathbf{r}_i\times (m_i\mathbf{g})=\sum_i (m_i \mathbf{r}_i\times \mathbf{g})=\Big( \sum_i m_i \mathbf{r}_i\Big) \times \mathbf{g}=M \mathbf{r}_{cm}\times \mathbf{g}=\mathbf{r}_{cm}\times M\mathbf{g} \]uguaglianza valida anche sostituendo $\rho(\mathbf{r_i})\DeltaV_i$ a $m_i$ e passando al limite per calcolare gli integrali nel caso di un corpo continuo.
$\infty$ grazie per ogni risposta!!!
mi sono convinto che, se si applica una forza $\mathbf{F}$ ad un punto $O$ di un corpo rigido, il centro di massa di questo finisce sulla retta di direzione $\mathbf{F}$ passante per $O$. O sbaglio?Se non sbaglio, come si può dimostrare matematicamente?
È l'analogia con il concetto di centro di gravità, che coincide con il centro di massa, che mi ha fatto supporre la cosa...
So infatti che, appendendo ad un filo un corpo, come la pera della figura, il centro di massa $C$ finisce sulla retta che è prolungamento del filo, cosa che direi sia dovuta al fatto che la risultante dei momenti rispetto al punto $O$ in cui è appeso si annulla esattamente quando la forza (peso) è parallela a \(\overrightarrow{OC}\), e questo perché il momento della forza peso agisce come se tutta la massa fosse concetrata nel centro di massa $C$, cosa evidente dal fatto che, chiamati \(\mathbf{r}_i\) i vettori posizione dei punti di massa $m_i$ costituenti un certo sistema di corpi puntiformi rispetto a un dato punto, \(\mathbf{r}_{cm}\) il vettore posizione del centro di massa sempre rispetto a tale punto e $M$ la massa totale, si ha \[\sum_i \mathbf{r}_i\times (m_i\mathbf{g})=\sum_i (m_i \mathbf{r}_i\times \mathbf{g})=\Big( \sum_i m_i \mathbf{r}_i\Big) \times \mathbf{g}=M \mathbf{r}_{cm}\times \mathbf{g}=\mathbf{r}_{cm}\times M\mathbf{g} \]uguaglianza valida anche sostituendo $\rho(\mathbf{r_i})\DeltaV_i$ a $m_i$ e passando al limite per calcolare gli integrali nel caso di un corpo continuo.
$\infty$ grazie per ogni risposta!!!
Risposte
Mi sa che non ci sto capendo più niente... 
Prendiamo ad esempio la matrice $I$ espressa con la notazione che ho usato qui dove \((x_i,y_i,z_i)=(x_{P_i}-x_{cm},y_{P_i}-y_{cm},z_{P_i}-z_{cm})\), intendendo con \((x_{P_i},y_{P_i},z_{P_i})\) le coordinate, rispetto all'origine scelta per il riferimento esterno, del punto $P_i$. Dato che il corpo ruota attorno al centro di massa non è in questo caso possibile che \((x_{P_i}-x_{cm},y_{P_i}-y_{cm},z_{P_i}-z_{cm})\) non dipenda da $t$. La derivata del momento angolare rispetto al centro di massa vale quindi\[\frac{d\mathbf{L}_{cm}}{dt}=\frac{dI}{dt}\boldsymbol{\omega}+I\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}.\]Scegliamo ora un riferimento solidale al corpo rigido tale che la matrice d'inerzia in funzione del tempo \(t\mapsto \tilde{I}\) sia costante e una velocita angolare \(\tilde{\boldsymbol{\omega}}\) tale che il momento angolare sia \(\mathbf{L}_{cm}=\tilde{I}\tilde{\boldsymbol{\omega}}\). Ovviamente deve valere \[I\frac{d\tilde{\boldsymbol{\omega}}}{dt}=\frac{dI}{dt}\boldsymbol{\omega}+I\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\]ma \(\tilde{\boldsymbol{\omega}}\) è diverso da \(\boldsymbol{\omega}\), no? Se fossero uguali anche la derivata lo sarebbe, ma se valesse in generale \(I\frac{d\tilde{\boldsymbol{\omega}}}{dt}=I\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\) allora varrebbe sempre \(\frac{dI}{dt}\boldsymbol{\omega}=\mathbf{0}\)... 
Grazie di cuore ancora!
Prendiamo ad esempio la matrice $I$ espressa con la notazione che ho usato qui dove \((x_i,y_i,z_i)=(x_{P_i}-x_{cm},y_{P_i}-y_{cm},z_{P_i}-z_{cm})\), intendendo con \((x_{P_i},y_{P_i},z_{P_i})\) le coordinate, rispetto all'origine scelta per il riferimento esterno, del punto $P_i$. Dato che il corpo ruota attorno al centro di massa non è in questo caso possibile che \((x_{P_i}-x_{cm},y_{P_i}-y_{cm},z_{P_i}-z_{cm})\) non dipenda da $t$. La derivata del momento angolare rispetto al centro di massa vale quindi\[\frac{d\mathbf{L}_{cm}}{dt}=\frac{dI}{dt}\boldsymbol{\omega}+I\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}.\]Scegliamo ora un riferimento solidale al corpo rigido tale che la matrice d'inerzia in funzione del tempo \(t\mapsto \tilde{I}\) sia costante e una velocita angolare \(\tilde{\boldsymbol{\omega}}\) tale che il momento angolare sia \(\mathbf{L}_{cm}=\tilde{I}\tilde{\boldsymbol{\omega}}\). Ovviamente deve valere \[I\frac{d\tilde{\boldsymbol{\omega}}}{dt}=\frac{dI}{dt}\boldsymbol{\omega}+I\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\]ma \(\tilde{\boldsymbol{\omega}}\) è diverso da \(\boldsymbol{\omega}\), no? Se fossero uguali anche la derivata lo sarebbe, ma se valesse in generale \(I\frac{d\tilde{\boldsymbol{\omega}}}{dt}=I\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\) allora varrebbe sempre \(\frac{dI}{dt}\boldsymbol{\omega}=\mathbf{0}\)... Grazie di cuore ancora!
Ma no, stai facendo confusione.
Quando si studia il moto di un corpo rigido, scindendo la parte traslatoria da quella rotatoria, di solito si assume il CM del corpo come origine delle coordinate solidali i cui assi sono fissi nel corpo, e si descrive la parte traslatoria come moto del CM rispetto a un riferimento assoluto esterno, che ha assi "fissi" : tale riferimento si chiama "riferimento dello spazio" , per distinguerlo dal riferimento solidale , detto "del corpo" .
Allora, rimane da studiare la parte di moto relativo al riferimento solidale , che è quindi il moto di un corpo rigido con un punto fisso .
La seconda eq. cardinale della dinamica , quella che dice : "I momenti di forze esterne causano variazione del momento angolare del sistema" , si scrive in un riferimento che può avere anche l'origine in CM ma ha assi costantemente paralleli a quelli del riferimento fissi inerziale esterno . Quindi la derivata di $vecL$ in tale riferimento (origine in O e assi paralleli a quelli fissi) è uguale a quella nel riferimento solidale più il prodotto vettoriale $vec\omegaxxvecL $ :
$[(dvecL)/(dt)]_F = [(dvecL)/(dt)]_M + vec\omegaxxvecL $
e il momento delle forze esterne $vecM_e $ è uguale quindi a :
$ vecM_e = [(dvecL)/(dt)]_F = [(dvecL)/(dt)]_M + vec\omegaxxvecL $
da qui si arriva direttamente alle equazioni di Eulero . Guardati il capitolo 8 queste lezioni .
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/Newton.pdf
e anche questa dispensa, in particolare il par. 7 :
http://enrg55.ing2.uniroma1.it/compiti/ ... /cap14.pdf
Nel riferimento solidale, la matrice di inerzia non cambia . Staremmo freschi, se riferissimo il moto rotatorio ad una terna fissa, rispetto a cui la matrice cambierebbe !
Quando si studia il moto di un corpo rigido, scindendo la parte traslatoria da quella rotatoria, di solito si assume il CM del corpo come origine delle coordinate solidali i cui assi sono fissi nel corpo, e si descrive la parte traslatoria come moto del CM rispetto a un riferimento assoluto esterno, che ha assi "fissi" : tale riferimento si chiama "riferimento dello spazio" , per distinguerlo dal riferimento solidale , detto "del corpo" .
Allora, rimane da studiare la parte di moto relativo al riferimento solidale , che è quindi il moto di un corpo rigido con un punto fisso .
La seconda eq. cardinale della dinamica , quella che dice : "I momenti di forze esterne causano variazione del momento angolare del sistema" , si scrive in un riferimento che può avere anche l'origine in CM ma ha assi costantemente paralleli a quelli del riferimento fissi inerziale esterno . Quindi la derivata di $vecL$ in tale riferimento (origine in O e assi paralleli a quelli fissi) è uguale a quella nel riferimento solidale più il prodotto vettoriale $vec\omegaxxvecL $ :
$[(dvecL)/(dt)]_F = [(dvecL)/(dt)]_M + vec\omegaxxvecL $
e il momento delle forze esterne $vecM_e $ è uguale quindi a :
$ vecM_e = [(dvecL)/(dt)]_F = [(dvecL)/(dt)]_M + vec\omegaxxvecL $
da qui si arriva direttamente alle equazioni di Eulero . Guardati il capitolo 8 queste lezioni .
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/Newton.pdf
e anche questa dispensa, in particolare il par. 7 :
http://enrg55.ing2.uniroma1.it/compiti/ ... /cap14.pdf
Nel riferimento solidale, la matrice di inerzia non cambia . Staremmo freschi, se riferissimo il moto rotatorio ad una terna fissa, rispetto a cui la matrice cambierebbe !
"navigatore":Perché, quindi, alla (3b), scriviamo \(I_c\dot\omega\vec{k}\) per \(\frac{d(I_c\vec{\omega})}{dt}=\frac{d I_c}{dt}\vec{\omega}+I_c\frac{d\vec{\omega}}{dt}\)?
Quindi la derivata di $vecL$ in tale riferimento (origine in O e assi paralleli a quelli fissi) è uguale a quella nel riferimento solidale più il prodotto vettoriale $vec\omegaxxvecL $
Le mie perplessità sono due:
1) credo che \(\frac{d I_c}{dt}\vec{\omega}\) sia nullo, ma perché è nullo?
2) conseguentemente credo che \(\frac{d\vec{\omega}}{dt}=\dot\omega \vec{k}\), ma come facciamo a sapere che \(\frac{d\vec{\omega}}{dt}\) non ha altre componenti? Certo, se il corpo è un carrello su un piano, l'esperienza ci insegna che non può ruotare che attorno ad un asse perpendicolare al suolo rappresentato dal piano $xy$, ma che ruoti attorno ad un asse perpendicolare al piano passante per il centro di massa è proprio ciò che mi prefiggo di dimostrare e non voglio cadere in ragionamenti circolari (cosa per dimostrare la quale, come evidenzia l'espressione \(\dot\omega_c=\frac{F\cdot (d_{cF})}{I_c}\), ossia \(\dot\omega_c\vec{k}=F d_{cF}I_c^{-1}\vec{k}\) con \(I_c^{-1}\in M_3(\mathbb{R})\), è necessario che $I_c$ sia invertibile, che è la ragione per cui ho posto questa domanda).
$\infty$ grazie ancora a te e a chiunque intervenga per chiarirmi perché \(\frac{d(I_c\vec{\omega})}{dt}=\frac{d I_c}{dt}\vec{\omega}+I_c\frac{d\vec{\omega}}{dt}=I_c\dot\omega\vec{k}\)
"DavideGenova":
Le mie perplessità sono due:
1) credo che \( \frac{d I_c}{dt}\vec{\omega} \) sia nullo, ma perché è nullo?
Ma santo Newton, Davide! Te l'ho spiegato non so quante volte. La matrice di inerzia, riferita ad assi solidali col corpo, è costante ! Se hai solo una rotazione attorno a $veck$ , e $veck$ è fisso nel corpo , per cui hai da tener conto del solo momento di inerzia rispetto a tale asse, esso è banalmente costante!
Rileggi il mio post precedente, leggi e medita le dispense che ti ho allegato, fermati un attimo a riflettere, a computer spento, e vedrai che la luce arriverà .
2) conseguentemente credo che \( \frac{d\vec{\omega}}{dt}=\dot\omega \vec{k} \), ma come facciamo a sapere che \( \frac{d\vec{\omega}}{dt} \) non ha altre componenti? ………..
$ \infty $ grazie ancora a te e a chiunque intervenga per chiarirmi perché \( \frac{d(I_c\vec{\omega})}{dt}=\frac{d I_c}{dt}\vec{\omega}+I_c\frac{d\vec{\omega}}{dt}=I_c\dot\omega\vec{k} \)
Il vettore $vec\omega $ può essere anche variabile nel corpo , mica solo nello spazio "fisso" , parlando in generale. Quindi può avere, anzi ha, in generale, componenti variabili su tutti e tre gli assi solidali del corpo.
MA hai presente la relazione che ti ho scritto ?
$[(dvecL)/(dt)]_F = [(dvecL)/(dt)]_M + vec\omegaxxvecL $
si ricava da semplici considerazioni su "velocità assoluta = vel. relativa + vel. di trascinamento" , cominciando dal moto di un punto P :
$[(dvecr)/(dt)]_F = [(dvecr)/(dt)]_M + vec\omegaxxvecr $
se vuoi te la faccio vedere. Il bello è che vale qualunque sia il vettore che metti al posto di $vecL$ o di $vecr$ . Quindi vale in generale pure se ci metti dei puntini sospensivi :
$[(d...)/(dt)]_F = [(d….)/(dt)]_M + vec\omegaxx(…) $
ora mettici $vec\omega $ al posto dei puntini :
$[(dvec\omega)/(dt)]_F = [(dvec\omega)/(dt)]_M + vec\omegaxxvec\omega$
da cui : $ [(dvec\omega)/(dt)]_F = [(dvec\omega)/(dt)]_M $
perché l'ultimo termine è nullo : la rotazione angolare ha un significato assoluto, la sua derivata nel tempo è la stessa, sia nel riferimento fisso che in quello mobile.
"navigatore":Grazie di cuore, vedo che noti la mia sete di dimostrazioni matematiche, ma, stranamente, conosco le elegantissime formule di Poisson, che non tratta il mio elementare testo, perché le ho trovate qui.
$[(dvecr)/(dt)]_F = [(dvecr)/(dt)]_M + vec\omegaxxvecr $
se vuoi te la faccio vedere.
"navigatore":Leggo -anche se non ho sempre il tempo per una lettura integrale, dato che parte della bibliografia che citi è di centinaia di pagine, in cui non sempre sono certo di trovare una risposta ad un interrogativo circostanziato che pongo qui- i riferimenti bibliografici che citi, che apprezzo moltissimo, che salvo e di cui ti ringrazio ancora tantissimo. La luce, tuttavia, non mi raggiunge perché non sono certo di che cosa corrisponde a che cosa nelle formule (3a) e (3b) e soprattutto perché alcuni termini mi sembrano annullarsi, anche se espongo qui sotto le idee che mi sono fatto, ringraziandoti $\infty$-mente se potessi specificarmi esplicitamente dove sbaglio.
Rileggi il mio post precedente, leggi e medita le dispense che ti ho allegato, fermati un attimo a riflettere, a computer spento, e vedrai che la luce arriverà .
"navigatore":Abbiamo l'espressione (3a) \(\vec{L}=mv_cd_c\vec{k}+I_c\vec{\omega_c}\) che derivata ci dà (3b) \(\frac{d\vec{L}}{dt} = m\frac{dv_c}{dt}d_c\vec{k}+I_c\dot\omega_c\vec{k}\). Se la matrice $I_c$ si considera calcolata secondo coordinate relative ad una base solidale con il corpo, il termine corrispondente a \(\vec{\omega}\times\vec{L}_{cm}\) -con \(\vec{L}_{cm}\) momento angolare rispetto al centro di massa- nella (3b) è nullo, allora?
La matrice di inerzia, riferita ad [size=150]assi solidali col corpo[/size], è costante !
Io comprendo -correggimi se sbaglio- che si ha dunque \[\Bigg[\frac{d\vec{L}}{dt}\Bigg]_F = m\frac{dv_c}{dt}d_c\vec{k}+\Bigg[\frac{d\vec{L}_{cm}}{dt}\Bigg]_F\]dove \(\vec{L}_{cm}\) è calcolato rispetto al centro di massa. Ora, per quanto spieghi, mi sembra che tu intenda che\[I_c\dot\omega\vec{k}=\Bigg[\frac{d\vec{L}_{cm}}{dt}\Bigg]_F=\Bigg[\frac{d\vec{L}_{cm}}{dt}\Bigg]_M+\vec{\omega}\times\vec{L}_{cm}\]e che \(\Big[\frac{d\vec{L}_{cm}}{dt}\Big]_M=I_{x'x'}\dot\omega_{x'}\hat{\imath}+I_{y'y'}\dot\omega_{y'}\hat{\jmath}+I_{z'z'}\dot\omega_{z'}\hat{k}\) (dove riferisco le coordinate \(x',y',z'\) alla terna solidale \(\{\hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}\}\) tale che la matrice d'inerzia sia diagonale \(\text{diag}(I_{x'x'},I_{y'y'},I_{z'z'})\)) è \(I_c\dot\omega\vec{k}\), dato che è legittimo considerare la matrice $I_c$ costante, giusto? Se è giusto, mi rimane da vedere perché \(I_c\dot\omega\vec{k}=I_{x'x'}\dot\omega_{x'}\hat{\imath}+I_{y'y'}\dot\omega_{y'}\hat{\jmath}+I_{z'z'}\dot\omega_{z'}\hat{k}\) -si noti che, a priori, non posso neanche supporre che le componenti di \(\frac{d\vec{\omega}}{dt}\) parallele al piano su cui corre il carrello siano nulle perché, semmai, è proprio ciò che ci si prefigge di dimostrare- e perché \(\vec{\omega}\times\vec{L}_{cm}\) è nullo (è chiaro che, se è nullo, è perché \(\vec{\omega}\parallel\vec{L}_{cm}\), ma non so come dimostrare tale parallelismo).
Grazie ancora a te e a tutti!!!
"DavideGenova":Abbiamo l'espressione (3a) \(\vec{L}=mv_cd_c\vec{k}+I_c\vec{\omega_c}\) che derivata ci dà (3b) \(\frac{d\vec{L}}{dt} = m\frac{dv_c}{dt}d_c\vec{k}+I_c\dot\omega_c\vec{k}\). Se la matrice $I_c$ si considera calcolata secondo coordinate relative ad una base solidale con il corpo, il termine corrispondente a \(\vec{\omega}\times\vec{L}_{cm}\) -con \(\vec{L}_{cm}\) momento angolare rispetto al centro di massa- nella (3b) è nullo, allora?
………..
[quote="navigatore"]La matrice di inerzia, riferita ad assi solidali col corpo, è costante !
Io comprendo -correggimi se sbaglio- che si ha dunque \[\Bigg[\frac{d\vec{L}}{dt}\Bigg]_F = m\frac{dv_c}{dt}d_c\vec{k}+\Bigg[\frac{d\vec{L}_{cm}}{dt}\Bigg]_F\]dove \(\vec{L}_{cm}\) è calcolato rispetto al centro di massa. [/quote]
Se scrivi a sinistra $vecL$ e a destra $vecL_(cm)$ , sembra che i due momenti angolari siano diversi : non lo sono . Il momento angolare è lo stesso , se riferito allo stesso polo . Ciò che cambia passando dal riferimento "fisso" dello spazio al riferimento solidale col corpo e quindi mobile rispetto a quello fisso è la derivata del momento angolare.
Ora, per quanto spieghi, mi sembra che tu intenda che\[I_c\dot\omega\vec{k}=\Bigg[\frac{d\vec{L}_{cm}}{dt}\Bigg]_F=\Bigg[\frac{d\vec{L}_{cm}}{dt}\Bigg]_M+\vec{\omega}\times\vec{L}_{cm}\]
corretto, è quello che intendo.
e che \(\Big[\frac{d\vec{L}_{cm}}{dt}\Big]_M=I_{x'x'}\dot\omega_{x'}\hat{\imath}+I_{y'y'}\dot\omega_{y'}\hat{\jmath}+I_{z'z'}\dot\omega_{z'}\hat{k}\) (dove riferisco le coordinate \(x',y',z'\) alla terna solidale \(\{\hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}\}\) tale che la matrice d'inerzia sia diagonale \(\text{diag}(I_{x'x'},I_{y'y'},I_{z'z'})\)) è \(I_c\dot\omega\vec{k}\), dato che è legittimo considerare la matrice $I_c$ costante, giusto?
Giusto.
Se è giusto, mi rimane da vedere perché \(I_c\dot\omega\vec{k}=I_{x'x'}\dot\omega_{x'}\hat{\imath}+I_{y'y'}\dot\omega_{y'}\hat{\jmath}+I_{z'z'}\dot\omega_{z'}\hat{k}\) -si noti che, a priori, non posso neanche supporre che le componenti di \(\frac{d\vec{\omega}}{dt}\) parallele al piano su cui corre il carrello siano nulle perché, semmai, è proprio ciò che ci si prefigge di dimostrare- e perché \(\vec{\omega}\times\vec{L}_{cm}\) è nullo (è chiaro che, se è nullo, è perché \(\vec{\omega}\parallel\vec{L}_{cm}\), ma non so come dimostrare tale parallelismo).
Grazie ancora a te e a tutti!!!
Invece si che lo puoi supporre : il moto nel tuo esempio del carrello ( trattato matematicamente da profK) è un moto piano, cioè avviene parallelamente al piano orizzontale , quindi sia la velocità angolare che il momento angolare sono e rimangono perpendicolari a tale piano. La variazione dei vettori corrispondenti non può che riguardare l'intensità , e solo l'intensità, dei vettori stessi, non la loro direzione.
"navigatore":Infatti intendevo che fossero diversi: applicavo la formula \(\vec{L}_{P}=\overrightarrow{PC}\times m\vec{v}_{cm}+\vec{L}_{C}\) (dove $P$ è un punto qualsiasi e $C$ è il centro di massa e \(\vec{L}_{Q}\) è il lavoro calcolato rispetto al polo $Q$). Non intendevo dire che \(m\frac{d v_c}{dt}d_c\vec{k}\equiv\vec{0}\)...
Se scrivi a sinistra $vecL$ e a destra $vecL_(cm)$ , sembra che i due momenti angolari siano diversi
"navigatore":Per quanto riguarda la velocità angolare, beh, mi sarebbe piaciuto di più riuscire a dimostrare come la perpendicolarità di \(\vec{\omega}\) al piano, che era proprio una delle cose che mi prefiggevo di verificare, discenda matematicamente dalle leggi della fisica...
[...] il momento angolare sono e rimangono perpendicolari a tale piano.
Quanto alla perpendicolarità a tale piano di \(\vec{L}_{cm}\), ciò accade per qualunque moto piano? Se sì, com'è possibile dimostrarlo matematicamente a partire dalle leggi di Newton (e dalle loro conseguenze)?
Credo di fare molto spesso la figura dell'imbecille perché, spesso, mi pare, senza che sia chiaro all'esterno, quel che cerco sono dimostrazioni matematiche di come un certo fenomeno meccanico derivi dalle leggi di Newton, perché mi piace sentirmi in grado di capire come l'osservazione empirica dei fatti corrisponde -ovviamente nei limiti di ciò che l'approssimazione del nostro modello matematico alla realtà fisica permette, ça va sans dire- alle conseguenze logico-matematiche di quelle leggi fondamentali, come nel caso della meccanica classica le leggi di Newton, che accettiamo come assiomi della nostra teoria: non mi sento affatto soddisfatto del mio studio se accetto una cosa solo perché si nota nella realtà fisica che è così o se intuitivamente mi torna. Come quando si studiano i teoremi della geometria sintentica in quanto conseguenze logiche degli assiomi assunti. Per fare un esempio, anche laddove un libro presenta approssimazioni come quando si utilizza il concetto di elemento infinitesimo per andare a costruire un integrale, mi scrivo o, se ci riesco, mi faccio a mente i calcoli necessari per dire la stessa cosa nel linguaggio più rigoroso dell'analisi standard. Certo, desidero anche acquisire una capacità di intuizione fisica dei fenomeni naturali, ma senza che questa si sostituisca al rigore della matematica, infatti, se non avessi l'opportunità di trovare dimostrazione, o di provare a me stesso, che il modo di spiegare il mondo utilizzato dalla fisica è l'esatta conseguenza di poche leggi empiriche, sono convinto che perderei moltissimo dell'interesse che ho per quella che considero la più affascinante delle scienze naturali, di tutte le quali è il fondamento. Questo è il mio modo di procedere nei miei studi, animati solo dalla volontà di capire il perché e il come delle cose, senza accontentarmi dell'osservazione empirica o dell'intuizione, altrimenti, dato che mi occupo di queste cose per puro diletto personale senza, ad esempio, che mi serva perché devo passare un esame che non vorrei dover dare, potrei, tanto varrebbe, accontentarmi di leggere qualche libro divulgativo di quelli dove si cerca intenzionalmente di evitare formule e formalizzazioni matematiche.
Ho una formazione prettamente umanistica, ma, ad un certo punto della mia vita, ho cominciato a sentire crescere la frustrazione di non avere idea del perché di quotidiani fenomeni fisici come del perché potessi galleggiare al mare -sì, il principio di Archimede... ma volevo capire come funziona veramente, matematicamente tale principio-, del perché il tramonto è rosso, del perché se si apre la finestra l'aria esterna e quella interna si mescolano rapidamente... Allora la prima cosa che ho fatto è stata comprarmi un libro non di fisica divulgativa, ma di matematica, le Istituzioni di matematica del Bertsch, da cui ho poi mosso a testi specifici di analisi (Barutello-Conti-Ferrario-Terracini-Verzini), geometria (Sernesi), algebra astratta (Bosch) (non solo quanto mai affascinante di per sé, ma tutt'altro che priva, si noti, di applicazioni: si pensi all'esistenza di $n$ soluzioni complesse per ogni equazione di $n$-esimo grado, che sarei frustrato di dover accettare come fosse un dogma se non ne avessi studiato una dimostrazione nei miei studi di algebra), logica matematica (Manca), analisi complessa (Presilla), analisi funzionale (Kolmogorov-Fomin),... cercando di farmi un po' di basi in varie branche della matematica prima di affrontare un testo di fisica, in modo da ridurre le occorrenze della per me tristissima e frustrante -infatti "conoscere" delle formule senza averne capito una prova matematica è per me tanto interessante pressapoco quanto lo è studiare a memoria l'elenco del telefono- situazione di veder applicato un teorema senza riuscirne a trovare e capire una dimostrazione.
Non sembro così meno scemo, ma ci tenevo a precisare questo perché si capisca dove cerco di arrivare quando mi pongo, eventualmente chiedendo aiuto qui, un problema.
"navigatore":
Invece si che lo puoi supporre : il moto nel tuo esempio del carrello ( trattato matematicamente da profK) è un moto piano, cioè avviene parallelamente al piano orizzontale , quindi sia la velocità angolare che il momento angolare sono e rimangono perpendicolari a tale piano. La variazione dei vettori corrispondenti non può che riguardare l'intensità , e solo l'intensità, dei vettori stessi, non la loro direzione.
Ho detto qui sopra una verità e una corbelleria, che va corretta. Davide, hai osservato quanto segue :
"Davide":
Per quanto riguarda la velocità angolare, beh, mi sarebbe piaciuto di più riuscire a dimostrare come la perpendicolarità di ω⃗ al piano, che era proprio una delle cose che mi prefiggevo di verificare, discenda matematicamente dalle leggi della fisica...
Quanto alla perpendicolarità a tale piano di L⃗ cm, ciò accade per qualunque moto piano? Se sì, com'è possibile dimostrarlo matematicamente a partire dalle leggi di Newton (e dalle loro conseguenze)?
e con la correzione della corbelleria rispondo anche alle due domande che fai.
Prima cosa : nel moto di un corpo rigido qualsiasi, (quindi, non proprio un foglio di carta schiacciato sul piano !) parallelamente ad un piano, il vettore velocità angolare $vec\omega$ è sempre perpendicolare al piano "direttore " del moto ? E come si dimostra?
Risposta : sì , qui non mi ero sbagliato. E ho pensato a questa dimostrazione.
Il corpo rigido ruota parallelamente a un piano, che assumiamo come piano $XY$ di un riferimento fisso $XYZ$, con asse $Z$ perpendicolare di versore $veck$ . Dati due punti $O$ e $P$ del corpo, tra le loro velocità sussiste la relazione :
$vecV_P = vecV_O + vec\omegaxx(P-O)$ ----------(1)
Essendo il moto "piano" , tutti i punti si spostano parallelamente al piano, quindi i vettori velocità sono paralleli ad esso in ogni istante . Per cui, se moltiplichiamo scalarmente la (1) per $veck$ si ottiene :
$0 = 0 + vec\omegaxx(P-O)*veck $ ----------(2)
Cioè il prodotto misto dei tre vettori deve annullarsi sempre. E siccome il prodotto misto di tre vettori è il volume del parallelepipedo che ha i tre vettori come spigoli, tale volume deve essere uguale a zero, qualunque sia la coppia di punti $O$ e $P$ nel corpo rigido.
Perciò la (2) può sussistere solo se gli altri due vettori $vec\omega$ e $veck$ sono sempre paralleli : ergo, il vettore velocità angolare è perpendicolare al piano.
Seconda cosa : il vettore $vecL_(cm)$ è sempre perpendicolare al piano? Risposta : NO (ecco la corbelleria: avevo detto SI).
Ora ci stiamo riferendo al centro di massa $C$ come polo per il calcolo del momento angolare. Assumiamolo come origine delle coordinate solidali al corpo $Cxyz$ , supponendo ancora che il piano $xy$ sia parallelo al piano direttore .
Si ha : $vecL_(cm) = [I_(cm)]*vec\omega$ , dove $[I_(cm)]$ è la matrice di inerzia riferita al sistema di coordinate $Cxyz$ .
Cioè :
$vecL_(cm) = ((I_x,I_(xy),I_(xz)),(I_(yx),I_y,I_(yz)) , (I_(zx),I_(zy),I_z)) * ((0),(0),(\omega)) = ((I_(xz)\omega),(I_(yz)\omega),(I_z\omega))$
PErciò , $vecL_(cm) $ non è sempre perpendicolare al piano.
È perpendicolare al piano solo se sono nulli i momenti centrifughi $I_(xz)$ e $I_(yz)$ , il che vuol dire che l'asse $z$ è un asse centrale di inerzia . Questo succede sicuramente per un corpo piano , come il foglio di carta che dicevo prima, oppure per un corpo solido il cui asse di rotazione perpendicolare al piano sia centrale di inerzia, come per esempio un parallelepipedo che viene fatto ruotare avendo una faccia sul piano.
Ma se al parallelepipedo tagliamo uno spicchio in alto, con un piano obliquo cioè non parallelo a quello orizzontale, e lo facciamo poi ruotare, l'asse di rotazione baricentrico ( il CM si è spostato) non è asse centrale di inerzia, il vettore momento angolare $vecL_(cm)$ non è perpendicolare al piano direttore del moto.
Possiamo allora immaginare di scomporre questo vettore $vecL_(cm)$ in un componente sull'asse $z$ e un componente sul piano $xy$; si vede facilmente, dal risultato del prodotto matriciale di cui sopra, quanto vale il modulo del componente sull'asse : $I_z*\omega$ .
Che fine fa il componente orizzontale, rotante insieme col corpo? LA rotazione che indurrebbe nel corpo nel senso del ribaltamento laterale deve essere equilibrata dalla coppia di reazione del piano di appoggio, se si vuole che il corpo non si ribalti.
Infine : Davide, perché dici di te stesso che sembri scemo o imbecille ? Chi ha curiosità di sapere e vuole imparare, e sacrifica il suo tempo a leggere e studiare , per ampliare le sue conoscenze, è tutt'altro . È una persona degna della massima stima e rispetto. Non aggiungo altro per non essere retorico e stucchevole.
"navigatore":Gran bella dimostrazione...
ergo, il vettore velocità angolare è perpendicolare al piano.
"navigatore":Quindi, volendo esplicitare i momenti \(\vec{M}=M_{x}\vec{\imath}+M_{y}\vec{\jmath}\) delle forze di reazione, si ha\[\frac{d\vec{L}}{dt}=F(d_c+d_{cF})\vec{k}+\sum\vec{M}=F d_c\vec{k}+\frac{d(I_{xz}\omega_z\vec{\imath}+I_{yz}\omega_z\vec{\jmath})}{dt}+\frac{d(I_z\omega_z)}{dt} \]dove, se il corpo non si ribalta, è chiaro che \(\sum\vec{M}=\frac{d(I_{xz}\omega_z\vec{\imath}+I_{yz}\omega_z\vec{\jmath})}{dt}\). Quanto a \(\frac{d(I_z\omega_z)}{dt}\) mi sembra chiaro che coincide con \(I_z\frac{d\omega_z}{dt}\) perché è costante il momento d'inerzia rispetto ad un asse passante per il centro di massa e perpendicolare al piano $xy$, sempre perché il nostro corpo -per esempio il carrello- non si ribalta e quindi l'asse è fisso rispetto al corpo.
LA rotazione che indurrebbe nel corpo nel senso del ribaltamento laterale deve essere equilibrata dalla coppia di reazione del piano di appoggio, se si vuole che il corpo non si ribalti.
Grazie di cuore per l'eccellente spiegazione!
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